Cele mai importante aspecte ale lecției
Fracția ordinară \(\frac{a}{b}\) reprezintă o parte dintr-un întreg (\(b \neq 0\)).
Clasificare: Subunitară (\(a < b\)), Echiunitară (\(a = b\)), Supraunitară (\(a > b\)).
Fracții echivalente: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c\).
Modificarea fracțiilor:
Comparare: Cu același numitor: mai mare e cea cu numărătorul mai mare (\(\frac{5}{7} > \frac{3}{7}\)). Cu același numărător: mai mare e cea cu numitorul mai mic (\(\frac{4}{5} > \frac{4}{9}\)).
Clasificare: Subunitară (\(a < b\)), Echiunitară (\(a = b\)), Supraunitară (\(a > b\)).
Fracții echivalente: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c\).
Modificarea fracțiilor:
- Amplificare: înmulțirea ambilor termeni cu \(n \neq 0\).
- Simplificare: împărțirea ambilor termeni la un divizor comun. Când nu se mai poate simplifica, obținem o fracție ireductibilă.
Comparare: Cu același numitor: mai mare e cea cu numărătorul mai mare (\(\frac{5}{7} > \frac{3}{7}\)). Cu același numărător: mai mare e cea cu numitorul mai mic (\(\frac{4}{5} > \frac{4}{9}\)).
O parte dintr-un întreg împărțit în părți egale se numește unitate fracționară. Una sau mai multe unități fracționare reprezintă o fracție ordinară.
Forma generală a unei fracții ordinare este \(\frac{a}{b}\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere naturale, cu \(b \neq 0\).
- \(a\) (numărătorul): ne arată câte părți egale se iau în considerare.
- \(\text{—}\) (linia de fracție): semnifică o operație de împărțire.
- \(b\) (numitorul): ne arată în câte părți egale s-a împărțit întregul.
Orice număr natural \(n\) se poate scrie sub formă de fracție ordinară ca \(\frac{n}{1}\). Pentru orice număr natural nenul \(n\), avem \(\frac{0}{n} = 0\).
- \(\frac{1}{2}\) reprezintă „o doime” sau „o jumătate”.
- \(\frac{1}{4}\) reprezintă „o pătrime” sau „un sfert”.
- \(\frac{3}{8}\) reprezintă „trei optimi” (trei unități fracționare de tipul \(\frac{1}{8}\)).
Scrieți sub formă de fracție ordinară numerele naturale 5 și 1, folosind numitorul 3.
Numărul natural \(5\) se poate scrie ca \(\frac{15}{3}\) deoarece \(15 : 3 = 5\).
Numărul natural \(1\) se poate scrie ca \(\frac{3}{3}\) deoarece \(3 : 3 = 1\).
Numărul natural \(1\) se poate scrie ca \(\frac{3}{3}\) deoarece \(3 : 3 = 1\).
În funcție de relația dintre numărătorul \(a\) și numitorul \(b\), fracțiile ordinare se clasifică în:
- Fracție subunitară: dacă numărătorul este mai mic decât numitorul (\(a < b\)). Valoarea fracției este mai mică decât 1 (\(\frac{a}{b} < 1\)).
Exemple: \(\frac{2}{5}, \frac{11}{15}, \frac{n+1}{n+3}\) (pentru orice număr natural \(n\)). - Fracție echiunitară: dacă numărătorul este egal cu numitorul (\(a = b\)). Valoarea fracției este egală cu 1 (\(\frac{a}{b} = 1\)).
Exemple: \(\frac{4}{4}, \frac{102}{102}, \frac{2n+3}{2n+3}\). - Fracție supraunitară: dacă numărătorul este mai mare decât numitorul (\(a > b\)). Valoarea fracției este mai mare decât 1 (\(\frac{a}{b} > 1\)).
Exemple: \(\frac{7}{3}, \frac{15}{8}, \frac{n+5}{n+2}\).
Determinați numărul natural \(x\) pentru care fracția \(\frac{205}{20x + 5}\) este echiunitară.
O fracție este echiunitară dacă numărătorul este egal cu numitorul:
\[ 205 = 20x + 5 \]
\[ 20x = 205 - 5 \]
\[ 20x = 200 \implies x = 10 \]
Răspuns: \(x = 10\).
O fracție care are numitorul egal cu 100 se numește procent.
