Cele mai importante aspecte ale lecției
Gruparea mixtă: Se reduce treptat prin calcularea succesivă a rezistențelor parțiale serie (\( R_s = \sum R_i \)) și paralel (\( R_p = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \)).
Elementele rețelei: Nodul (întâlnire a cel puțin 3 conductori), Latura (cale între două noduri, parcursă de un singur curent), Ochiul (circuit închis format din laturi).
Legea I a lui Kirchhoff (conservarea sarcinii): \( \sum I_{\text{intrare}} = \sum I_{\text{ieșire}} \). Furnizează \( n - 1 \) ecuații independente pentru \( n \) noduri.
Legea a II-a a lui Kirchhoff (conservarea energiei): \( \sum E = \sum I R \). Se alege un sens arbitrar de parcurgere a ochiului: sursele parcurse de la \( - \) la \( + \) sunt pozitive (\(+E\)); căderile de tensiune sunt pozitive (\(+IR\)) când curentul are sensul parcurgerii. Furnizează \( \ell - (n - 1) \) ecuații independente.
Rezolvarea completă: Sistemul de \( \ell \) ecuații independente permite determinarea intensităților tuturor curenților din cele \( \ell \) laturi ale rețelei.
Elementele rețelei: Nodul (întâlnire a cel puțin 3 conductori), Latura (cale între două noduri, parcursă de un singur curent), Ochiul (circuit închis format din laturi).
Legea I a lui Kirchhoff (conservarea sarcinii): \( \sum I_{\text{intrare}} = \sum I_{\text{ieșire}} \). Furnizează \( n - 1 \) ecuații independente pentru \( n \) noduri.
Legea a II-a a lui Kirchhoff (conservarea energiei): \( \sum E = \sum I R \). Se alege un sens arbitrar de parcurgere a ochiului: sursele parcurse de la \( - \) la \( + \) sunt pozitive (\(+E\)); căderile de tensiune sunt pozitive (\(+IR\)) când curentul are sensul parcurgerii. Furnizează \( \ell - (n - 1) \) ecuații independente.
Rezolvarea completă: Sistemul de \( \ell \) ecuații independente permite determinarea intensităților tuturor curenților din cele \( \ell \) laturi ale rețelei.
O grupare mixtă reprezintă o conexiune de rezistoare care combină legături în serie și în paralel în cadrul aceluiași circuit.
Se identifică porțiunile de circuit conectate strict în serie sau strict în paralel.
Se calculează rezistențele echivalente ale acelor grupări simple.
Se înlocuiesc grupările parțiale cu rezistoarele lor echivalente și se repetă procedeul până la obținerea unei singure rezistențe echivalente finale, \( R_{\text{ech}} \).
Pentru două rezistoare conectate în paralel:
\[ R_p = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} \]
Pentru rezistoare conectate în serie:
\[ R_s = R_1 + R_2 + \dots \]
Dacă un rezistor \( R_1 = 6\,\Omega \) este conectat în serie cu o grupare paralelă formată din \( R_2 = 6\,\Omega \) și \( R_3 = 6\,\Omega \):
\[ R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} = \frac{6 \cdot 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3\,\Omega \]
\[ R_{\text{ech}} = R_1 + R_{23} = 6 + 3 = 9\,\Omega \]
Două rezistoare de rezistențe \( R_1 = 10\,\Omega \) și \( R_2 = 10\,\Omega \) sunt legate în paralel, iar ansamblul lor este legat în serie cu un rezistor \( R_3 = 5\,\Omega \). Aflați rezistența echivalentă totală.
Rezistența grupării în paralel este:
\[ R_p = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{10 \cdot 10}{10 + 10} = \frac{100}{20} = 5\,\Omega \]
Rezistența echivalentă totală este:
\[ R_{\text{ech}} = R_p + R_3 = 5\,\Omega + 5\,\Omega = 10\,\Omega \]
Un circuit electric cu cel puțin două ramificații poartă numele de rețea electrică.
| Element | Definiție | Caracteristici |
|---|---|---|
| Nod | Punctul unui circuit în care se întâlnesc cel puțin trei conductori. | Dacă porțiunile conductoare de legătură au rezistență neglijabilă, punctele respective constituie același nod. |
| Latură (ramură) | Porțiunea de circuit cuprinsă între două noduri consecutive, fără noduri intermediare. | Este străbătută de același curent electric pe toată lungimea sa. |
| Ochi (buclă) | Contur poligonal închis format dintr-o succesiune de cel puțin două laturi. | La parcurgerea completă a ochiului se trece prin fiecare nod o singură dată. |
Un circuit este format dintr-un generator și un singur rezistor conectat la bornele sale. Este acest circuit o rețea electrică? Argumentați.
