Cele mai importante aspecte ale lecției
Reguli de reținut:
- Același numitor: \(\frac{a}{c} > \frac{b}{c}\) dacă \(a > b\). Exemplu: \(\frac{8}{9} > \frac{5}{9}\).
- Același numărător: \(\frac{a}{b} > \frac{a}{c}\) dacă \(b < c\). Exemplu: \(\frac{4}{5} > \frac{4}{7}\).
- Reprezentarea pe axă: Unitatea se împarte în numitorul părți egale, iar numărătorul indică câte părți luăm din origine. Fracția poziționată mai la dreapta este mai mare.
Dintre două fracții care au același numitor, mai mare este fracția care are numărătorul mai mare.
Să comparăm fracțiile \(\frac{5}{6}\) și \(\frac{1}{6}\).
Deoarece ambele au numitorul \(6\) și numărătorii respectă relația \(5 > 1\), avem:
\[ \frac{5}{6} > \frac{1}{6} \]
Comparați fracțiile \(\frac{3}{7}\) și \(\frac{6}{7}\).
Fracțiile au același numitor (\(7\)). Comparăm numărătorii: deoarece \(3 < 6\), obținem:
\[ \frac{3}{7} < \frac{6}{7} \]
Dintre două fracții care au același numărător, mai mare este fracția care are numitorul mai mic.
Să comparăm fracțiile \(\frac{3}{5}\) și \(\frac{3}{6}\).
Fracțiile au același numărător (\(3\)). Deoarece numitorul primei fracții este mai mic decât al celei de-a doua (\(5 < 6\)), înseamnă că prima fracție reprezintă părți mai mari. Astfel:
\[ \frac{3}{5} > \frac{3}{6} \]
Comparați fracțiile \(\frac{4}{9}\) și \(\frac{4}{7}\).
Fracțiile au același numărător (\(4\)). Comparăm numitorii: deoarece \(9 > 7\), fracția cu numitorul mai mic este mai mare. Prin urmare:
\[ \frac{4}{9} < \frac{4}{7} \]
Se împarte unitatea de măsură (segmentul dintre \(0\) și \(1\)) în atâtea părți egale câte indică numitorul fracției.
Se măsoară (se numără), începând de la origine (\(0\)), spre dreapta, atâtea părți câte indică numărătorul fracției.
Dintre două fracții reprezentate pe axa numerelor, cea mai mare se află întotdeauna poziționată mai la dreapta.
Pentru a reprezenta pe axă fracția \(\frac{2}{3}\):
- Împărțim unitatea de măsură \(0-1\) în \(3\) segmente egale.
- Luăm \(2\) astfel de segmente începând de la \(0\).
Pentru a reprezenta fracția supraunitară \(\frac{7}{4}\):
- Împărțim fiecare unitate consecutivă (\(0-1\), \(1-2\), etc.) în câte \(4\) părți egale.
- Numărăm de la origine \(7\) astfel de părți. Punctul se va afla între \(1\) și \(2\).
Probleme propuse
Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Comparați următoarele perechi de fracții, scriind simbolul potrivit (\(<\), \(>\) sau \(=\)):
a) \(\frac{7}{12}\) și \(\frac{5}{12}\)
b) \(\frac{8}{15}\) și \(\frac{8}{19}\)
Comparați următoarele perechi de fracții, scriind simbolul potrivit (\(<\), \(>\) sau \(=\)):
a) \(\frac{7}{12}\) și \(\frac{5}{12}\)
b) \(\frac{8}{15}\) și \(\frac{8}{19}\)
a) Fracțiile au același numitor (\(12\)). Comparăm numărătorii: deoarece \(7 > 5\), avem:
\[ \frac{7}{12} > \frac{5}{12} \]
b) Fracțiile au același numărător (\(8\)). Comparăm numitorii: deoarece \(15 < 19\), fracția cu numitorul mai mic este mai mare. Avem:
\[ \frac{8}{15} > \frac{8}{19} \]
Problema 2 (Dificultate: Medie)
Determinați toate valorile numărului natural \(n\) pentru care este adevărată dubla inegalitate: \[ \frac{5}{14} \le \frac{n}{14} < \frac{9}{14} \]
Determinați toate valorile numărului natural \(n\) pentru care este adevărată dubla inegalitate: \[ \frac{5}{14} \le \frac{n}{14} < \frac{9}{14} \]
Deoarece toate fracțiile au același numitor (\(14\)), compararea se reduce la relația dintre numărătorii lor:
\[ 5 \le n < 9 \]
Cum \(n\) este număr natural, valorile posibile pentru \(n\) sunt:
\[ n \in \{5, 6, 7, 8\} \]
Problema 3 (Dificultate: Dificilă)
Determinați valorile numărului natural nenul \(n\) pentru care sunt îndeplinite simultan condițiile:
1) \(\frac{10}{n} < \frac{10}{13}\)
2) \(\frac{15}{n-2} \ge \frac{15}{14}\)
Determinați valorile numărului natural nenul \(n\) pentru care sunt îndeplinite simultan condițiile:
1) \(\frac{10}{n} < \frac{10}{13}\)
2) \(\frac{15}{n-2} \ge \frac{15}{14}\)
Analizăm pe rând cele două inegalități:
1) Din \(\frac{10}{n} < \frac{10}{13}\), având același numărător, rezultă că numitorul primei fracții trebuie să fie mai mare decât al celei de-a doua: \[ n > 13 \] 2) Din \(\frac{15}{n-2} \ge \frac{15}{14}\), având același numărător, rezultă că numitorul primei fracții trebuie să fie mai mic sau egal decât al celei de-a doua: \[ n - 2 \le 14 \implies n \le 16 \] Combinând cele două condiții obținem: \[ 13 < n \le 16 \] Deoarece \(n\) este număr natural, valorile căutate sunt: \[ n \in \{14, 15, 16\} \]
1) Din \(\frac{10}{n} < \frac{10}{13}\), având același numărător, rezultă că numitorul primei fracții trebuie să fie mai mare decât al celei de-a doua: \[ n > 13 \] 2) Din \(\frac{15}{n-2} \ge \frac{15}{14}\), având același numărător, rezultă că numitorul primei fracții trebuie să fie mai mic sau egal decât al celei de-a doua: \[ n - 2 \le 14 \implies n \le 16 \] Combinând cele două condiții obținem: \[ 13 < n \le 16 \] Deoarece \(n\) este număr natural, valorile căutate sunt: \[ n \in \{14, 15, 16\} \]
