Cele mai importante aspecte ale lecției
Divizor și Multiplu: Relația \( a \vdots b \) (sau \( b \mid a \)) arată că \( a \) se împarte exact la \( b \).
Criterii rapide:
Aplicații:
Criterii rapide:
- Cu 2, 5, 10, \( 10^n \) se verifică după ultima cifră (sau ultimele \( n \) cifre).
- Cu 3 și 9 se determină prin calcularea sumei cifrelor numărului.
Aplicații:
- Cel mai mare comun divizor (c.m.m.d.c.) este folosit pentru probleme de distribuire maximă în grupuri egale.
- Cel mai mic comun multiplu (c.m.m.m.c.) este utilizat în determinarea momentelor de coincidență/periodicitate a două evenimente diferite.
Numărul natural \( a \) este divizibil cu numărul natural \( b \) dacă există un număr natural \( c \) astfel încât \( a = b \cdot c \). În acest caz:
- \( a \) se numește multiplu al lui \( b \);
- \( b \) se numește divizor al lui \( a \).
| Scriem | Citim |
|---|---|
| \( a \vdots b \) | \( a \) este divizibil cu \( b \) |
| \( a \) se divide cu \( b \) | |
| \( a \) este multiplu al lui \( b \) | |
| \( b \mid a \) | \( b \) divide pe \( a \) |
| \( b \) este un divizor al lui \( a \) | |
| \( a \not\vdots b \) | \( a \) nu este divizibil cu \( b \) |
| \( b \nmid a \) | \( b \) nu divide pe \( a \) |
Divizorii improprii ai unui număr natural \( a \) sunt \( 1 \) și \( a \). Orice alt divizor se numește divizor propriu.
Mulțimea divizorilor lui \( a \) se notează cu \( \mathcal{D}_a \), iar mulțimea multiplilor lui \( a \) se notează cu \( \mathcal{M}_a \).
Exemple:
Exemple:
- \( \mathcal{D}_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} \) (unde \( 2, 3, 6, 9 \) sunt divizori proprii)
- \( \mathcal{M}_{18} = \{0, 18, 36, 54, \dots\} \)
Determinați divizorii proprii ai numărului 12.
Mulțimea tuturor divizorilor este \( \mathcal{D}_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \).
Divizorii improprii sunt \( 1 \) și \( 12 \).
Prin urmare, divizorii proprii ai lui 12 sunt: 2, 3, 4, 6.
Divizorii improprii sunt \( 1 \) și \( 12 \).
Prin urmare, divizorii proprii ai lui 12 sunt: 2, 3, 4, 6.
Un număr natural \( d \neq 0 \) este divizor comun al numerelor \( a \) și \( b \) dacă \( d \mid a \) și \( d \mid b \).
Numărul 1 este divizor comun al tuturor numerelor naturale.
Cel mai mare comun divizor (c.m.m.d.c.), notat cu \( (a, b) \), reprezintă cel mai mare dintre divizorii comuni ai numerelor.
Aplicație practică: Se folosește pentru a afla numărul maxim de pachete sau grupuri identice care se pot forma din cantități diferite de obiecte.
Aplicație practică: Se folosește pentru a afla numărul maxim de pachete sau grupuri identice care se pot forma din cantități diferite de obiecte.
Dacă avem 45 de caiete și 30 de pixuri și vrem să le împărțim în mod egal la un număr de copii, numărul de copii trebuie să fie un divizor comun al numerelor 45 și 30:
- \( \mathcal{D}_{45} = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\} \)
- \( \mathcal{D}_{30} = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\} \)
Scrieți divizorii comuni ai numerelor 36 și 60.
Determinăm mulțimile de divizori:
\( \mathcal{D}_{36} = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\} \)
\( \mathcal{D}_{60} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\} \)
Divizorii comuni sunt elementele care se găsesc în ambele mulțimi: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
\( \mathcal{D}_{36} = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\} \)
\( \mathcal{D}_{60} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\} \)
Divizorii comuni sunt elementele care se găsesc în ambele mulțimi: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Un număr natural \( m \) este multiplu comun al numerelor \( a \) și \( b \) dacă \( m \vdots a \) și \( m \vdots b \).