Nu, circuitul nu este o rețea electrică. Circuitul simplu are o singură buclă și nu conține ramificații (nu are noduri în care să se întâlnească cel puțin trei conductori).
Suma intensităților curenților electrici care intră într-un nod de rețea este egală cu suma intensităților curenților electrici care ies din acel nod.
\[ \sum I_{\text{intrare}} = \sum I_{\text{ieșire}} \quad \Longleftrightarrow \quad \sum_{k} I_k = 0 \]
Suma algebrică a intensităților curenților într-un nod de rețea este nulă.
Convenția de semne pentru nod: Curenții care intră în nod se consideră pozitivi (\(+\)), iar curenții care ies din nod se consideră negativi (\(-\)).
Legea I a lui Kirchhoff exprimă legea conservării sarcinii electrice: sarcina electrică nu se creează, nu dispare și nu se acumulează în noduri.
Dacă o rețea electrică are \( n \) noduri, se pot scrie \( n - 1 \) ecuații independente aplicând prima lege a lui Kirchhoff.
Într-un nod \( A \) intră curenții \( I = 5\text{ A} \) și \( I_2 = 2\text{ A} \), și iese curentul \( I_1 \).
Conform primei legi: \( I + I_2 = I_1 \implies I_1 = 5 + 2 = 7\text{ A} \).
Conform primei legi: \( I + I_2 = I_1 \implies I_1 = 5 + 2 = 7\text{ A} \).
Într-un nod de rețea se întâlnesc patru conductoare. Curenții care intră în nod au valorile \( I_1 = 3\text{ A} \) și \( I_2 = 4\text{ A} \). Unul dintre curenții care ies are valoarea \( I_3 = 2\text{ A} \). Determinați valoarea celui de-al patrulea curent, \( I_4 \).
Aplicând legea I a lui Kirchhoff:
\[ \sum I_{\text{intrare}} = \sum I_{\text{ieșire}} \implies I_1 + I_2 = I_3 + I_4 \]
\[ 3\text{ A} + 4\text{ A} = 2\text{ A} + I_4 \implies 7\text{ A} = 2\text{ A} + I_4 \implies I_4 = 5\text{ A} \text{ (care iese din nod)} \]
Suma algebrică a tensiunilor electromotoare dintr-un ochi de rețea este egală cu suma algebrică a căderilor de tensiune de pe laturile acelui ochi.
\[ \sum_k E_k = \sum_k I_k \cdot (R_k + r_k) \]
unde \( E_k \) sunt tensiunile electromotoare, \( I_k \) sunt intensitățile curenților, \( R_k \) sunt rezistențele externe și \( r_k \) rezistențele interne ale surselor de pe fiecare latură.
Reguli de stabilire a semnelor pentru un ochi de rețea:
- Se alege în mod arbitrar un sens de parcurgere a ochiului (de regulă în sens orar sau trigonometric).
- Pentru surse (\( E \)): Tensiunea electromotoare se ia cu semnul \(+\) dacă sensul de parcurgere străbate sursa de la borna negativă la cea pozitivă (\(-\) la \(+\)). În caz contrar, se ia cu semnul \(-\).
- Pentru consumatori (\( I \cdot R \)): Căderea de tensiune se ia cu semnul \(+\) dacă sensul curentului prin rezistor coincide cu sensul de parcurgere ales. În caz contrar, se ia cu semnul \(-\).
Pentru o rețea cu \( \ell \) laturi și \( n \) noduri:
- Numărul de ecuații independente date de legea I: \( N_I = n - 1 \)
- Numărul de ecuații independente date de legea a II-a: \( N_{II} = \ell - (n - 1) \)
- Numărul total de ecuații independente necesare pentru a afla curenții din toate laturile este egal cu numărul de laturi: \( N_{\text{total}} = \ell \).
O rețea electrică are 4 noduri și 6 laturi. Câte ecuații independente se pot scrie cu legea I și câte cu legea a II-a a lui Kirchhoff?
