Cele mai importante aspecte ale lecției
Criteriul cu 3: Un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale se împarte exact la 3. Exemplu: \( 102 \rightarrow 1+0+2 = 3 \vdots 3 \).
Criteriul cu 9: Un număr este divizibil cu 9 dacă suma cifrelor sale se împarte exact la 9. Exemplu: \( 288 \rightarrow 2+8+8 = 18 \vdots 9 \).
Proprietate utilă: Restul împărțirii unui număr la 9 este egal cu suma repetată a cifrelor sale aduse la o singură cifră (dacă se obține 9, restul este 0). Exemplu: pentru \( 88 \), \( 8+8=16 \rightarrow 1+6=7 \), deci restul împărțirii lui \( 88 \) la 9 este 7.
Criteriul cu 9: Un număr este divizibil cu 9 dacă suma cifrelor sale se împarte exact la 9. Exemplu: \( 288 \rightarrow 2+8+8 = 18 \vdots 9 \).
Proprietate utilă: Restul împărțirii unui număr la 9 este egal cu suma repetată a cifrelor sale aduse la o singură cifră (dacă se obține 9, restul este 0). Exemplu: pentru \( 88 \), \( 8+8=16 \rightarrow 1+6=7 \), deci restul împărțirii lui \( 88 \) la 9 este 7.
Un număr natural este divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3.
Să verificăm dacă numărul \( 417 \) este divizibil cu 3:
Suma cifrelor este: \( 4 + 1 + 7 = 12 \).
Deoarece \( 12 \) este divizibil cu 3 (\( 12 \vdots 3 \)), rezultă că și numărul \( 417 \) este divizibil cu 3 (\( 417 \vdots 3 \)).
Suma cifrelor este: \( 4 + 1 + 7 = 12 \).
Deoarece \( 12 \) este divizibil cu 3 (\( 12 \vdots 3 \)), rezultă că și numărul \( 417 \) este divizibil cu 3 (\( 417 \vdots 3 \)).
Să verificăm dacă numărul \( 254 \) este divizibil cu 3:
Suma cifrelor este: \( 2 + 5 + 4 = 11 \).
Deoarece \( 11 \) nu este divizibil cu 3 (\( 11 \not\vdots 3 \)), rezultă că nici numărul \( 254 \) nu este divizibil cu 3 (\( 254 \not\vdots 3 \)).
Suma cifrelor este: \( 2 + 5 + 4 = 11 \).
Deoarece \( 11 \) nu este divizibil cu 3 (\( 11 \not\vdots 3 \)), rezultă că nici numărul \( 254 \) nu este divizibil cu 3 (\( 254 \not\vdots 3 \)).
Un număr natural este divizibil cu 9 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9.
Să verificăm dacă numărul \( 576 \) este divizibil cu 9:
Suma cifrelor este: \( 5 + 7 + 6 = 18 \).
Deoarece \( 18 \) este divizibil cu 9 (\( 18 \vdots 9 \)), rezultă că și numărul \( 576 \) este divizibil cu 9 (\( 576 \vdots 9 \)).
Suma cifrelor este: \( 5 + 7 + 6 = 18 \).
Deoarece \( 18 \) este divizibil cu 9 (\( 18 \vdots 9 \)), rezultă că și numărul \( 576 \) este divizibil cu 9 (\( 576 \vdots 9 \)).
Să verificăm dacă numărul \( 449 \) este divizibil cu 9:
Suma cifrelor este: \( 4 + 4 + 9 = 17 \).
Deoarece \( 17 \) nu este divizibil cu 9 (\( 17 \not\vdots 9 \)), rezultă că nici numărul \( 449 \) nu este divizibil cu 9 (\( 449 \not\vdots 9 \)).
Suma cifrelor este: \( 4 + 4 + 9 = 17 \).
Deoarece \( 17 \) nu este divizibil cu 9 (\( 17 \not\vdots 9 \)), rezultă că nici numărul \( 449 \) nu este divizibil cu 9 (\( 449 \not\vdots 9 \)).
Sunt întotdeauna divizibile cu 9:
- Diferența dintre orice număr natural și suma cifrelor sale (Exemplu: \(52 - (5 + 2) = 45\), iar \(45 \vdots 9\)).
- Diferența dintre două numere care au aceleași cifre, dar scrise în altă ordine (Exemplu: \(813 - 138 = 675\), iar \(675 \vdots 9\)).
- Diferența a două numere care au aceeași sumă a cifrelor.
Restul împărțirii oricărui număr natural la 9 se poate calcula fără a efectua împărțirea, prin adunarea repetată a cifrelor sale până când obținem un număr format dintr-o singură cifră:
- Dacă obținem o cifră de la 1 la 8, aceasta reprezintă restul împărțirii.
- Dacă obținem cifra 9, atunci restul este 0 (numărul se împarte exact la 9).
Aflați restul împărțirii numărului \( 569\,826\,701 \) la 9.
Suma cifrelor este: \( 5 + 6 + 9 + 8 + 2 + 6 + 7 + 0 + 1 = 44 \).
Suma cifrelor numărului \( 44 \) este: \( 4 + 4 = 8 \).
Deoarece am obținut cifra 8, restul împărțirii numărului inițial la 9 este 8.
Suma cifrelor este: \( 5 + 6 + 9 + 8 + 2 + 6 + 7 + 0 + 1 = 44 \).