Numărul 0 este multiplu comun al tuturor numerelor naturale.
Cel mai mic comun multiplu (c.m.m.m.c.), notat cu \( [a, b] \), este cea mai mică valoare nenulă divizibilă simultan cu numerele date.
Aplicație practică: Se folosește pentru probleme de periodicitate (de exemplu, când se întâlnesc din nou două evenimente care au loc la intervale diferite) sau pentru a găsi cel mai mic număr de obiecte care se pot grupa exact în moduri diferite.
Aplicație practică: Se folosește pentru probleme de periodicitate (de exemplu, când se întâlnesc din nou două evenimente care au loc la intervale diferite) sau pentru a găsi cel mai mic număr de obiecte care se pot grupa exact în moduri diferite.
Dacă pe o parte a unei străzi de 960 m se plantează copaci din 80 în 80 de metri, iar pe cealaltă stâlpi din 120 în 120 de metri, aceștia se vor afla unul în dreptul celuilalt la distanțele care reprezintă multipli comuni ai numerelor 80 și 120:
- Multiplii lui 80: 0, 80, 160, 240, 320, 400, 480, 560, 640, 720, 800, 880, 960.
- Multiplii lui 120: 0, 120, 240, 360, 480, 600, 720, 840, 960.
Găsiți primii trei multipli comuni nenuli ai numerelor 12 și 18.
Scriem multiplii nenuli ai fiecărui număr:
\( \mathcal{M}_{12}^* = \{12, 24, \mathbf{36}, 48, 60, \mathbf{72}, 84, 96, \mathbf{108}, \dots\} \)
\( \mathcal{M}_{18}^* = \{18, \mathbf{36}, 54, \mathbf{72}, 90, \mathbf{108}, \dots\} \)
Răspuns: Primii trei multipli comuni nenuli sunt 36, 72 și 108.
\( \mathcal{M}_{12}^* = \{12, 24, \mathbf{36}, 48, 60, \mathbf{72}, 84, 96, \mathbf{108}, \dots\} \)
\( \mathcal{M}_{18}^* = \{18, \mathbf{36}, 54, \mathbf{72}, 90, \mathbf{108}, \dots\} \)
Răspuns: Primii trei multipli comuni nenuli sunt 36, 72 și 108.
Criteriile de divizibilitate sunt reguli simple care permit stabilirea divizibilității unui număr fără a efectua operația de împărțire.
Criteriul cu 2: Un număr natural este divizibil cu 2 dacă ultima sa cifră este pară (0, 2, 4, 6 sau 8).
Exemplu: 12, 36, 130 sunt divizibile cu 2.
Exemplu: 12, 36, 130 sunt divizibile cu 2.
Criteriul cu 5: Un număr natural este divizibil cu 5 dacă ultima sa cifră este 0 sau 5.
Exemplu: 35, 240, 2 135 sunt divizibile cu 5.
Exemplu: 35, 240, 2 135 sunt divizibile cu 5.
Criteriul cu 10 (sau \( 10^n \)): Un număr natural este divizibil cu 10 dacă ultima sa cifră este 0. În general, este divizibil cu \( 10^n \) dacă ultimele \( n \) cifre ale sale sunt egale cu 0.
Exemplu: 700 este divizibil cu \( 10^2 \); 3 000 este divizibil cu \( 10^3 \).
Exemplu: 700 este divizibil cu \( 10^2 \); 3 000 este divizibil cu \( 10^3 \).
Criteriul cu 3: Un număr natural este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3.
Exemplu: 477 este divizibil cu 3, deoarece \( 4 + 7 + 7 = 18 \) (iar \( 18 \vdots 3 \)).
Exemplu: 477 este divizibil cu 3, deoarece \( 4 + 7 + 7 = 18 \) (iar \( 18 \vdots 3 \)).
Criteriul cu 9: Un număr natural este divizibil cu 9 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9.
Exemplu: 1 485 este divizibil cu 9, deoarece \( 1 + 4 + 8 + 5 = 18 \) (iar \( 18 \vdots 9 \)).
