Copertă

IV.4.1. Descoperă Singur!

Rezolvări + Recapitulare

Lecția IV.4.1 conține următoarele grupuri de exerciții:

IV.4.1. Descoperă Singur! IV.4.1. Exersăm

Alege rezolvarea exercițiului:

Exercițiul 1 (gratuit)

Rezolvare scurtă

1. Continuarea împărțirilor și verificarea

\[ \begin{array}{} & 85 & : & 2 & = 42 \text{ rest } 1 \\ & -8 \\ & =5 \\ & -4 \\ & 1 \\ \end{array} \] Proba: \( 42 \cdot 2 + 1 = 84 + 1 = 85 \) \[ \begin{array}{} & 79 & : & 3 & = 26 \text{ rest } 1 \\ & -6 \\ & 19 \\ & -18 \\ & 1 \\ \end{array} \] Proba: \( 26 \cdot 3 + 1 = 78 + 1 = 79 \)

2. Deosebirea observată

Deosebirea este că împărțirile de la rubrica „Descoperim!” sunt exacte (rest 0), în timp ce aceste exerciții sunt împărțiri cu rest (rest 1).

Rezolvare detaliată

Pentru a rezolva cerințele, vom utiliza algoritmul de împărțire în scris (pas cu pas) și proba împărțirii cu rest.

1. Continuarea împărțirilor

Prima împărțire: \( 85 : 2 \)

Pasul 1: Avem deja începutul: \( 8 : 2 = 4 \). S-a scăzut \( 8 \), iar restul parțial este \( 0 \). S-a coborât cifra unităților, \( 5 \). Pasul 2: Împărțim \( 5 \) la \( 2 \). Cel mai apropiat număr este \( 2 \), deoarece \( 2 \cdot 2 = 4 \). Scriem \( 2 \) la cât. Pasul 3: Scădem \( 4 \) din \( 5 \) pentru a afla restul final: \( 5 - 4 = 1 \). \[ \begin{array}{} & 85 & : & 2 & = 42 \text{ rest } 1 \\ & -8 \\ & =5 \\ & -4 \\ & 1 \\ \end{array} \] Verificare: Folosim formula \( D = Î \cdot C + R \). \( 2 \cdot 42 + 1 = 84 + 1 = 85 \) (Corect)

A doua împărțire: \( 79 : 3 \)

Pasul 1: Începem prin a împărți zecile: \( 7 : 3 = 2 \). Scădem \( 2 \cdot 3 = 6 \). Restul parțial este \( 1 \). Pasul 2: Coborâm cifra unităților, \( 9 \), lângă restul \( 1 \). Obținem numărul \( 19 \). Pasul 3: Împărțim \( 19 \) la \( 3 \). Cel mai mare multiplu al lui \( 3 \) mai mic decât \( 19 \) este \( 18 \) (\( 6 \cdot 3 \)). Scriem \( 6 \) la cât. Pasul 4: Scădem \( 18 \) din \( 19 \): \( 19 - 18 = 1 \). Acesta este restul final. \[ \begin{array}{} & 79 & : & 3 & = 26 \text{ rest } 1 \\ & -6 \\ & 19 \\ & -18 \\ & 1 \\ \end{array} \] Verificare: \( 3 \cdot 26 + 1 = 78 + 1 = 79 \) (Corect)

2. Deosebirea față de rubrica „Descoperim!”

În exemplele de la rubrica Descoperim! (\( 36 : 3 = 12 \) și \( 38 : 2 = 19 \)), împărțirile sunt exacte, adică restul final este \( 0 \). În exercițiile rezolvate acum (\( 85 : 2 \) și \( 79 : 3 \)), împărțirile sunt cu rest (restul este \( 1 \)), ceea ce înseamnă că deîmpărțitul nu se divide exact la împărțitor.

Rezolvare pe scurt:

\( 85 : 2 = 42 \text{ rest } 1 \) Proba: \( 42 \cdot 2 + 1 = 84 + 1 = 85 \) \( 79 : 3 = 26 \text{ rest } 1 \) Proba: \( 26 \cdot 3 + 1 = 78 + 1 = 79 \) Deosebire: Aceste împărțiri au restul 1, spre deosebire de cele de la „Descoperim!” care au restul 0 (sunt exacte).

