Cele mai importante aspecte ale lecției
Concluzii cheie:
- La împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural: se pune virgula la cât exact înainte de a coborî prima cifră zecimală a deîmpărțitului. Exemplu: \( 15,6 : 3 = 5,2 \).
- La împărțirea la o putere a lui 10: virgula se mută spre stânga peste atâtea poziții câte zerouri are puterea respectivă. Exemplu: \( 47,8 : 100 = 0,478 \).
- La împărțirea a două fracții zecimale: se mută virgula la dreapta la ambele numere până când împărțitorul devine număr natural. Exemplu: \( 3,6 : 1,2 = 36 : 12 = 3 \).
Împărțirea unei fracții zecimale finite la un număr natural nenul se efectuează în mod similar cu împărțirea numerelor naturale, aplicând o regulă specifică pentru poziționarea virgulei.
1. Se împarte mai întâi partea întreagă a deîmpărțitului la împărțitor.
2. Înainte de a coborî prima cifră zecimală (prima cifră aflată după virgulă), se pune virgula la cât (la rezultat).
3. Se continuă împărțirea zecimală. Dacă după coborârea ultimei cifre zecimale nenule rămâne un rest diferit de zero, se pot adăuga zerouri la sfârșitul deîmpărțitului pentru a continua calculul până când restul devine zero.
Exemplul 1 (împărțire fără adăugare de zerouri):
\[ 37,8 : 3 = 12,6 \]
Împărțim \(37\) la \(3\) și obținem \(12\) rest \(1\). Înainte de a-l coborî pe \(8\), punem virgula la rezultat. Coborâm pe \(8\), obținem \(18\) care împărțit la \(3\) dă \(6\) rest \(0\).
Exemplul 2 (cu adăugare de zerouri la sfârșit): \[ 423,6 : 8 = 52,95 \] Efectuăm împărțirea: \(423 : 8 = 52\) rest \(7\). Punem virgula la rezultat și coborâm pe \(6\). \(76 : 8 = 9\) rest \(4\). Deoarece mai avem restul \(4\), adăugăm un zero la final și obținem \(40\). \(40 : 8 = 5\) rest \(0\). Deci, scriem deîmpărțitul ca fiind \(423,60\).
Exemplul 2 (cu adăugare de zerouri la sfârșit): \[ 423,6 : 8 = 52,95 \] Efectuăm împărțirea: \(423 : 8 = 52\) rest \(7\). Punem virgula la rezultat și coborâm pe \(6\). \(76 : 8 = 9\) rest \(4\). Deoarece mai avem restul \(4\), adăugăm un zero la final și obținem \(40\). \(40 : 8 = 5\) rest \(0\). Deci, scriem deîmpărțitul ca fiind \(423,60\).
Calculează câtul împărțirii: \( 14,5 : 5 \)
1. Împărțim partea întreagă: \( 14 : 5 = 2 \) rest \( 4 \).
2. Punem virgula la cât după cifra \( 2 \).
3. Coborâm prima cifră de după virgulă (\(5\)) și obținem \(45\).
4. Împărțim: \( 45 : 5 = 9 \) rest \( 0 \).
Rezultat: \( 14,5 : 5 = 2,9 \)
2. Punem virgula la cât după cifra \( 2 \).
3. Coborâm prima cifră de după virgulă (\(5\)) și obținem \(45\).
4. Împărțim: \( 45 : 5 = 9 \) rest \( 0 \).
Rezultat: \( 14,5 : 5 = 2,9 \)
Pentru a împărți o fracție zecimală la o putere a lui 10 (\(10, 100, 1000\) etc.), se mută virgula spre stânga peste un număr de cifre egal cu numărul de zerouri al împărțitorului (sau cu exponentul puterii lui 10). Dacă nu sunt suficiente cifre în stânga, se adaugă zerouri.
\[ a : 10^n = \text{se mută virgula la stânga peste } n \text{ cifre} \]
- \( 234,5 : 10 = 23,45 \) (virgula se mută cu 1 cifră spre stânga)
- \( 125,7 : 100 = 1,257 \) (virgula se mută cu 2 cifre spre stânga)
- \( 83,5 : 1000 = 0,0835 \) (virgula se mută cu 3 cifre spre stânga, completând cu un zero în față)
Efectuează rapid calculul: \( 3,1 : 10 \)
Împărțitorul este \(10\) (are un singur zero), deci mutăm virgula spre stânga peste o singură cifră.