Fracția \(\frac{p}{100}\) se notează \(p\%\) și se citește „\(p\) la sută” sau „\(p\) procente”.
\[ \frac{5}{100} = 5\%; \quad \frac{50}{100} = 50\% \text{ (reprezintă jumătate dintr-un întreg)}; \quad \frac{100}{100} = 100\% \text{ (reprezintă întregul)}. \]
Două fracții care reprezintă aceeași parte dintr-un întreg se numesc fracții echivalente (sau egale).
Fracțiile \(\frac{a}{b}\) și \(\frac{c}{d}\) (\(b, d \neq 0\)) sunt echivalente dacă și numai dacă produsul mezilor este egal cu produsul extremilor:
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c \]
Fracțiile \(\frac{3}{4}\) și \(\frac{9}{12}\) sunt echivalente deoarece \(3 \cdot 12 = 4 \cdot 9 = 36\). Scriem \(\frac{3}{4} = \frac{9}{12}\).
Determinați numărul natural \(x\) astfel încât fracțiile \(\frac{3x - 4}{x}\) și \(\frac{5}{2}\) să fie echivalente.
Pentru ca fracțiile să fie echivalente, trebuie să avem:
\[ 2(3x - 4) = 5x \]
\[ 6x - 8 = 5x \]
\[ 6x - 5x = 8 \implies x = 8 \]
Răspuns: \(x = 8\).
1. Amplificarea fracțiilor
A amplifica o fracție cu un număr natural nenul \(n\) înseamnă a înmulți atât numărătorul, cât și numitorul cu acel număr.
\[ \overset{n)}{\frac{a}{b}} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}, \quad n \neq 0 \]
Prin amplificare se obține o fracție echivalentă cu cea inițială.
\[ \overset{4)}{\frac{2}{3}} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} \]
2. Simplificarea fracțiilor
A simplifica o fracție cu un număr natural nenul \(n\) înseamnă a împărți atât numărătorul, cât și numitorul la \(n\). Numărul \(n\) trebuie să fie un divizor comun al celor doi termeni ai fracției.
\[ \frac{a^{(n}}{b} = \frac{a : n}{b : n}, \quad n \neq 0 \]
Prin simplificare se obține o fracție echivalentă cu cea inițială.
\[ \frac{15^{(5}}{20} = \frac{15 : 5}{20 : 5} = \frac{3}{4} \]
3. Fracții ireductibile
O fracție care nu se mai poate simplifica se numește fracție ireductibilă.
O fracție \(\frac{a}{b}\) este ireductibilă dacă cel mai mare divizor comun al numerelor \(a\) și \(b\) este 1 (numerele sunt prime între ele). În caz contrar, fracția se numește reductibilă.
Pentru a transforma o fracție în una ireductibilă, o putem simplifica succesiv:
\[ \frac{120^{(2}}{180} = \frac{60^{(5}}{90} = \frac{12^{(3}}{18} = \frac{4^{(2}}{6} = \frac{2}{3} \quad (\text{fracție ireductibilă}) \]
1. Scoaterea întregilor din fracție
O fracție supraunitară \(\frac{m}{n}\) se poate scrie sub forma unui număr mixt \(c\frac{r}{n}\), unde \(c\) este câtul și \(r\) este restul împărțirii lui \(m\) la \(n\).
\[ \frac{m}{n} = c\frac{r}{n} \]
Pentru a scoate întregii din fracția \(\frac{55}{4}\), împărțim 55 la 4:
\[ 55 : 4 = 13 \text{ rest } 3 \implies \frac{55}{4} = 13\frac{3}{4} \]
Pentru a încadra o fracție supraunitară între două numere naturale consecutive, se scot întregii din fracție:
\[ 13 < 13\frac{3}{4} < 14 \implies 13 < \frac{55}{4} < 14 \]
2. Introducerea întregilor în fracție
Pentru a transforma un număr mixt în fracție ordinară, folosim relația:
\[ n\frac{a}{b} = \frac{n \cdot b + a}{b} \]
\[ 3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5} \]
Fracții cu același numitor: Dintre două fracții cu același numitor, este mai mare fracția cu numărătorul mai mare.
\[ \text{Dacă } a < b, \text{ atunci } \frac{a}{m} < \frac{b}{m} \quad (m \neq 0) \]
\[ \frac{5}{12} < \frac{9}{12} \quad \text{deoarece } 5 < 9 \]
Fracții cu același numărător: Dintre două fracții cu același numărător, este mai mare fracția cu numitorul mai mic.
\[ \text{Dacă } m < n, \text{ atunci } \frac{a}{m} > \frac{a}{n} \quad (m, n \neq 0) \]
\[ \frac{5}{6} > \frac{5}{12} \quad \text{deoarece } 6 < 12 \]
Dacă fracțiile au și numărătorii și numitorii diferiți, mai întâi le aducem la același numitor prin amplificare, apoi le comparăm numărătorii.
