II.8. Împărțirea Cu Rest Zero A Numerelor Naturale

Pasul 1: Rezolvarea subpunctului a)

Trebuie să calculăm \( \overline{yyyy} : y \). Vom folosi descompunerea numărului \( \overline{yyyy} \) în baza 10: \[ \overline{yyyy} = y \cdot 1000 + y \cdot 100 + y \cdot 10 + y \] Putem scoate cifra \( y \) ca factor comun: \[ \overline{yyyy} = y \cdot (1000 + 100 + 10 + 1) = y \cdot 1111 \] Acum efectuăm împărțirea: \[ (y \cdot 1111) : y = 1111 \]

Pasul 2: Rezolvarea subpunctului b)

Trebuie să calculăm \( \overline{yyyy} : \overline{yy} \). Descompunem ambele numere: \[ \overline{yyyy} = y \cdot 1111 \] \[ \overline{yy} = y \cdot 10 + y = y \cdot (10 + 1) = y \cdot 11 \] Împărțirea devine: \[ (y \cdot 1111) : (y \cdot 11) = 1111 : 11 \] Efectuăm împărțirea numerică: \[ \begin{array}{} & 1111 & : & 11 & = 101 \\ & -11 \\ & 01 & \\ & -0 \\ & 11 \\ & -11 \\ & 0 \\ \end{array} \] Rezultatul este 101.

Pasul 3: Rezolvarea subpunctului c)

Trebuie să calculăm \( \overline{xyxy} : \overline{xy} \). Descompunem deîmpărțitul grupând termenii care conțin secvența \( \overline{xy} \): \[ \overline{xyxy} = \overline{xy} \cdot 100 + \overline{xy} \] Scoatem factorul comun \( \overline{xy} \): \[ \overline{xyxy} = \overline{xy} \cdot (100 + 1) = \overline{xy} \cdot 101 \] Efectuăm împărțirea: \[ (\overline{xy} \cdot 101) : \overline{xy} = 101 \]

Pasul 4: Rezolvarea subpunctului d)

Trebuie să calculăm \( \overline{xyxyxy} : \overline{xy} \). Similar cu pasul anterior, descompunem numărul: \[ \overline{xyxyxy} = \overline{xy} \cdot 10000 + \overline{xy} \cdot 100 + \overline{xy} \] Scoatem factorul comun \( \overline{xy} \): \[ \overline{xyxyxy} = \overline{xy} \cdot (10000 + 100 + 1) = \overline{xy} \cdot 10101 \] Efectuăm împărțirea: \[ (\overline{xy} \cdot 10101) : \overline{xy} = 10101 \]

a) \( \overline{yyyy} : y = 1111y : y = 1111 \) b) \( \overline{yyyy} : \overline{yy} = 1111y : 11y = 1111 : 11 = 101 \) c) \( \overline{xyxy} : \overline{xy} = (100 \cdot \overline{xy} + \overline{xy}) : \overline{xy} = 101 \cdot \overline{xy} : \overline{xy} = 101 \) d) \( \overline{xyxyxy} : \overline{xy} = (10000\overline{xy} + 100\overline{xy} + \overline{xy}) : \overline{xy} = 10101\overline{xy} : \overline{xy} = 10101 \)