Cele mai importante aspecte ale lecției
Fracții ordinare: Reprezintă raportul dintre un numărător \( a \) și un numitor \( b \neq 0 \). Fracțiile pot fi subunitare (\( a < b \)), echiunitare (\( a = b \)) sau supraunitare (\( a > b \)).
Proprietatea fundamentală: Fracții echivalente \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c \).
Amplificare și simplificare: Amplificarea înmulțește ambii termeni ai fracției cu un factor comun, iar simplificarea îi împarte la un divizor comun pentru a obține o fracție ireductibilă.
Operații de bază:
Proprietatea fundamentală: Fracții echivalente \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c \).
Amplificare și simplificare: Amplificarea înmulțește ambii termeni ai fracției cu un factor comun, iar simplificarea îi împarte la un divizor comun pentru a obține o fracție ireductibilă.
Operații de bază:
- Adunarea/scăderea necesită obligatoriu aducerea la un numitor comun (folosind cel mai mic multiplu comun).
- La înmulțire se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei: \( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \).
- La împărțire se înmulțește prima fracție cu inversa celei de-a doua: \( \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \).
- La ridicarea la putere: \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \).
O parte dintr-un întreg împărțit în părți egale se numește unitate fracționară. Una sau mai multe unități fracționare reprezintă o fracție ordinară.
Forma generală a unei fracții ordinare este:
\[ \frac{a}{b} \]
unde:
- \( a \) este numărătorul (arată câte părți se iau în considerare);
- \( b \) este numitorul, cu \( b \neq 0 \) (arată în câte părți egale a fost împărțit întregul);
- linia orizontală este linia de fracție (semnifică o împărțire).
Fracțiile ordinare se clasifică în:
- Subunitare: dacă \( a < b \) (valoarea fracției este mai mică decât 1);
- Echiunitare: dacă \( a = b \) (valoarea fracției este egală cu 1);
- Supraunitare: dacă \( a > b \) (valoarea fracției este mai mare decât 1).
Orice număr natural \( n \) poate fi scris sub formă de fracție ordinară ca \( \frac{n}{1} \). De asemenea, pentru orice \( n \neq 0 \), avem \( \frac{0}{n} = 0 \).
- Fracția \( \frac{3}{4} \) este subunitară (\( 3 < 4 \));
- Fracția \( \frac{8}{8} \) este echiunitară (\( 8 = 8 \));
- Fracția \( \frac{11}{5} \) este supraunitară (\( 11 > 5 \)).
Determinați numărul natural \( x \) pentru care fracția \( \frac{2x + 1}{9} \) este echiunitară.
Pentru ca fracția să fie echiunitară, numărătorul trebuie să fie egal cu numitorul:
\[ 2x + 1 = 9 \implies 2x = 8 \implies x = 4 \]
Răspuns: \( x = 4 \).
Două fracții care reprezintă aceeași parte dintr-un întreg se numesc fracții echivalente.
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c \quad (b, d \neq 0) \]
O fracție cu numitorul 100 se numește procent. Se notează \( p\% \) și se citește „p la sută” sau „p procente”:
\[ p\% = \frac{p}{100} \]
- Fracțiile \( \frac{5}{2} \) și \( \frac{15}{6} \) sunt echivalente deoarece \( 5 \cdot 6 = 2 \cdot 15 = 30 \).
- Procentul \( 20\% \) reprezintă fracția \( \frac{20}{100} \).
Verificați dacă fracțiile \( \frac{5}{13} \) și \( \frac{20}{39} \) sunt echivalente.
Calculăm produsul mezilor și al extremilor:
\[ 5 \cdot 39 = 195 \]
\[ 13 \cdot 20 = 260 \]
Deoarece \( 195 \neq 260 \), fracțiile nu sunt echivalente (\( \frac{5}{13} \neq \frac{20}{39} \)).
Introducerea întregilor în fracție:
\[ n\frac{a}{b} = \frac{n \cdot b + a}{b} \]
Scoaterea întregilor din fracție:
Pentru a scoate întregii din fracția supraunitară \( \frac{m}{n} \), se împarte \( m \) la \( n \). Câtul \( c \) reprezintă întregii, iar restul \( r \) reprezintă noul numărător:
\[ \frac{m}{n} = c\frac{r}{n}, \quad \text{unde } m : n = c \text{ rest } r \]
- Introducerea întregilor: \( 3\frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{31}{9} \).
- Scoaterea întregilor: Pentru \( \frac{55}{4} \), efectuăm \( 55 : 4 = 13 \) rest \( 3 \), deci \( \frac{55}{4} = 13\frac{3}{4} \).
Scoateți întregii din fracția \( \frac{17}{3} \).
Efectuăm împărțirea \( 17 : 3 = 5 \) rest \( 2 \).