Cele mai importante aspecte ale lecției

Algoritmul de împărțire la o cifră constă în parcurgerea repetată a pașilor: împărțire parțială \(\rightarrow\) înmulțire \(\rightarrow\) scădere pentru aflarea restului \(\rightarrow\) coborârea următoarei cifre.
Caz special: Când prima cifră a deîmpărțitului este mai mică decât împărțitorul, se pornește împărțirea luând primele două cifre (Exemplu: la \( 127 : 5 \), începem cu \( 12 : 5 \)).
Relația de verificare (Proba): Orice împărțire cu rest respectă egalitatea: \[ D = I \times C + R, \quad \text{unde } R < I \]
Împărțirea unui număr de două sau mai multe cifre la un număr de o cifră se realizează cifră cu cifră, de la stânga la dreapta (începând cu ordinul cel mai mare: sute, zeci, unități).
Împărțirea zecilor: Împărțim cifra zecilor la împărțitor, scriem rezultatul la cât, înmulțim înapoi și scădem din cifra zecilor pentru a afla restul parțial.
Coborârea unităților: Coborâm cifra unităților lângă restul parțial obținut și repetăm procedeul (împărțire, înmulțire, scădere).
Să calculăm \( 84 : 2 \):
  • Împărțim zecile: \( 8 : 2 = 4 \). Scriem \( 4 \) la cât. Înmulțim \( 4 \times 2 = 8 \) și scădem: \( 8 - 8 = 0 \).
  • Coborâm unitățile (\( 4 \)). Împărțim: \( 4 : 2 = 2 \). Scriem \( 2 \) la cât. Înmulțim \( 2 \times 2 = 4 \) și scădem: \( 4 - 4 = 0 \).
  • Câtul final este \( 42 \).
Diagramă pe rețea de pătrățele care ilustrează algoritmul împărțirii în scris pe verticală pentru 84 : 2, cu săgeți care arată coborârea cifrei unităților.
Calculați \( 69 : 3 \) folosind algoritmul de mai sus.
  • Împărțim zecile: \( 6 : 3 = 2 \). Scriem \( 2 \) la cât. \( 2 \times 3 = 6 \), scădem \( 6 - 6 = 0 \).
  • Coborâm unitățile (\( 9 \)). Împărțim: \( 9 : 3 = 3 \). Scriem \( 3 \) la cât. \( 3 \times 3 = 9 \), scădem \( 9 - 9 = 0 \).
  • Rezultatul este \( 23 \).
Dacă prima cifră a deîmpărțitului este mai mică decât împărțitorul, se iau primele două cifre ale deîmpărțitului pentru a începe împărțirea.
Să calculăm \( 127 : 5 \). Deoarece sutele \( 1 < 5 \), luăm primele două cifre: \( 12 \).
  • Spunem: „5 se cuprinde în 12 de 2 ori”. Scriem \( 2 \) la cât. Înmulțim \( 2 \times 5 = 10 \). Scădem \( 12 - 10 = 2 \).
  • Coborâm unitățile (\( 7 \)) lângă restul \( 2 \), formând numărul \( 27 \).
  • Spunem: „5 se cuprinde în 27 de 5 ori”. Scriem \( 5 \) la cât. Înmulțim \( 5 \times 5 = 25 \). Scădem \( 27 - 25 = 2 \).
  • Câtul este \( 25 \), iar restul este \( 2 \).
Calculați câtul și restul împărțirii \( 234 : 7 \).
Deoarece \( 2 < 7 \), luăm primele două cifre, adică \( 23 \).
  • \( 7 \) se cuprinde în \( 23 \) de \( 3 \) ori. Scriem \( 3 \) la cât. \( 3 \times 7 = 21 \). Scădem \( 23 - 21 = 2 \).
  • Coborâm cifra \( 4 \), obținând numărul \( 24 \).
  • \( 7 \) se cuprinde în \( 24 \) de \( 3 \) ori. Scriem \( 3 \) la cât. \( 3 \times 7 = 21 \). Scădem \( 24 - 21 = 3 \).
  • Rezultat: câtul \( 33 \) și restul \( 3 \).
Pentru numere formate din mii, zeci de mii sau mai mari, procesul de împărțire se repetă succesiv, respectând întotdeauna aceeași schemă ciclică de operații.
Bucla algoritmului:
1. Împărțire (Câte ori se cuprinde împărțitorul?)
2. Înmulțire (Câtul parțial înmulțit cu împărțitorul)
3. Scădere (Aflarea restului parțial)
4. Coborârea următoarei cifre
La împărțirea \( 2472 : 4 \):
  • Deoarece \( 2 < 4 \), luăm \( 24 \). Avem \( 24 : 4 = 6 \). Scădem \( 24 - 24 = 0 \).
  • Coborâm pe \( 7 \). Avem \( 7 : 4 = 1 \). Scădem \( 7 - 4 = 3 \).
  • Coborâm pe \( 2 \), formând \( 32 \). Avem \( 32 : 4 = 8 \). Scădem \( 32 - 32 = 0 \).
  • Rezultatul final este \( 618 \).
Ilustrarea împărțirii pe grilă a numărului 13456 la 5, evidențiind succesiv scăderile și coborârile cifrelor până la obținerea restului final.
Orice operație de împărțire cu rest respectă relația fundamentală a împărțirii:
\[ D = I \times C + R \] unde:
D = deîmpărțit,
I = împărțitor (I \neq 0),
C = cât,
R = rest, cu condiția obligatorie ca R < I.
Pentru împărțirea \( 127 : 5 = 25 \) rest \( 2 \), proba se face astfel: \[ (25 \times 5) + 2 = 125 + 2 = 127 \]
Aflați deîmpărțitul dacă împărțitorul este \( 6 \), câtul este \( 14 \), iar restul este \( 4 \).
Aplicăm formula: \( D = I \times C + R \).
Înlocuim datele: \[ D = 6 \times 14 + 4 \] \[ D = 84 + 4 = 88 \] Verificăm dacă restul \( 4 \) este mai mic decât împărțitorul \( 6 \). Deoarece \( 4 < 6 \), condiția este îndeplinită.
Răspuns: Deîmpărțitul este \( 88 \).

