Cele mai importante aspecte ale lecției
Rezistența electrică (\( R \)): Opoziția la trecerea curentului electric. Formulă de definiție: \( R = \frac{U}{I} \); unitate: \( 1\ \Omega = 1\text{ V} / 1\text{ A} \). Exemplu: dacă la \( 6\text{ V} \) trece un curent de \( 2\text{ A} \), rezistența este \( R = 3\ \Omega \).
Dependența de dimensiuni și material: \( R = \rho \frac{\ell}{S} \). Conductorul este cu atât mai rezistiv cu cât este mai lung (\( \ell \uparrow \implies R \uparrow \)) și mai subțire (\( S \downarrow \implies R \uparrow \)). Rezistivitatea \( [\rho]_{SI} = \Omega \cdot \text{m} \) depinde strict de material (metale: \( \sim 10^{-8}\ \Omega \cdot \text{m} \); izolatori: peste \( 10^{8}\ \Omega \cdot \text{m} \)).
Aparate de măsură: Ampermetru legat în serie (\( R_A \approx 0 \)); Voltmetru legat în paralel (\( R_V \to \infty \)).
Temperatură: Încălzirea conductoarelor metalice determină creșterea rezistenței lor electrice (\( T \uparrow \implies R \uparrow \)).
Dependența de dimensiuni și material: \( R = \rho \frac{\ell}{S} \). Conductorul este cu atât mai rezistiv cu cât este mai lung (\( \ell \uparrow \implies R \uparrow \)) și mai subțire (\( S \downarrow \implies R \uparrow \)). Rezistivitatea \( [\rho]_{SI} = \Omega \cdot \text{m} \) depinde strict de material (metale: \( \sim 10^{-8}\ \Omega \cdot \text{m} \); izolatori: peste \( 10^{8}\ \Omega \cdot \text{m} \)).
Aparate de măsură: Ampermetru legat în serie (\( R_A \approx 0 \)); Voltmetru legat în paralel (\( R_V \to \infty \)).
Temperatură: Încălzirea conductoarelor metalice determină creșterea rezistenței lor electrice (\( T \uparrow \implies R \uparrow \)).
Mărimea fizică scalară ce caracterizează proprietatea unui conductor de a se opune trecerii curentului electric prin el se numește rezistență electrică.
\[ R = \frac{U}{I} \]
\( R \) – rezistența electrică; \( U \) – tensiunea electrică aplicată; \( I \) – intensitatea curentului electric stabilit prin conductor.
Unitatea de măsură în Sistemul Internațional (SI) este ohm-ul, simbolizat prin litera grecească \( \Omega \):
\[ [R]_{SI} = \frac{[U]_{SI}}{[I]_{SI}} = \frac{\text{V}}{\text{A}} = \Omega \text{ (ohm)} \]
1 ohm reprezintă rezistența electrică a unui conductor parcurs de un curent de \( 1\text{ A} \), atunci când la capetele sale se aplică o tensiune de \( 1\text{ V} \).
Multipli utilizați frecvent:
• Kiloohm: \( 1\text{ k}\Omega = 10^3\ \Omega = 1\,000\ \Omega \)
• Megaohm: \( 1\text{ M}\Omega = 10^6\ \Omega = 1\,000\,000\ \Omega \)
• Kiloohm: \( 1\text{ k}\Omega = 10^3\ \Omega = 1\,000\ \Omega \)
• Megaohm: \( 1\text{ M}\Omega = 10^6\ \Omega = 1\,000\,000\ \Omega \)
Rezistorul este elementul de circuit pasiv caracterizat prin rezistență electrică.
La capetele unui rezistor se aplică o tensiune de \( 12\text{ V} \), iar intensitatea curentului care îl parcurge este de \( 0{,}04\text{ A} \). Determinați rezistența rezistorului.
Aplicăm formula de definiție a rezistenței:
\[ R = \frac{U}{I} = \frac{12\text{ V}}{0{,}04\text{ A}} = 300\ \Omega \]
Răspuns: Rezistența este \( 300\ \Omega \).
Pentru ca aparatele de măsură să nu modifice parametrii de funcționare ai circuitului electric în care sunt introduse, rezistențele lor interne trebuie să satisfacă cerințe specifice modului de conectare.
Ampermetrul se montează în serie; rezistența sa internă (\( R_A \)) trebuie să fie cât mai mică posibil, ideal nulă:
\[ R_A \approx 0 \]
Voltmetrul se montează în paralel; rezistența sa internă (\( R_V \)) trebuie să fie cât mai mare posibil, ideal infinită:
\[ R_V \to \infty \]
De ce este necesar ca rezistența voltmetrului să fie foarte mare la măsurarea tensiunii la bornele unui consumator?