Câtul este 5 (întregii), iar restul este 2 (numărătorul fracției rămase). \[ \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3} \]
Câtul este 5 (întregii), iar restul este 2 (numărătorul fracției rămase). \[ \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3} \]
Pentru a reprezenta o fracție \( \frac{a}{b} \) pe axa numerelor:
- Împărțim unitatea de măsură în \( b \) părți egale (numitorul).
- Începând din origine (0), numărăm și marcăm \( a \) părți (numărătorul).
Compararea fracțiilor:
- Dintre două fracții cu același numitor, este mai mare cea cu numărătorul mai mare: \[ \frac{a}{m} < \frac{b}{m} \iff a < b \]
- Dintre două fracții cu același numărător, este mai mare cea cu numitorul mai mic: \[ \frac{a}{m} > \frac{a}{n} \iff m < n \]
Comparați fracțiile \( \frac{5}{12} \) și \( \frac{5}{6} \).
Deoarece au același numărător (5), este mai mare fracția cu numitorul mai mic (\( 6 < 12 \)).
\[ \frac{5}{12} < \frac{5}{6} \]
A amplifica o fracție înseamnă a înmulți atât numărătorul, cât și numitorul cu același număr natural nenul \( n \):
\[ \overset{n)}{\frac{a}{b}} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \]
A simplifica o fracție înseamnă a împărți atât numărătorul, cât și numitorul la un divizor comun al lor \( n \) (\( n \neq 0 \)):
\[ \frac{a^{(n}}{b} = \frac{a : n}{b : n} \]
O fracție care nu se mai poate simplifica (numărătorul și numitorul sunt numere prime între ele, adică cel mai mare divizor comun al lor este 1) se numește fracție ireductibilă.
- Amplificare: \( \overset{3)}{\frac{2}{3}} = \frac{6}{9} \).
- Simplificare: \( \frac{15^{(3}}{9} = \frac{5}{3} \).
Simplificați fracția \( \frac{120}{180} \) până obțineți o fracție ireductibilă.
Efectuăm simplificări succesive:
\[ \frac{120^{(10}}{180} = \frac{12^{(6}}{18} = \frac{2}{3} \]
Deoarece \( (2, 3) = 1 \), fracția \( \frac{2}{3} \) este ireductibilă.
Se simplifică fiecare fracție până devine ireductibilă.
Se calculează cel mai mic multiplu comun al numitorilor (c.m.m.m.c.).
Se amplifică fiecare fracție cu câtul dintre c.m.m.m.c. și numitorul fracției respective.
Aduceți la același numitor fracțiile \( \frac{3}{4} \) și \( \frac{5}{6} \):
1. Numitorii sunt 4 și 6. Calculăm \( [4, 6] = 12 \).
2. Prima fracție se amplifică cu \( 12 : 4 = 3 \): \( \overset{3)}{\frac{3}{4}} = \frac{9}{12} \).
3. A doua fracție se amplifică cu \( 12 : 6 = 2 \): \( \overset{2)}{\frac{5}{6}} = \frac{10}{12} \).
1. Numitorii sunt 4 și 6. Calculăm \( [4, 6] = 12 \).
2. Prima fracție se amplifică cu \( 12 : 4 = 3 \): \( \overset{3)}{\frac{3}{4}} = \frac{9}{12} \).
3. A doua fracție se amplifică cu \( 12 : 6 = 2 \): \( \overset{2)}{\frac{5}{6}} = \frac{10}{12} \).
Aduceți la un numitor comun fracțiile: \( \frac{11}{9}, \frac{7}{6} \text{ și } \frac{5}{4} \).
Calculăm cel mai mic multiplu comun al numitorilor 9, 6 și 4:
\[ [9, 6, 4] = 36 \]
Amplificăm fracțiile pentru a obține numitorul 36:
- Prima fracție (\( 36:9=4 \)): \( \overset{4)}{\frac{11}{9}} = \frac{44}{36} \)
- A doua fracție (\( 36:6=6 \)): \( \overset{6)}{\frac{7}{6}} = \frac{42}{36} \)
- A treia fracție (\( 36:4=9 \)): \( \overset{9)}{\frac{5}{4}} = \frac{45}{36} \)
Adunarea și scăderea cu același numitor:
\[ \frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a+b}{n} \quad \text{și} \quad \frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a-b}{n} \quad (n \geq 1) \]
Adunarea și scăderea cu numitori diferiți:
Pentru a aduna sau a scădea fracții cu numitori diferiți, se aduc mai întâi fracțiile la același numitor comun, apoi se adună sau se scad numărătorii, păstrând numitorul comun.
Adunarea fracțiilor este comutativă (\( x + y = y + x \)), asociativă (\( (x+y)+z = x+(y+z) \)) și are pe 0 ca element neutru (\( x + 0 = x \)). Aceste proprietăți nu sunt valabile în cazul scăderii!