Deoarece în stânga virgulei se află doar cifra \(3\), adăugăm un zero în față:
Rezultat: \( 3,1 : 10 = 0,31 \)
Deoarece în stânga virgulei se află doar cifra \(3\), adăugăm un zero în față:
Rezultat: \( 3,1 : 10 = 0,31 \)
Împărțirea a două fracții zecimale finite se transformă întotdeauna într-o împărțire la un număr natural, eliminând virgula de la împărțitor.
1. Se numără câte cifre are împărțitorul după virgulă.
2. Se înmulțesc ambele numere (atât deîmpărțitul, cât și împărțitorul) cu o putere a lui 10 (\(10, 100, 1000\) etc.) corespunzătoare numărului de zecimale, pentru ca împărțitorul să devină număr natural. (Practic, mutăm virgula spre dreapta peste același număr de cifre la ambele numere).
3. Se efectuează împărțirea obținută conform regulilor de împărțire a unei fracții zecimale la un număr natural.
Exemplul 1:
\[ 14,72 : 4,6 \]
Împărțitorul (\(4,6\)) are o singură zecimală, așa că înmulțim ambele numere cu \(10\) (mutăm virgula cu o poziție spre dreapta):
\[ 14,72 : 4,6 = 147,2 : 46 = 3,2 \]
Exemplul 2:
\[ 4,2 : 1,12 \]
Împărțitorul (\(1,12\)) are două zecimale, deci înmulțim ambele numere cu \(100\) (mutăm virgula cu două poziții spre dreapta):
\[ 4,2 : 1,12 = 420 : 112 = 3,75 \]
Calculează: \( 1,25 : 0,5 \)
1. Împărțitorul (\(0,5\)) are o zecimală. Înmulțim ambele numere cu \(10\):
\[ 1,25 : 0,5 = 12,5 : 5 \]
2. Împărțim \(12,5\) la numărul natural \(5\):
– \(12 : 5 = 2\) rest \(2\).
– Punem virgula la cât: \(2,\)
– Coborâm pe \(5\) și obținem \(25\).
– \(25 : 5 = 5\) rest \(0\).
Rezultat: \( 1,25 : 0,5 = 2,5 \)
– \(12 : 5 = 2\) rest \(2\).
– Punem virgula la cât: \(2,\)
– Coborâm pe \(5\) și obținem \(25\).
– \(25 : 5 = 5\) rest \(0\).
Rezultat: \( 1,25 : 0,5 = 2,5 \)
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Calculează:
a) \( 18,6 : 6 \)
b) \( 749,2 : 100 \)
a) \( 18,6 : 6 \)
b) \( 749,2 : 100 \)
a) Pentru \( 18,6 : 6 \):
– Împărțim partea întreagă: \( 18 : 6 = 3 \) rest \(0\).
– Punem virgula la cât: \( 3, \)
– Coborâm pe \(6\) și împărțim: \( 6 : 6 = 1 \) rest \(0\).
Rezultat: \( 18,6 : 6 = 3,1 \)
b) Pentru \( 749,2 : 100 \):
– Deoarece împărțim la 100, mutăm virgula spre stânga peste două cifre.
Rezultat: \( 7,492 \)
– Împărțim partea întreagă: \( 18 : 6 = 3 \) rest \(0\).
– Punem virgula la cât: \( 3, \)
– Coborâm pe \(6\) și împărțim: \( 6 : 6 = 1 \) rest \(0\).
Rezultat: \( 18,6 : 6 = 3,1 \)
b) Pentru \( 749,2 : 100 \):
– Deoarece împărțim la 100, mutăm virgula spre stânga peste două cifre.