Avem \( n = 4 \) noduri și \( \ell = 6 \) laturi:
• Ecuații Legea I: \( n - 1 = 4 - 1 = 3 \) ecuații.
• Ecuații Legea a II-a: \( \ell - (n - 1) = 6 - 3 = 3 \) ecuații.
Totalul ecuațiilor este \( 3 + 3 = 6 \), egal cu numărul de laturi necunoscute.
• Ecuații Legea I: \( n - 1 = 4 - 1 = 3 \) ecuații.
• Ecuații Legea a II-a: \( \ell - (n - 1) = 6 - 3 = 3 \) ecuații.
Totalul ecuațiilor este \( 3 + 3 = 6 \), egal cu numărul de laturi necunoscute.
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Trei rezistoare au valorile \( R_1 = 20\,\Omega \), \( R_2 = 30\,\Omega \) și \( R_3 = 8\,\Omega \). Rezistoarele \( R_1 \) și \( R_2 \) sunt grupate în paralel, iar grupul lor este legat în serie cu \( R_3 \). Determinați rezistența echivalentă a circuitului.
1. Calculăm rezistența echivalentă a grupării în paralel (\( R_{12} \)):
\[ R_{12} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{20 \cdot 30}{20 + 30} = \frac{600}{50} = 12\,\Omega \]
2. Calculăm rezistența echivalentă totală:
\[ R_{\text{ech}} = R_{12} + R_3 = 12\,\Omega + 8\,\Omega = 20\,\Omega \]
Problema 2 (Medie): O rețea electrică simplă conține două noduri \( A \) și \( B \) conectate prin trei ramuri paralele. Curenții prin primele două ramuri sunt cunoscuți: \( I_1 = 2{,}5\text{ A} \) (orientat de la \( A \) spre \( B \)) și \( I_2 = 1{,}8\text{ A} \) (orientat tot de la \( A \) spre \( B \)). Aflați valoarea și sensul de circulație al curentului \( I_3 \) prin a treia ramură.
Scriem legea I a lui Kirchhoff pentru nodul \( A \). Curenții \( I_1 \) și \( I_2 \) pleacă din nodul \( A \), deci sunt curenți care ies:
\[ \sum I_{\text{intrare}} = \sum I_{\text{ieșire}} \]
Pentru ca ecuația să fie respectată, curentul \( I_3 \) trebuie să intre în nodul \( A \) (deci va circula de la \( B \) spre \( A \)):
\[ I_3 = I_1 + I_2 = 2{,}5\text{ A} + 1{,}8\text{ A} = 4{,}3\text{ A} \]
Răspuns: Curentul are valoarea \( I_3 = 4{,}3\text{ A} \) și este orientat de la \( B \) spre \( A \).
Problema 3 (Dificilă): Un ochi de rețea conține o sursă de tensiune electromotoare \( E = 24\text{ V} \) cu rezistența internă \( r = 1\,\Omega \), conectată în serie cu două rezistoare exterioare \( R_1 = 5\,\Omega \) și \( R_2 = 6\,\Omega \). Pe latura rezistorului \( R_2 \) intervine un curent suplimentar provenit dintr-o altă ramură a rețelei, astfel încât curentul prin latura sursei și a lui \( R_1 \) este \( I_1 = 2\text{ A} \), iar cel prin \( R_2 \) este \( I_2 \). Știind că sensul de parcurgere ales al ochiului coincide cu sensul ambilor curenți și că străbate sursa de la borna \( - \) la borna \( + \), scrieți ecuația legii a II-a a lui Kirchhoff și aflați intensitatea curentului \( I_2 \).
Conform legii a II-a a lui Kirchhoff pentru ochiul considerat:
\[ \sum E = \sum I \cdot R \]
Deoarece sensul de parcurgere străbate sursa de la \( - \) la \( + \), \( E \) are semnul pozitiv. Curenții circulă în sensul de parcurgere, deci căderile de tensiune sunt pozitive:
\[ E = I_1 \cdot (R_1 + r) + I_2 \cdot R_2 \]
Înlocuim valorile numerice:
\[ 24 = 2 \cdot (5 + 1) + I_2 \cdot 6 \]
\[ 24 = 2 \cdot 6 + 6 \cdot I_2 \]
\[ 24 = 12 + 6 \cdot I_2 \]
\[ 6 \cdot I_2 = 12 \implies I_2 = 2\text{ A} \]
