Cele mai importante aspecte ale lecției
Algoritmul de împărțire la o cifră constă în parcurgerea repetată a pașilor: împărțire parțială \(\rightarrow\) înmulțire \(\rightarrow\) scădere pentru aflarea restului \(\rightarrow\) coborârea următoarei cifre.
Caz special: Când prima cifră a deîmpărțitului este mai mică decât împărțitorul, se pornește împărțirea luând primele două cifre (Exemplu: la \( 127 : 5 \), începem cu \( 12 : 5 \)).
Relația de verificare (Proba): Orice împărțire cu rest respectă egalitatea: \[ D = I \times C + R, \quad \text{unde } R < I \]
Caz special: Când prima cifră a deîmpărțitului este mai mică decât împărțitorul, se pornește împărțirea luând primele două cifre (Exemplu: la \( 127 : 5 \), începem cu \( 12 : 5 \)).
Relația de verificare (Proba): Orice împărțire cu rest respectă egalitatea: \[ D = I \times C + R, \quad \text{unde } R < I \]
Împărțirea unui număr de două sau mai multe cifre la un număr de o cifră se realizează cifră cu cifră, de la stânga la dreapta (începând cu ordinul cel mai mare: sute, zeci, unități).
Împărțirea zecilor: Împărțim cifra zecilor la împărțitor, scriem rezultatul la cât, înmulțim înapoi și scădem din cifra zecilor pentru a afla restul parțial.
Coborârea unităților: Coborâm cifra unităților lângă restul parțial obținut și repetăm procedeul (împărțire, înmulțire, scădere).
Să calculăm \( 84 : 2 \):
- Împărțim zecile: \( 8 : 2 = 4 \). Scriem \( 4 \) la cât. Înmulțim \( 4 \times 2 = 8 \) și scădem: \( 8 - 8 = 0 \).
- Coborâm unitățile (\( 4 \)). Împărțim: \( 4 : 2 = 2 \). Scriem \( 2 \) la cât. Înmulțim \( 2 \times 2 = 4 \) și scădem: \( 4 - 4 = 0 \).
- Câtul final este \( 42 \).
Calculați \( 69 : 3 \) folosind algoritmul de mai sus.
- Împărțim zecile: \( 6 : 3 = 2 \). Scriem \( 2 \) la cât. \( 2 \times 3 = 6 \), scădem \( 6 - 6 = 0 \).
- Coborâm unitățile (\( 9 \)). Împărțim: \( 9 : 3 = 3 \). Scriem \( 3 \) la cât. \( 3 \times 3 = 9 \), scădem \( 9 - 9 = 0 \).
- Rezultatul este \( 23 \).
Dacă prima cifră a deîmpărțitului este mai mică decât împărțitorul, se iau primele două cifre ale deîmpărțitului pentru a începe împărțirea.
Să calculăm \( 127 : 5 \). Deoarece sutele \( 1 < 5 \), luăm primele două cifre: \( 12 \).
- Spunem: „5 se cuprinde în 12 de 2 ori”. Scriem \( 2 \) la cât. Înmulțim \( 2 \times 5 = 10 \). Scădem \( 12 - 10 = 2 \).
- Coborâm unitățile (\( 7 \)) lângă restul \( 2 \), formând numărul \( 27 \).
- Spunem: „5 se cuprinde în 27 de 5 ori”. Scriem \( 5 \) la cât. Înmulțim \( 5 \times 5 = 25 \). Scădem \( 27 - 25 = 2 \).
- Câtul este \( 25 \), iar restul este \( 2 \).
Calculați câtul și restul împărțirii \( 234 : 7 \).
Deoarece \( 2 < 7 \), luăm primele două cifre, adică \( 23 \).
- \( 7 \) se cuprinde în \( 23 \) de \( 3 \) ori. Scriem \( 3 \) la cât. \( 3 \times 7 = 21 \). Scădem \( 23 - 21 = 2 \).
- Coborâm cifra \( 4 \), obținând numărul \( 24 \).
- \( 7 \) se cuprinde în \( 24 \) de \( 3 \) ori. Scriem \( 3 \) la cât. \( 3 \times 7 = 21 \). Scădem \( 24 - 21 = 3 \).
- Rezultat: câtul \( 33 \) și restul \( 3 \).
Pentru numere formate din mii, zeci de mii sau mai mari, procesul de împărțire se repetă succesiv, respectând întotdeauna aceeași schemă ciclică de operații.
Bucla algoritmului:
1. Împărțire (Câte ori se cuprinde împărțitorul?)
2. Înmulțire (Câtul parțial înmulțit cu împărțitorul)
3. Scădere (Aflarea restului parțial)
4. Coborârea următoarei cifre
1. Împărțire (Câte ori se cuprinde împărțitorul?)