Rezultat: \( 7,492 \)
Problema 2 (Medie): Efectuează împărțirea: \( 1,8 : 0,05 \)
1. Împărțitorul (\(0,05\)) are două zecimale. Înmulțim ambele numere cu \(100\) pentru a-l transforma în număr natural (mutăm virgula cu două poziții spre dreapta):
– Deîmpărțitul devine: \( 1,8 \cdot 100 = 180 \)
– Împărțitorul devine: \( 0,05 \cdot 100 = 5 \)
2. Efectuăm împărțirea obținută: \[ 180 : 5 = 36 \]
Rezultat: \( 1,8 : 0,05 = 36 \)
– Deîmpărțitul devine: \( 1,8 \cdot 100 = 180 \)
– Împărțitorul devine: \( 0,05 \cdot 100 = 5 \)
2. Efectuăm împărțirea obținută: \[ 180 : 5 = 36 \]
Rezultat: \( 1,8 : 0,05 = 36 \)
Problema 3 (Dificilă): Un colet conține 12 cărți identice și cântărește în total \( 5,52 \text{ kg} \). Știind că ambalajul gol al coletului cântărește \( 0,12 \text{ kg} \), determină cât cântărește o singură carte.
Pasul 1: Calculăm greutatea totală a cărților, scăzând greutatea ambalajului din masa totală a coletului:
\[ 5,52 - 0,12 = 5,4 \text{ kg} \]
Pasul 2: Împărțim greutatea totală la numărul de cărți (\(12\)) pentru a afla greutatea unei singure cărți:
\[ 5,4 : 12 \]
Efectuăm calculul:
– Împărțim partea întreagă: \( 5 : 12 = 0 \) rest \(5\).
– Punem virgula la cât: \( 0, \)
– Coborâm pe \(4\), obținând \(54\).
– \( 54 : 12 = 4 \) (deoarece \( 4 \cdot 12 = 48 \)), rest \( 54 - 48 = 6 \).
– Adăugăm un zero la rest pentru a continua împărțirea: obținem \(60\).
– \( 60 : 12 = 5 \) rest \(0\).
Rezultat: O carte cântărește \( 0,45 \text{ kg} \).
– Împărțim partea întreagă: \( 5 : 12 = 0 \) rest \(5\).
– Punem virgula la cât: \( 0, \)
– Coborâm pe \(4\), obținând \(54\).
– \( 54 : 12 = 4 \) (deoarece \( 4 \cdot 12 = 48 \)), rest \( 54 - 48 = 6 \).
– Adăugăm un zero la rest pentru a continua împărțirea: obținem \(60\).
– \( 60 : 12 = 5 \) rest \(0\).
Rezultat: O carte cântărește \( 0,45 \text{ kg} \).
Problema 4 (Dificilă): Bunica a preparat \( 10,75 \text{ kg} \) de dulceață de gutui și dorește să o pună în borcane de \( 0,25 \text{ kg} \). Câte borcane va umple aceasta în total?
Pentru a afla numărul de borcane umplute, împărțim cantitatea totală de dulceață la capacitatea unui singur borcan:
\[ 10,75 : 0,25 \]
1. Împărțitorul (\(0,25\)) are două zecimale, deci înmulțim ambele numere cu \(100\) (mutăm virgula peste două poziții la dreapta):
\[ 10,75 : 0,25 = 1075 : 25 \]
2. Efectuăm împărțirea numerelor naturale obținute:
– \( 107 : 25 = 4 \) rest \( 7 \) (\(4 \cdot 25 = 100\)).
– Coborâm cifra \(5\), formând numărul \(75\).
– \( 75 : 25 = 3 \) rest \(0\).
Rezultat: Bunica va umple \( 43 \) de borcane.
– \( 107 : 25 = 4 \) rest \( 7 \) (\(4 \cdot 25 = 100\)).
– Coborâm cifra \(5\), formând numărul \(75\).
– \( 75 : 25 = 3 \) rest \(0\).
Rezultat: Bunica va umple \( 43 \) de borcane.