Axa numerelor este o dreaptă pe care s-au fixat o origine (punctul \(O\), corespunzător numărului 0), un sens pozitiv (indicat de o săgeată) și o unitate de măsură (un segment de lungime aleasă).
Pentru a reprezenta o fracție \(\frac{a}{b}\) pe axă, împărțim fiecare unitate de măsură în atâtea segmente egale câte indică numitorul \(b\).
Începând de la origine (\(O\)), numărăm spre dreapta atâtea segmente mici câte indică numărătorul \(a\) și marcăm punctul respectiv.
Dintre două fracții reprezentate pe axă, cea situată mai la dreapta este mai mare.
Practice problems
Problemă 1 (Ușoară): Aduceți fracția \(\frac{48}{72}\) la o formă ireductibilă folosind simplificări succesive.
Putem simplifica succesiv, observând divizorii comuni:
1. Simplificăm cu 2: \[ \frac{48^{(2}}{72} = \frac{24}{36} \]
2. Simplificăm cu 6: \[ \frac{24^{(6}}{36} = \frac{4}{6} \]
3. Simplificăm cu 2: \[ \frac{4^{(2}}{6} = \frac{2}{3} \]
Fracția \(\frac{2}{3}\) este ireductibilă deoarece cel mai mare divizor comun al lui 2 și 3 este 1.
Observație: Puteam simplifica direct prin cel mai mare divizor comun, care este 24: \(\frac{48^{(24}}{72} = \frac{2}{3}\).
1. Simplificăm cu 2: \[ \frac{48^{(2}}{72} = \frac{24}{36} \]
2. Simplificăm cu 6: \[ \frac{24^{(6}}{36} = \frac{4}{6} \]
3. Simplificăm cu 2: \[ \frac{4^{(2}}{6} = \frac{2}{3} \]
Fracția \(\frac{2}{3}\) este ireductibilă deoarece cel mai mare divizor comun al lui 2 și 3 este 1.
Observație: Puteam simplifica direct prin cel mai mare divizor comun, care este 24: \(\frac{48^{(24}}{72} = \frac{2}{3}\).
Problemă 2 (Medie): Determinați valorile numărului natural \(n\) pentru care fracția \(\frac{n+2}{6}\) este mai mică decât fracția \(\frac{5}{6}\).
Fracțiile au același numitor, deci comparăm numărătorii:
\[ \frac{n + 2}{6} < \frac{5}{6} \implies n + 2 < 5 \]
Scăzând 2 din ambele părți ale inegalității, obținem:
\[ n < 3 \]
Deoarece \(n\) este număr natural, valorile posibile pentru \(n\) sunt:
\[ n \in \{0, 1, 2\} \]
Problemă 3 (Medie): Scoateți întregii din fracția \(\frac{29}{6}\) și încadrați numărul obținut între două numere naturale consecutive.
1. Împărțim numărătorul la numitor pentru a scoate întregii:
\[ 29 : 6 = 4 \text{ rest } 5 \]
Deci:
\[ \frac{29}{6} = 4\frac{5}{6} \]
2. Deoarece fracția mixtă are 4 întregi și o parte subunitară (\(\frac{5}{6}\)), valoarea ei se află între 4 și următorul număr natural, 5.
Scriem relația de încadrare: \[ 4 < \frac{29}{6} < 5 \]
2. Deoarece fracția mixtă are 4 întregi și o parte subunitară (\(\frac{5}{6}\)), valoarea ei se află între 4 și următorul număr natural, 5.
Scriem relația de încadrare: \[ 4 < \frac{29}{6} < 5 \]
Problemă 4 (Dificilă): Determinați numerele naturale \(x\) pentru care fracția \(\frac{3x + 2}{14}\) este subunitară.
O fracție este subunitară dacă numărătorul este mai mic decât numitorul:
\[ 3x + 2 < 14 \]
Rezolvăm inecuația:
\[ 3x < 14 - 2 \]
\[ 3x < 12 \]
\[ x < 4 \]
Cum \(x\) este număr natural, valorile posibile sunt în mulțimea:
\[ x \in \{0, 1, 2, 3\} \]