2. Înmulțire (Câtul parțial înmulțit cu împărțitorul)
3. Scădere (Aflarea restului parțial)
4. Coborârea următoarei cifre
La împărțirea \( 2472 : 4 \):
- Deoarece \( 2 < 4 \), luăm \( 24 \). Avem \( 24 : 4 = 6 \). Scădem \( 24 - 24 = 0 \).
- Coborâm pe \( 7 \). Avem \( 7 : 4 = 1 \). Scădem \( 7 - 4 = 3 \).
- Coborâm pe \( 2 \), formând \( 32 \). Avem \( 32 : 4 = 8 \). Scădem \( 32 - 32 = 0 \).
- Rezultatul final este \( 618 \).
Orice operație de împărțire cu rest respectă relația fundamentală a împărțirii:
\[ D = I \times C + R \]
unde:
D = deîmpărțit,
I = împărțitor (I \neq 0),
C = cât,
R = rest, cu condiția obligatorie ca R < I.
D = deîmpărțit,
I = împărțitor (I \neq 0),
C = cât,
R = rest, cu condiția obligatorie ca R < I.
Pentru împărțirea \( 127 : 5 = 25 \) rest \( 2 \), proba se face astfel:
\[ (25 \times 5) + 2 = 125 + 2 = 127 \]
Aflați deîmpărțitul dacă împărțitorul este \( 6 \), câtul este \( 14 \), iar restul este \( 4 \).
Aplicăm formula: \( D = I \times C + R \).
Înlocuim datele: \[ D = 6 \times 14 + 4 \] \[ D = 84 + 4 = 88 \] Verificăm dacă restul \( 4 \) este mai mic decât împărțitorul \( 6 \). Deoarece \( 4 < 6 \), condiția este îndeplinită.
Răspuns: Deîmpărțitul este \( 88 \).
Înlocuim datele: \[ D = 6 \times 14 + 4 \] \[ D = 84 + 4 = 88 \] Verificăm dacă restul \( 4 \) este mai mic decât împărțitorul \( 6 \). Deoarece \( 4 < 6 \), condiția este îndeplinită.
Răspuns: Deîmpărțitul este \( 88 \).
Probleme practice
Problemă 1 (Ușoară): Efectuați împărțirea \( 56 : 2 \) și realizați proba prin înmulțire.
- Împărțim zecile: \( 5 : 2 = 2 \), rest \( 1 \) (deoarece \( 2 \times 2 = 4 \)).
- Coborâm \( 6 \) lângă restul \( 1 \), obținând \( 16 \).
- Împărțim: \( 16 : 2 = 8 \).
- Câtul este \( 28 \), restul este \( 0 \).
Problemă 2 (Medie): O fabrică de jucării ambalează \( 2200 \) de plușuri în cutii. În fiecare cutie se pun câte \( 4 \) plușuri. Câte cutii se vor folosi? Rămâne vreun pluș neambalat?
Trebuie să calculăm \( 2200 : 4 \).
- \( 2 < 4 \), luăm primele două cifre: \( 22 \).
- \( 22 : 4 = 5 \) (zeci de mii/sute), rest \( 2 \) (\( 5 \times 4 = 20 \)).
- Coborâm prima cifră zero, obținem \( 20 \). \( 20 : 4 = 5 \), rest \( 0 \).
- Coborâm a doua cifră zero. \( 0 : 4 = 0 \).
- Câtul final este \( 550 \), iar restul este \( 0 \).
Problemă 3 (Dificilă): Prin împărțirea unui număr natural la cel mai mare număr de o cifră se obține câtul \( 120 \) și un rest număr impar. Ce valori poate avea deîmpărțitul? Găsiți toate variantele posibile.
1) Pentru \( R = 1 \): \( D = 1080 + 1 = 1081 \)
2) Pentru \( R = 3 \): \( D = 1080 + 3 = 1083 \)
3) Pentru \( R = 5 \): \( D = 1080 + 5 = 1085 \)
4) Pentru \( R = 7 \): \( D = 1080 + 7 = 1087 \)
Răspuns: Valorile posibile ale deîmpărțitului sunt: \( 1081, 1083, 1085, 1087 \).
- Cel mai mare număr de o cifră (împărțitorul, \( I \)) este \( 9 \).
- Câtul (\( C \)) este \( 120 \).
- Restul (\( R \)) trebuie să fie mai mic decât împărțitorul (\( R < 9 \)) și număr impar.
- Valorile posibile pentru rest sunt: \( R \in \{1, 3, 5, 7\} \).
- Folosim formula: \( D = I \times C + R \Rightarrow D = 9 \times 120 + R = 1080 + R \).
1) Pentru \( R = 1 \): \( D = 1080 + 1 = 1081 \)
2) Pentru \( R = 3 \): \( D = 1080 + 3 = 1083 \)
3) Pentru \( R = 5 \): \( D = 1080 + 5 = 1085 \)
4) Pentru \( R = 7 \): \( D = 1080 + 7 = 1087 \)
Răspuns: Valorile posibile ale deîmpărțitului sunt: \( 1081, 1083, 1085, 1087 \).