Probleme practice

Problemă 1 (Ușoară): Efectuați împărțirea \( 56 : 2 \) și realizați proba prin înmulțire.
  • Împărțim zecile: \( 5 : 2 = 2 \), rest \( 1 \) (deoarece \( 2 \times 2 = 4 \)).
  • Coborâm \( 6 \) lângă restul \( 1 \), obținând \( 16 \).
  • Împărțim: \( 16 : 2 = 8 \).
  • Câtul este \( 28 \), restul este \( 0 \).
Proba: \( 28 \times 2 = 56 \).
Problemă 2 (Medie): O fabrică de jucării ambalează \( 2200 \) de plușuri în cutii. În fiecare cutie se pun câte \( 4 \) plușuri. Câte cutii se vor folosi? Rămâne vreun pluș neambalat?
Trebuie să calculăm \( 2200 : 4 \).
  • \( 2 < 4 \), luăm primele două cifre: \( 22 \).
  • \( 22 : 4 = 5 \) (zeci de mii/sute), rest \( 2 \) (\( 5 \times 4 = 20 \)).
  • Coborâm prima cifră zero, obținem \( 20 \). \( 20 : 4 = 5 \), rest \( 0 \).
  • Coborâm a doua cifră zero. \( 0 : 4 = 0 \).
  • Câtul final este \( 550 \), iar restul este \( 0 \).
Răspuns: Se folosesc \( 550 \) de cutii. Nu rămâne niciun pluș neambalat (împărțirea este exactă).
Problemă 3 (Dificilă): Prin împărțirea unui număr natural la cel mai mare număr de o cifră se obține câtul \( 120 \) și un rest număr impar. Ce valori poate avea deîmpărțitul? Găsiți toate variantele posibile.
  • Cel mai mare număr de o cifră (împărțitorul, \( I \)) este \( 9 \).
  • Câtul (\( C \)) este \( 120 \).
  • Restul (\( R \)) trebuie să fie mai mic decât împărțitorul (\( R < 9 \)) și număr impar.
  • Valorile posibile pentru rest sunt: \( R \in \{1, 3, 5, 7\} \).
  • Folosim formula: \( D = I \times C + R \Rightarrow D = 9 \times 120 + R = 1080 + R \).
Calculăm valorile posibile ale deîmpărțitului:
1) Pentru \( R = 1 \): \( D = 1080 + 1 = 1081 \)
2) Pentru \( R = 3 \): \( D = 1080 + 3 = 1083 \)
3) Pentru \( R = 5 \): \( D = 1080 + 5 = 1085 \)
4) Pentru \( R = 7 \): \( D = 1080 + 7 = 1087 \)
Răspuns: Valorile posibile ale deîmpărțitului sunt: \( 1081, 1083, 1085, 1087 \).

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

17977 rezolvări

932 lecții și teste

Иконка Математика

Fizică

572 rezolvări

394 lecții și teste

Иконка Физика
Clasa a 6-a

Chimie

29 rezolvări

214 lecții și teste

Иконка Химия

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text
Află mai multe