Voltmetrul se conectează în paralel cu consumatorul. Dacă rezistența sa ar fi mică, prin el ar trece o parte semnificativă din curentul circuitului, modificând tensiunea și curentul prin consumator. Având o rezistență foarte mare (\( R_V \to \infty \)), curentul derivat prin aparat este practic nul.
Rezistența electrică a unui conductor omogen de secțiune constantă este direct proporțională cu lungimea sa (\( \ell \)), invers proporțională cu aria secțiunii transversale (\( S \)) și depinde de natura materialului.
\[ R = \rho \frac{\ell}{S} \]
\( R \) – rezistența conductorului (\(\Omega\)); \( \ell \) – lungimea conductorului (\(\text{m}\)); \( S \) – aria secțiunii transversale (\(\text{m}^2\)); \( \rho \) – rezistivitatea electrică (\(\Omega \cdot \text{m}\)).
\[ \rho = \frac{R \cdot S}{\ell} \]
Unitatea de măsură a rezistivității în SI:
\[ [\rho]_{SI} = \frac{[R]_{SI} \cdot [S]_{SI}}{[\ell]_{SI}} = \frac{\Omega \cdot \text{m}^2}{\text{m}} = \Omega \cdot \text{m} \]
Rezistivitatea (\( \rho \)) este o proprietate de material, independentă de forma și dimensiunile corpului. Rezistența (\( R \)) depinde atât de material (\( \rho \)), cât și de forma și dimensiunile geometrice ale conductorului (\( \ell \) și \( S \)).
| Substanță | \( \rho\ (\Omega \cdot \text{m}) \) la 20 °C | Comportament |
|---|---|---|
| Argint | \( 1{,}47 \cdot 10^{-8} \) | Conductor excelent |
| Cupru | \( 1{,}72 \cdot 10^{-8} \) | Conductor foarte bun |
| Aluminiu | \( 2{,}63 \cdot 10^{-8} \) | Conductor bun |
| Nichel-crom | \( 100 \cdot 10^{-8} \) | Rezistivitate mare (aliaj pentru rezistori) |
| Lemn | \( 10^8 - 10^{11} \) | Izolator |
| Sticlă | \( 10^{10} - 10^{14} \) | Izolator foarte bun |
| Teflon | \( > 10^{13} \) | Izolator excelent |
Cum se modifică rezistența electrică a unui fir metalic dacă lungimea sa se dublează, iar aria secțiunii rămâne neschimbată?
Conform relației \( R = \rho \frac{\ell}{S} \), rezistența este direct proporțională cu lungimea. Dacă lungimea se dublează (\( \ell' = 2\ell \)), noua rezistență devine \( R' = \rho \frac{2\ell}{S} = 2R \), adică se dublează.
Rezistența electrică a conductoarelor metalice crește, în general, odată cu creșterea temperaturii acestora.
Filamentul unui bec incandescent are o rezistență electrică mult mai mică atunci când este rece comparativ cu momentul în care funcționează la incandescență (la câteva mii de grade Celsius).
Un fir de nichelit este conectat la un ohmmetru. Ce se observă pe afișajul aparatului pe măsură ce firul este încălzit cu o flacără?
Pe măsură ce firul se încălzește, valoarea indicată de ohmmetru crește, deoarece rezistența electrică a metalelor și aliajelor crește odată cu temperatura.
Probleme practice
Problemă 1 (Ușoară): La bornele unui rezistor se aplică o tensiune de \( 48\text{ V} \). Ampermetrul conectat în serie indică o intensitate de \( 20\text{ mA} \). Determinați rezistența rezistorului în ohmi și în kiloohmi.
Transformăm intensitatea în amperi: \( I = 20\text{ mA} = 20 \cdot 10^{-3}\text{ A} = 0{,}02\text{ A} \).
Aplicăm formula rezistenței: \[ R = \frac{U}{I} = \frac{48\text{ V}}{0{,}02\text{ A}} = 2\,400\ \Omega \] Exprimăm în kiloohmi: \[ R = \frac{2\,400}{1\,000}\text{ k}\Omega = 2{,}4\text{ k}\Omega \] Răspuns: Rezistența este \( 2\,400\ \Omega \) (sau \( 2{,}4\text{ k}\Omega \)).
