Alege rezolvarea exercițiului:
Exercițiul 1 (gratuit)
Rezolvare scurtă
\( d = 1 \text{ m} \), \( q_1 = 4 \text{ mC} \), \( q_2 = 9 \text{ mC} \)
Fie \( x \) distanța față de \( q_2 \), rezultă distanța față de \( q_1 \) este \( d - x \).
Condiția de echilibru:
\( F_1 = F_2 \)
\( k_0 \frac{q_1 \cdot |q|}{(d - x)^2} = k_0 \frac{q_2 \cdot |q|}{x^2} \)
\( \frac{q_1}{(d - x)^2} = \frac{q_2}{x^2} \)
\( \frac{d - x}{x} = \sqrt{\frac{q_1}{q_2}} = \sqrt{\frac{4 \text{ mC}}{9 \text{ mC}}} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{1 - x}{x} = \frac{2}{3} \)
\( 3(1 - x) = 2x \)
\( 3 - 3x = 2x \)
\( 5x = 3 \)
\( x = \frac{3}{5} = 0,6 \text{ m} = 60 \text{ cm} \)
Rezolvare detaliată
Pasul 1: Notarea datelor și stabilirea sistemului geometric
Avem două corpuri punctiforme încărcate electric, situate la distanța \( d = 1 \text{ m} \) în vid: \[ q_1 = 4 \text{ mC} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ C} \] \[ q_2 = 9 \text{ mC} = 9 \cdot 10^{-3} \text{ C} \] Corpul cu sarcina \( q \) este plasat pe segmentul care unește cele două sarcini. Fie \( x \) distanța de la sarcina \( q_2 \) până la corpul cu sarcina \( q \). Atunci, distanța de la sarcina \( q_1 \) la corpul cu sarcina \( q \) este: \[ d_1 = d - x = 1 - x \] unde \( 0 < x < 1 \).Pasul 2: Scrierea condiției de echilibru
Asupra sarcinii \( q \) acționează două forțe electrostatice coliniare: - Forța \( F_1 \) exercitată de sarcina \( q_1 \): \[ F_1 = k_0 \frac{|q_1 \cdot q|}{(d - x)^2} \] - Forța \( F_2 \) exercitată de sarcina \( q_2 \): \[ F_2 = k_0 \frac{|q_2 \cdot q|}{x^2} \] Pentru ca sarcina \( q \) să se afle în echilibru, forțele electrostatice trebuie să aibă aceeași mărime și sensuri opuse: \[ F_1 = F_2 \]Pasul 3: Rezolvarea ecuației pentru distanța \( x \)
Egalăm mărimile celor două forțe: \[ k_0 \frac{|q_1 \cdot q|}{(d - x)^2} = k_0 \frac{|q_2 \cdot q|}{x^2} \] Simplificăm factorii comuni \( k_0 \) și \( |q| \): \[ \frac{q_1}{(d - x)^2} = \frac{q_2}{x^2} \] Rearanjăm relația sub formă de raport de pătrate: \[ \frac{(d - x)^2}{x^2} = \frac{q_1}{q_2} \] Extragem rădăcina pătrată din ambele părți ale egalității (deoarece distanțele sunt pozitive, \( d - x > 0 \) și \( x > 0 \)): \[ \frac{d - x}{x} = \sqrt{\frac{q_1}{q_2}} \] Înlocuim valorile numerice: \[ \frac{1 - x}{x} = \sqrt{\frac{4 \cdot 10^{-3}}{9 \cdot 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \] Înmulțim pe diagonală: \[ 3 \cdot (1 - x) = 2 \cdot x \] \[ 3 - 3x = 2x \] Trecem termenul cu \( x \) în partea dreaptă: \[ 3 = 2x + 3x \] \[ 5x = 3 \] Calculăm valoarea lui \( x \): \[ x = \frac{3}{5} \text{ m} = 0,6 \text{ m} \]Rezolvare scurtă:
\( F_1 = F_2 \Rightarrow \frac{q_1}{(d-x)^2} = \frac{q_2}{x^2} \Rightarrow \frac{1-x}{x} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3 - 3x = 2x \Rightarrow 5x = 3 \Rightarrow x = 0,6\text{ m} \)