Calculați: \( \frac{11}{10} - \frac{7}{15} \).
Numitorul comun pentru 10 și 15 este \( [10, 15] = 30 \).
\[ \overset{3)}{\frac{11}{10}} - \overset{2)}{\frac{7}{15}} = \frac{33}{30} - \frac{14}{30} = \frac{33 - 14}{30} = \frac{19}{30} \]
Răspuns: \( \frac{19}{30} \).
Înmulțirea a două fracții:
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \]
Înmulțirea cu un număr natural:
\[ n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{b} \]
Inversa fracției \( \frac{a}{b} \) este \( \frac{b}{a} \) (pentru \( a, b \neq 0 \)). Produsul dintre o fracție și inversa ei este întotdeauna egal cu 1:
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1 \]
Împărțirea a două fracții:
Pentru a împărți două fracții, înmulțim prima fracție cu inversa celei de-a doua:
\[ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \]
Calculați: \( \frac{16}{25} : \frac{4}{5} \).
Înmulțim prima fracție cu inversa celei de-a doua:
\[ \frac{16}{25} : \frac{4}{5} = \frac{16}{25} \cdot \frac{5}{4} \]
Simplificăm pe diagonală (16 cu 4 prin 4, și 25 cu 5 prin 5):
\[ \frac{\cancel{16}^4}{\cancel{25}_5} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{4}_1} = \frac{4 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{4}{5} \]
Răspuns: \( \frac{4}{5} \).
Pentru a ridica o fracție la o putere, se ridică atât numărătorul, cât și numitorul la acea putere:
\[ \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0, n \geq 2) \]
Convenții: \( \left(\frac{a}{b}\right)^0 = 1 \) și \( \left(\frac{a}{b}\right)^1 = \frac{a}{b} \).
Reguli de calcul cu puteri:
- Înmulțirea puterilor cu aceeași bază: \( \left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} \)
- Împărțirea puterilor cu aceeași bază: \( \left(\frac{a}{b}\right)^m : \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} \)
- Puterea unei puteri: \( \left[ \left(\frac{a}{b}\right)^m \right]^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m \cdot n} \)
- Puterea unui produs: \( \left(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\frac{c}{d}\right)^n \)
- Puterea unui cât: \( \left(\frac{a}{b} : \frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n : \left(\frac{c}{d}\right)^n \)
Scrieți sub formă de singură putere: \( \left( \frac{3}{5} \right)^9 : \left( \frac{9}{25} \right)^4 \).
Observăm că \( \frac{9}{25} = \left( \frac{3}{5} \right)^2 \). Înlocuim în expresie:
\[ \left( \frac{3}{5} \right)^9 : \left[ \left( \frac{3}{5} \right)^2 \right]^4 = \left( \frac{3}{5} \right)^9 : \left( \frac{3}{5} \right)^{2 \cdot 4} = \left( \frac{3}{5} \right)^9 : \left( \frac{3}{5} \right)^8 = \left( \frac{3}{5} \right)^{9-8} = \frac{3}{5} \]
Răspuns: \( \frac{3}{5} \) (sau \( \left(\frac{3}{5}\right)^1 \)).
Aflarea unei fracții dintr-un număr/fracție:
Pentru a calcula o fracție dintr-un număr sau dintr-o altă fracție, înmulțim cele două valori:
\[ \frac{a}{b} \text{ din } n = \frac{a}{b} \cdot n \quad \text{și} \quad \frac{a}{b} \text{ din } \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \]
Aflarea unui procent dintr-un număr/fracție:
Pentru a calcula \( p\% \) dintr-un număr sau dintr-o fracție, înmulțim fracția \( \frac{p}{100} \) cu valoarea respectivă:
\[ p\% \text{ din } n = \frac{p}{100} \cdot n \quad \text{și} \quad p\% \text{ din } \frac{a}{b} = \frac{p}{100} \cdot \frac{a}{b} \]
Calculul a \( 25\% \) din 1500:
\[ 25\% \text{ din } 1500 = \frac{25}{100} \cdot 1500 = \frac{1}{4} \cdot 1500 = 375 \]
Calculați \( 1\frac{4}{5} \) din \( 2\frac{1}{27} \).
Transformăm numerele mixte în fracții ordinare:
\[ 1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5} \]
\[ 2\frac{1}{27} = \frac{2 \cdot 27 + 1}{27} = \frac{55}{27} \]
Efectuăm înmulțirea și simplificăm:
\[ \frac{9}{5} \cdot \frac{55}{27} = \frac{\cancel{9}^1}{\cancel{5}_1} \cdot \frac{\cancel{55}^{11}}{\cancel{27}_3} = \frac{11}{3} \]
Răspuns: \( \frac{11}{3} \) (sau \( 3\frac{2}{3} \)).