Suma cifrelor numărului \( 44 \) este: \( 4 + 4 = 8 \).
Deoarece am obținut cifra 8, restul împărțirii numărului inițial la 9 este 8.
Scrieți suma cifrelor numărului care conține necunoscuta \(x\). Rețineți că \(x\) reprezintă o cifră, deci \(x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). Dacă \(x\) este prima cifră a numărului, atunci \(x \neq 0\).
Impuneți condiția ca această sumă să fie un multiplu de 3 (sau de 9, în funcție de cerință).
Determinați toate valorile posibile pentru cifra \(x\).
Determinați numerele de forma \( \overline{3x1} \) divizibile cu 3.
Suma cifrelor numărului \( \overline{3x1} \) este \( 3 + x + 1 = x + 4 \).
Pentru ca numărul să fie divizibil cu 3, trebuie ca \( (x + 4) \vdots 3 \).
Deoarece \( x \) este cifră, valoarea sumei \( x + 4 \) poate fi doar un multiplu de 3 cuprins între 4 și 13:
Pentru ca numărul să fie divizibil cu 3, trebuie ca \( (x + 4) \vdots 3 \).
Deoarece \( x \) este cifră, valoarea sumei \( x + 4 \) poate fi doar un multiplu de 3 cuprins între 4 și 13:
- \( x + 4 = 6 \implies x = 2 \)
- \( x + 4 = 9 \implies x = 5 \)
- \( x + 4 = 12 \implies x = 8 \)
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Se consideră numerele: \( 126, 225, 308, 1\,111, 3\,305 \).
a) Care dintre acestea sunt divizibile cu 3?
b) Care dintre acestea sunt divizibile cu 9?
a) Care dintre acestea sunt divizibile cu 3?
b) Care dintre acestea sunt divizibile cu 9?
Calculăm suma cifrelor pentru fiecare număr:
a) Numerele divizibile cu 3 sunt: 126, 225.
b) Numerele divizibile cu 9 sunt: 126, 225.
- \( 126 \rightarrow 1 + 2 + 6 = 9 \) (divizibil cu 3 și cu 9)
- \( 225 \rightarrow 2 + 2 + 5 = 9 \) (divizibil cu 3 și cu 9)
- \( 308 \rightarrow 3 + 0 + 8 = 11 \) (nu este divizibil nici cu 3, nici cu 9)
- \( 1\,111 \rightarrow 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \) (nu este divizibil nici cu 3, nici cu 9)
- \( 3\,305 \rightarrow 3 + 3 + 0 + 5 = 11 \) (nu este divizibil nici cu 3, nici cu 9)
a) Numerele divizibile cu 3 sunt: 126, 225.
b) Numerele divizibile cu 9 sunt: 126, 225.
Problema 2 (Medie): Determinați toate numerele naturale de două cifre, mai mari decât 50, care sunt în același timp multipli ai lui 3 și ai lui 5.
Un număr este multiplu de 5 dacă are ultima cifră 0 sau 5.
Căutăm numerele mai mari decât 50 care respectă această condiție și analizăm suma cifrelor pentru a verifica divizibilitatea cu 3:
Căutăm numerele mai mari decât 50 care respectă această condiție și analizăm suma cifrelor pentru a verifica divizibilitatea cu 3:
- Numere care se termină în 0:
- \( 60 \rightarrow 6 + 0 = 6 \vdots 3 \) (Da)
- \( 70 \rightarrow 7 + 0 = 7 \not\vdots 3 \) (Nu)
- \( 80 \rightarrow 8 + 0 = 8 \not\vdots 3 \) (Nu)
- \( 90 \rightarrow 9 + 0 = 9 \vdots 3 \) (Da)
- Numere care se termină în 5:
- \( 55 \rightarrow 5 + 5 = 10 \not\vdots 3 \) (Nu)
- \( 65 \rightarrow 6 + 5 = 11 \not\vdots 3 \) (Nu)
- \( 75 \rightarrow 7 + 5 = 12 \vdots 3 \) (Da)
- \( 85 \rightarrow 8 + 5 = 13 \not\vdots 3 \) (Nu)
- \( 95 \rightarrow 9 + 5 = 14 \not\vdots 3 \) (Nu)
Problema 3 (Dificilă): Demonstrați că numărul natural \( n = \overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab} \) este divizibil cu 3 pentru orice cifre nenule \( a, b, c \).
Scriem numerele descompuse în baza 10:
\[ \overline{abc} = 100a + 10b + c \]
\[ \overline{bca} = 100b + 10c + a \]
\[ \overline{cab} = 100c + 10a + b \]
Suma lor devine:
\[ n = (100a + 10b + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b) \]
Grupăm termenii asemenea:
\[ n = (100a + 10a + a) + (10b + 100b + b) + (c + 10c + 100c) \]
\[ n = 111a + 111b + 111c \]
Dăm factor comun pe \( 111 \):
\[ n = 111(a + b + c) \]
Deoarece \( 111 = 3 \cdot 37 \), numărul se poate scrie:
\[ n = 3 \cdot 37(a + b + c) \]
Deoarece unul dintre factorii produsului este 3, rezultă că \( n \) este divizibil cu 3 (\( n \vdots 3 \)), indiferent de valorile cifrelor nenule \( a, b, c \).
