Cele mai importante aspecte ale lecției
Proprietățile înmulțirii ne ajută să calculăm mai rapid și mai inteligent:
• Comutativitatea: Ordinea nu contează. \( a \times b = b \times a \)
• Asociativitatea: Gruparea nu contează. \( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \)
• Elementul neutru (\(1\)): \( a \times 1 = a \)
• Înmulțirea cu zero (\(0\)): \( a \times 0 = 0 \)
• Distributivitatea: \( a \times (b \pm c) = a \times b \pm a \times c \)
• Comutativitatea: Ordinea nu contează. \( a \times b = b \times a \)
• Asociativitatea: Gruparea nu contează. \( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \)
• Elementul neutru (\(1\)): \( a \times 1 = a \)
• Înmulțirea cu zero (\(0\)): \( a \times 0 = 0 \)
• Distributivitatea: \( a \times (b \pm c) = a \times b \pm a \times c \)
Într-o înmulțire, se poate schimba ordinea factorilor fără ca rezultatul (produsul) să se modifice.
\[ a \times b = b \times a \]
\( 4 \times 7 = 28 \) și \( 7 \times 4 = 28 \).
Verificați egalitatea \( 15 \times 4 = 4 \times 15 \).
Calculăm ambele părți:
\( 15 \times 4 = 60 \)
\( 4 \times 15 = 60 \)
Deoarece \( 60 = 60 \), egalitatea este adevărată. Aceasta demonstrează comutativitatea.
\( 15 \times 4 = 60 \)
\( 4 \times 15 = 60 \)
Deoarece \( 60 = 60 \), egalitatea este adevărată. Aceasta demonstrează comutativitatea.
Într-o înmulțire cu trei sau mai mulți factori, aceștia pot fi asociați (grupați) în moduri diferite, folosind paranteze, fără ca rezultatul final să se schimbe. Această proprietate este foarte utilă pentru calculul rapid.
\[ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \]
Calculează rapid produsul \( 2 \times 37 \times 5 \), folosind proprietățile înmulțirii.
Folosim comutativitatea pentru a alătura factorii convenabili și asociativitatea pentru a-i grupa:
\( 2 \times 37 \times 5 = (2 \times 5) \times 37 = 10 \times 37 = 370 \).
\( 2 \times 37 \times 5 = (2 \times 5) \times 37 = 10 \times 37 = 370 \).
Elementul neutru: Numărul \(1\) este elementul neutru la înmulțire. Orice număr înmulțit cu \(1\) rămâne neschimbat.
\[ a \times 1 = a \]
\[ 1 \times a = a \]
Înmulțirea cu zero: Produsul dintre orice număr și \(0\) este întotdeauna \(0\).
\[ a \times 0 = 0 \]
\[ 0 \times a = 0 \]
Calculează: \( 427 \times 1 \times 15 \times 0 \times 3 \).
Răspuns: \(0\).
Deoarece unul dintre factorii înmulțirii este \(0\), întregul produs va fi automat \(0\), indiferent de valoarea celorlalți factori.
Deoarece unul dintre factorii înmulțirii este \(0\), întregul produs va fi automat \(0\), indiferent de valoarea celorlalți factori.
Înmulțirea este distributivă față de adunare și scădere. Aceasta înseamnă că înmulțirea unui număr cu o sumă (sau o diferență) este egală cu suma (sau diferența) produselor acelui număr cu fiecare termen din paranteză.
Față de adunare: \[ a \times (b + c) = a \times b + a \times c \]
Față de scădere: \[ a \times (b - c) = a \times b - a \times c \]
Calculând \( 3 \times (10 + 4) \) putem face în două moduri:
1. Rezolvând paranteza: \( 3 \times 14 = 42 \)
2. Folosind distributivitatea: \( 3 \times 10 + 3 \times 4 = 30 + 12 = 42 \)
1. Rezolvând paranteza: \( 3 \times 14 = 42 \)
2. Folosind distributivitatea: \( 3 \times 10 + 3 \times 4 = 30 + 12 = 42 \)
Calculează în două moduri expresia: \( 5 \times (20 - 2) \).
Modul 1 (efectuând scăderea din paranteză):
\( 5 \times 18 = 90 \)
Modul 2 (folosind distributivitatea):
\( 5 \times 20 - 5 \times 2 = 100 - 10 = 90 \)
\( 5 \times 18 = 90 \)
Modul 2 (folosind distributivitatea):
\( 5 \times 20 - 5 \times 2 = 100 - 10 = 90 \)
Exerciții
Ușoară: Calculează cât mai simplu și rapid, folosind asociativitatea și comutativitatea: \( 25 \times 83 \times 4 \).
Grupăm factorii care ne dau un rezultat rotund (în acest caz, \(25 \times 4\)):
\( (25 \times 4) \times 83 = 100 \times 83 = 8300 \)
\( (25 \times 4) \times 83 = 100 \times 83 = 8300 \)
Medie: Calculează expresia următoare aplicând distributivitatea (scoaterea factorului comun): \( 45 \times 13 + 45 \times 87 \).
Observăm că numărul \(45\) se înmulțește cu fiecare termen. Îl putem scoate în fața unei paranteze:
\( 45 \times (13 + 87) = 45 \times 100 = 4500 \).
Acest calcul este mult mai rapid decât efectuarea fiecărei înmulțiri separat!
\( 45 \times (13 + 87) = 45 \times 100 = 4500 \).
Acest calcul este mult mai rapid decât efectuarea fiecărei înmulțiri separat!
Dificilă: Într-o bibliotecă sunt 109 rafturi. Pe fiecare raft se află câte 27 de cărți de povești și câte 23 de cărți de poezii. Scrie o singură expresie numerică pentru a afla numărul total de cărți din bibliotecă și calculează rezultatul folosind proprietățile înmulțirii.
Numărul de cărți de povești este \(109 \times 27\).
Numărul de cărți de poezii este \(109 \times 23\).
Expresia pentru total este: \( 109 \times 27 + 109 \times 23 \).
Aplicăm distributivitatea pentru a rezolva mai ușor:
\( 109 \times (27 + 23) = 109 \times 50 = 5450 \) cărți în total.
Numărul de cărți de poezii este \(109 \times 23\).
Expresia pentru total este: \( 109 \times 27 + 109 \times 23 \).
Aplicăm distributivitatea pentru a rezolva mai ușor:
\( 109 \times (27 + 23) = 109 \times 50 = 5450 \) cărți în total.