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Introduceți întregii în fracție pentru \( 5\frac{2}{7} \), iar apoi scoateți întregii din fracția \( \frac{43}{8} \).
1. Introducerea întregilor:
\[ 5\frac{2}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{37}{7} \]
2. Scoaterea întregilor:
Efectuăm împărțirea \( 43 : 8 = 5 \) rest \( 3 \).
\[ \frac{43}{8} = 5\frac{3}{8} \]
Problema 2 (Medie): Comparați fracțiile \( \frac{7}{6} \) și \( \frac{9}{8} \) aducându-le mai întâi la un numitor comun.
Calculăm cel mai mic multiplu comun al numitorilor 6 și 8:
\[ [6, 8] = 24 \]
Amplificăm fracțiile pentru a obține numitorul comun 24:
\[ \overset{4)}{\frac{7}{6}} = \frac{28}{24} \]
\[ \overset{3)}{\frac{9}{8}} = \frac{27}{24} \]
Comparăm rezultatele obținute:
\[ \frac{28}{24} > \frac{27}{24} \implies \frac{7}{6} > \frac{9}{8} \]
Problema 3 (Medie-Dificilă): Calculați valoarea expresiei:
\[ E = \left( \frac{5}{4} \right)^2 : \frac{15}{8} + \frac{2}{3} \cdot 2\frac{1}{4} \]
Efectuăm operațiile respectând ordinea acestora:
1. Calculăm puterea: \[ \left( \frac{5}{4} \right)^2 = \frac{25}{16} \] 2. Efectuăm prima împărțire: \[ \frac{25}{16} : \frac{15}{8} = \frac{25}{16} \cdot \frac{8}{15} = \frac{\cancel{25}^5}{\cancel{16}_2} \cdot \frac{\cancel{8}^1}{\cancel{15}_3} = \frac{5}{6} \] 3. Transformăm numărul mixt și efectuăm înmulțirea: \[ 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} \] \[ \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{\cancel{2}^1}{\cancel{3}_1} \cdot \frac{\cancel{9}^3}{\cancel{4}_2} = \frac{3}{2} \] 4. Adunăm cele două rezultate aducând la numitorul comun 6: \[ \frac{5}{6} + \overset{3)}{\frac{3}{2}} = \frac{5}{6} + \frac{9}{6} = \frac{14}{6}^{(2} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \] Răspuns: \( \frac{7}{3} \) (sau \( 2\frac{1}{3} \)).
1. Calculăm puterea: \[ \left( \frac{5}{4} \right)^2 = \frac{25}{16} \] 2. Efectuăm prima împărțire: \[ \frac{25}{16} : \frac{15}{8} = \frac{25}{16} \cdot \frac{8}{15} = \frac{\cancel{25}^5}{\cancel{16}_2} \cdot \frac{\cancel{8}^1}{\cancel{15}_3} = \frac{5}{6} \] 3. Transformăm numărul mixt și efectuăm înmulțirea: \[ 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} \] \[ \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{\cancel{2}^1}{\cancel{3}_1} \cdot \frac{\cancel{9}^3}{\cancel{4}_2} = \frac{3}{2} \] 4. Adunăm cele două rezultate aducând la numitorul comun 6: \[ \frac{5}{6} + \overset{3)}{\frac{3}{2}} = \frac{5}{6} + \frac{9}{6} = \frac{14}{6}^{(2} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \] Răspuns: \( \frac{7}{3} \) (sau \( 2\frac{1}{3} \)).
Problema 4 (Dificilă): Într-un depozit se aflau 240 de tone de fructe. În prima săptămână s-au vândut \( 40\% \) din întreaga cantitate, iar în a doua săptămână s-au vândut \( \frac{3}{8} \) din cantitatea rămasă. Câte tone de fructe au rămas în depozit la sfârșitul celor două săptămâni?
1. Calculăm cantitatea vândută în prima săptămână (\( 40\% \) din 240 t):
\[ \frac{40}{100} \cdot 240 = \frac{4}{10} \cdot 240 = 4 \cdot 24 = 96 \text{ tone} \]
2. Aflăm cantitatea de fructe rămasă după prima săptămână:
\[ 240 - 96 = 144 \text{ tone} \]
3. Calculăm cantitatea vândută în a doua săptămână (\( \frac{3}{8} \) din restul de 144 t):
\[ \frac{3}{8} \cdot 144 = 3 \cdot (144 : 8) = 3 \cdot 18 = 54 \text{ tone} \]
4. Calculăm cantitatea rămasă în depozit la final:
\[ 144 - 54 = 90 \text{ tone} \]
Răspuns: În depozit au rămas 90 de tone de fructe.
