Cele mai importante aspecte ale lecției
Aflarea numărului necunoscut se bazează pe operațiile inverse:
- La adunare: \(\text{termen} = \text{sumă} - \text{termenul cunoscut}\)
Exemplu: \(x + 10 = 15 \implies x = 15 - 10 = 5\) - La scădere:
- Pentru descăzut: \(\text{descăzut} = \text{diferență} + \text{scăzător}\)
Exemplu: \(d - 4 = 6 \implies d = 6 + 4 = 10\) - Pentru scăzător: \(\text{scăzător} = \text{descăzut} - \text{diferență}\)
Exemplu: \(10 - s = 6 \implies s = 10 - 6 = 4\)
- Pentru descăzut: \(\text{descăzut} = \text{diferență} + \text{scăzător}\)
Metoda balanței este un procedeu prin care se efectuează aceeași operație matematică în ambele părți ale unei egalități (pe ambele talere ale unei balanțe aflate în echilibru) pentru a izola și a afla valoarea numărului necunoscut.
Identificăm operația care se efectuează asupra numărului necunoscut.
Aplicăm operația inversă asupra ambilor membri ai egalității pentru a izola necunoscuta.
Dacă avem relația \( a + 14\,500 = 14\,530 \), scădem \( 14\,500 \) din ambele părți:
\[ a + 14\,500 - 14\,500 = 14\,530 - 14\,500 \]
\[ a = 30 \]
\[ \text{termen}_1 + \text{termen}_2 = \text{sumă} \]
Pentru a afla un termen necunoscut, scădem termenul cunoscut din sumă.
\[ \text{termen necunoscut} = \text{sumă} - \text{termen cunoscut} \]
Să aflăm numărul necunoscut \( a \) din relația:
\[ 12\,000 + a = 12\,400 \]
Aplicăm regula:
\[ a = 12\,400 - 12\,000 \]
\[ a = 400 \]
Verificare: \( 12\,000 + 400 = 12\,400 \) (Adevărat)
Aflați numărul necunoscut \( x \):
\[ x + 2\,560 = 4\,230 \]
Pentru a afla termenul \( x \), scădem termenul cunoscut din sumă:
\[ x = 4\,230 - 2\,560 \]
\[ x = 1\,670 \]
Verificare: \( 1\,670 + 2\,560 = 4\,230 \)
\[ \text{descăzut} - \text{scăzător} = \text{diferență (rest)} \]
Aflarea descăzutului (d): Pentru a afla descăzutul, adunăm diferența (restul) cu scăzătorul.
\[ \text{descăzut} = \text{diferență} + \text{scăzător} \]
Aflarea scăzătorului (s): Pentru a afla scăzătorul, scădem diferența (restul) din descăzut.
\[ \text{scăzător} = \text{descăzut} - \text{diferență} \]
1. Aflarea descăzutului:
\[ a - 10\,350 = 9\,650 \implies a = 9\,650 + 10\,350 \implies a = 20\,000 \]
2. Aflarea scăzătorului:
\[ 11\,000 - b = 10\,750 \implies b = 11\,000 - 10\,750 \implies b = 250 \]
Aflați numărul necunoscut \( y \):
\[ 35\,000 - y = 12\,300 \]
Deoarece \( y \) este scăzătorul, îl aflăm scăzând diferența din descăzut:
\[ y = 35\,000 - 12\,300 \]
\[ y = 22\,700 \]
Verificare: \( 35\,000 - 22\,700 = 12\,300 \)
Probleme propuse
Problemă 1 (Ușoară): Aflați numărul necunoscut \( a \) din relația:
\[ a - 234\,475 = 131\,057 \]
Numărul \( a \) este descăzutul. Îl aflăm prin adunarea diferenței cu scăzătorul:
\[ a = 131\,057 + 234\,475 \]
\[ a = 365\,532 \]
Răspuns: \( a = 365\,532 \)
Problemă 2 (Medie): Aflați numărul din care, scăzând \( 33\,786 \), obținem diferența \( 3\,218 \).
Notăm numărul necunoscut cu \( x \). Transpunem problema într-o relație matematică:
\[ x - 33\,786 = 3\,218 \]
Deoarece \( x \) este descăzutul, îl calculăm prin adunare:
\[ x = 3\,218 + 33\,786 \]
\[ x = 37\,004 \]
Răspuns: Numărul căutat este \( 37\,004 \).
Problemă 3 (Dificilă): Suma a trei numere este \( 71\,459 \). Suma primelor două numere este \( 39\,033 \), iar suma ultimelor două numere este \( 56\,034 \). Aflați cele trei numere.
Notăm cele trei numere cu \( a \), \( b \) și \( c \). Scriem relațiile din text:
\[ 1) \quad a + b + c = 71\,459 \]
\[ 2) \quad a + b = 39\,033 \]
\[ 3) \quad b + c = 56\,034 \]
Înlocuim suma primelor două numere \( (a + b) \) în prima relație:
\[ 39\,033 + c = 71\,459 \implies c = 71\,459 - 39\,033 \implies c = 32\,426 \]
Acum înlocuim valoarea lui \( c \) în relația a treia pentru a-l afla pe \( b \):
\[ b + 32\,426 = 56\,034 \implies b = 56\,034 - 32\,426 \implies b = 23\,608 \]
În final, îl aflăm pe \( a \) din relația a doua:
\[ a + 23\,608 = 39\,033 \implies a = 39\,033 - 23\,608 \implies a = 15\,425 \]
Verificare: \( 15\,425 + 23\,608 + 32\,426 = 71\,459 \) (Corect)
Răspuns: Numerele sunt \( 15\,425 \), \( 23\,608 \) și \( 32\,426 \).
Răspuns: Numerele sunt \( 15\,425 \), \( 23\,608 \) și \( 32\,426 \).