Exemplu: 1 485 este divizibil cu 9, deoarece \( 1 + 4 + 8 + 5 = 18 \) (iar \( 18 \vdots 9 \)).
Fără a efectua împărțirea, stabiliți dacă numărul 2 583 este divizibil cu 9.
Calculăm suma cifrelor numărului:
\[ 2 + 5 + 8 + 3 = 18 \]
Deoarece suma cifrelor este 18, iar 18 este divizibil cu 9 (\( 18 : 9 = 2 \)), rezultă că numărul 2 583 este divizibil cu 9.
Un număr natural nenul care are ca divizori numai pe 1 și pe el însuși se numește număr prim. Exemple: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Numerele naturale nenule care au și divizori proprii se numesc numere compuse. Exemple: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14.
- Numerele 0 și 1 nu sunt nici prime, nici compuse.
- Singurul număr prim par este 2. Toate celelalte numere prime sunt impare.
Pentru a determina dacă un număr natural este prim sau compus:
- Împărțim numărul, pe rând, la toate numerele prime mai mici decât el, în ordine crescătoare (\( 2, 3, 5, 7, \dots \)).
- Dacă una dintre împărțiri se face exact (restul este 0), numărul este compus.
- Dacă obținem un cât mai mic decât împărțitorul, iar toate resturile de până atunci au fost diferite de 0, procesul se oprește, iar numărul este prim.
Verificăm dacă 137 este număr prim:
- \( 137 : 2 = 68 \text{ rest } 1 \)
- \( 137 : 3 = 45 \text{ rest } 2 \)
- \( 137 : 5 = 27 \text{ rest } 2 \)
- \( 137 : 7 = 19 \text{ rest } 4 \)
- \( 137 : 11 = 12 \text{ rest } 5 \)
- \( 137 : 13 = 10 \text{ rest } 7 \) (Câtul \( 10 \) este mai mic decât împărțitorul \( 13 \)).
- Un număr se numește perfect dacă este egal cu suma divizorilor săi mai mici decât el (ex: \( 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 \)).
- Dacă suma divizorilor mai mici decât el este mai mică decât numărul, acesta este deficient.
- Dacă suma divizorilor mai mici decât el este mai mare decât numărul, acesta este abundent.
Determinați numerele prime \( a \) și \( b \) care verifică relația \( 3a + 2b = 28 \).
Relația se scrie: \( 3a = 28 - 2b \).
Deoarece \( 2b \) și \( 28 \) sunt pare, rezultă că și diferența lor \( 28 - 2b \) este un număr par. Astfel, \( 3a \) trebuie să fie par.
Cum 3 este impar, rezultă că \( a \) este par. Singurul număr prim par este \( a = 2 \).
Înlocuind \( a = 2 \) în relația inițială: \[ 3 \cdot 2 + 2b = 28 \Rightarrow 6 + 2b = 28 \Rightarrow 2b = 22 \Rightarrow b = 11 \] Deoarece 11 este număr prim, soluția este corectă.
Răspuns: \( a = 2 \), \( b = 11 \).
Deoarece \( 2b \) și \( 28 \) sunt pare, rezultă că și diferența lor \( 28 - 2b \) este un număr par. Astfel, \( 3a \) trebuie să fie par.
Cum 3 este impar, rezultă că \( a \) este par. Singurul număr prim par este \( a = 2 \).
Înlocuind \( a = 2 \) în relația inițială: \[ 3 \cdot 2 + 2b = 28 \Rightarrow 6 + 2b = 28 \Rightarrow 2b = 22 \Rightarrow b = 11 \] Deoarece 11 este număr prim, soluția este corectă.
Răspuns: \( a = 2 \), \( b = 11 \).
Practice problems
Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Scrieți mulțimea divizorilor numărului 24 și selectați divizorii săi proprii.
Scrieți mulțimea divizorilor numărului 24 și selectați divizorii săi proprii.
Divizorii lui 24 sunt toate numerele naturale la care 24 se împarte exact:
\[ \mathcal{D}_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} \]
Divizorii improprii sunt \( 1 \) și \( 24 \).