Aplicăm formula rezistenței: \[ R = \frac{U}{I} = \frac{48\text{ V}}{0{,}02\text{ A}} = 2\,400\ \Omega \] Exprimăm în kiloohmi: \[ R = \frac{2\,400}{1\,000}\text{ k}\Omega = 2{,}4\text{ k}\Omega \] Răspuns: Rezistența este \( 2\,400\ \Omega \) (sau \( 2{,}4\text{ k}\Omega \)).
Problemă 2 (Medie): Un conductor de cupru are lungimea de \( 200\text{ m} \) și aria secțiunii transversale de \( 0{,}688\text{ mm}^2 \). Știind că rezistivitatea cuprului este \( \rho = 1{,}72 \cdot 10^{-8}\ \Omega \cdot \text{m} \), calculați rezistența electrică a conductorului.
Transformăm aria secțiunii în unități SI (\(\text{m}^2\)):
\[ S = 0{,}688\text{ mm}^2 = 0{,}688 \cdot 10^{-6}\text{ m}^2 \]
Aplicăm formula rezistenței în funcție de dimensiuni:
\[ R = \rho \frac{\ell}{S} = 1{,}72 \cdot 10^{-8}\ \Omega \cdot \text{m} \cdot \frac{200\text{ m}}{0{,}688 \cdot 10^{-6}\text{ m}^2} \]
\[ R = \frac{1{,}72 \cdot 200 \cdot 10^{-8}}{0{,}688 \cdot 10^{-6}} = \frac{344 \cdot 10^{-8}}{0{,}688 \cdot 10^{-6}} = \frac{344}{0{,}688} \cdot 10^{-2} = 500 \cdot 10^{-2} = 5\ \Omega \]
Răspuns: Rezistența conductorului este \( 5\ \Omega \).
Problemă 3 (Dificilă): Două conductoare cilindrice, unul din cupru (\( \rho_{\text{Cu}} = 1{,}72 \cdot 10^{-8}\ \Omega \cdot \text{m} \)) și celălalt din aluminiu (\( \rho_{\text{Al}} = 2{,}63 \cdot 10^{-8}\ \Omega \cdot \text{m} \)), au aceeași lungime \( \ell \) și aceeași rezistență electrică \( R \).
a) Care dintre cele două conductoare are secțiunea transversală mai mare?
b) Aflați raportul secțiunilor transversale \( \frac{S_{\text{Al}}}{S_{\text{Cu}}} \).
a) Care dintre cele două conductoare are secțiunea transversală mai mare?
b) Aflați raportul secțiunilor transversale \( \frac{S_{\text{Al}}}{S_{\text{Cu}}} \).
Scriem rezistența pentru fiecare conductor:
\[ R_{\text{Cu}} = \rho_{\text{Cu}} \frac{\ell}{S_{\text{Cu}}} \quad \text{și} \quad R_{\text{Al}} = \rho_{\text{Al}} \frac{\ell}{S_{\text{Al}}} \]
Deoarece \( R_{\text{Cu}} = R_{\text{Al}} \):
\[ \rho_{\text{Cu}} \frac{\ell}{S_{\text{Cu}}} = \rho_{\text{Al}} \frac{\ell}{S_{\text{Al}}} \]
Simplificăm prin \( \ell \):
\[ \frac{\rho_{\text{Cu}}}{S_{\text{Cu}}} = \frac{\rho_{\text{Al}}}{S_{\text{Al}}} \implies \frac{S_{\text{Al}}}{S_{\text{Cu}}} = \frac{\rho_{\text{Al}}}{\rho_{\text{Cu}}} \]
a) Deoarece \( \rho_{\text{Al}} > \rho_{\text{Cu}} \), rezultă că \( S_{\text{Al}} > S_{\text{Cu}} \). Conductorul din aluminiu trebuie să fie mai gros (secțiune mai mare) pentru a avea aceeași rezistență ca cel din cupru.
b) Calculăm raportul numeric: \[ \frac{S_{\text{Al}}}{S_{\text{Cu}}} = \frac{2{,}63 \cdot 10^{-8}}{1{,}72 \cdot 10^{-8}} \approx 1{,}53 \] Răspuns: Conductorul de aluminiu are secțiunea transversală mai mare de aproximativ \( 1{,}53 \) ori față de cel de cupru.
b) Calculăm raportul numeric: \[ \frac{S_{\text{Al}}}{S_{\text{Cu}}} = \frac{2{,}63 \cdot 10^{-8}}{1{,}72 \cdot 10^{-8}} \approx 1{,}53 \] Răspuns: Conductorul de aluminiu are secțiunea transversală mai mare de aproximativ \( 1{,}53 \) ori față de cel de cupru.