Divizorii proprii sunt restul divizorilor: \( \{2, 3, 4, 6, 8, 12\} \).
Divizorii proprii sunt restul divizorilor: \( \{2, 3, 4, 6, 8, 12\} \).
Problema 2 (Dificultate: Medie)
Determinați toate numerele de forma \( \overline{4x2} \) care sunt divizibile cu 3.
Determinați toate numerele de forma \( \overline{4x2} \) care sunt divizibile cu 3.
Conform criteriului de divizibilitate cu 3, suma cifrelor numărului \( \overline{4x2} \) trebuie să fie un multiplu de 3.
\[ \text{Suma cifrelor} = 4 + x + 2 = 6 + x \]
Deoarece \( x \) este cifră (\( 0 \le x \le 9 \)), valorile lui \( x \) pentru care \( 6 + x \) este divizibil cu 3 sunt:
- \( 6 + x = 6 \Rightarrow x = 0 \)
- \( 6 + x = 9 \Rightarrow x = 3 \)
- \( 6 + x = 12 \Rightarrow x = 6 \)
- \( 6 + x = 15 \Rightarrow x = 9 \)
Problema 3 (Dificultate: Medie)
La un magazin s-au adus 75 de trandafiri roșii și 105 trandafiri galbeni. Florăreasa dorește să facă buchete identice care să conțină ambele tipuri de flori, fără să îi rămână niciun trandafir. Care este numărul maxim de buchete identice pe care le poate realiza și care este compoziția unui buchet?
La un magazin s-au adus 75 de trandafiri roșii și 105 trandafiri galbeni. Florăreasa dorește să facă buchete identice care să conțină ambele tipuri de flori, fără să îi rămână niciun trandafir. Care este numărul maxim de buchete identice pe care le poate realiza și care este compoziția unui buchet?
Numărul de buchete trebuie să fie un divizor comun al numerelor 75 și 105. Pentru a afla numărul maxim de buchete, calculăm cel mai mare comun divizor al celor două numere:
\( \mathcal{D}_{75} = \{1, 3, 5, 15, 25, 75\} \)
\( \mathcal{D}_{105} = \{1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105\} \)
Divizorii comuni sunt: \( \{1, 3, 5, 15\} \).
Cel mai mare comun divizor este 15.
Prin urmare, se pot forma maximum 15 buchete.
Fiecare buchet va conține:
\( \mathcal{D}_{75} = \{1, 3, 5, 15, 25, 75\} \)
\( \mathcal{D}_{105} = \{1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105\} \)
Divizorii comuni sunt: \( \{1, 3, 5, 15\} \).
Cel mai mare comun divizor este 15.
Prin urmare, se pot forma maximum 15 buchete.
Fiecare buchet va conține:
- \( 75 : 15 = 5 \) trandafiri roșii
- \( 105 : 15 = 7 \) trandafiri galbeni
Problema 4 (Dificultate: Dificilă)
Arătați că, pentru orice număr natural \( n \), numărul \( A = 3^{n+2} \cdot 4^n + 3^n \cdot 4^{n+1} \) este divizibil cu 13.
Arătați că, pentru orice număr natural \( n \), numărul \( A = 3^{n+2} \cdot 4^n + 3^n \cdot 4^{n+1} \) este divizibil cu 13.
Folosim proprietățile puterilor pentru a factoriza expresia:
\[ A = 3^n \cdot 3^2 \cdot 4^n + 3^n \cdot 4^n \cdot 4^1 \]
Dăm factor comun pe \( 3^n \cdot 4^n \):
\[ A = 3^n \cdot 4^n \cdot (3^2 + 4^1) \]
\[ A = (3 \cdot 4)^n \cdot (9 + 4) \]
\[ A = 12^n \cdot 13 \]
Deoarece expresia \( A \) îl are ca factor pe 13, numărul \( A \) este un multiplu de 13.
Prin urmare, \( A \) este divizibil cu 13 pentru orice număr natural \( n \).
Prin urmare, \( A \) este divizibil cu 13 pentru orice număr natural \( n \).
