Cele mai importante aspecte ale lecției
Produsul cartezian \( M \times N \) reprezintă mulțimea tuturor perechilor ordonate \( (x, y) \), unde \( x \in M \) și \( y \in N \).
Reguli esențiale:
Reguli esențiale:
- Ordinea contează: \( (x, y) \neq (y, x) \) și \( M \times N \neq N \times M \).
- Numărul de elemente se înmulțește: \( \text{card}(M \times N) = \text{card } M \cdot \text{card } N \).
- Dacă \( A \times B = B \times A \), atunci în mod obligatoriu mulțimea \( A \) este egală cu mulțimea \( B \).
Perechea ordonată este un ansamblu format din două elemente, în care contează ordinea scrierii acestora.
Se notează cu \( (x, y) \), unde \( x \) este primul element, iar \( y \) este al doilea element.
Două perechi ordonate sunt diferite dacă elementele sunt scrise în altă ordine: \( (x, y) \neq (y, x) \) (pentru \( x \neq y \)).
Dacă alegem litera \(A\) și cifra \(1\), putem forma perechile ordonate \( (A, 1) \) și \( (1, A) \). Acestea reprezintă perechi diferite.
Fiind date două mulțimi nevide, \( M \) și \( N \), mulțimea ale cărei elemente sunt perechi ordonate de forma \( (x, y) \), cu \( x \) din mulțimea \( M \) și \( y \) din mulțimea \( N \), se numește produsul cartezian al mulțimilor \( M \) și \( N \).
\[ M \times N = \{(x, y) \mid x \in M \text{ și } y \in N\} \]
Pentru mulțimile \( M = \{A, B\} \) și \( N = \{1, 2, 3\} \):
\( M \times N = \{(A, 1), (A, 2), (A, 3), (B, 1), (B, 2), (B, 3)\} \)
\( N \times M = \{(1, A), (1, B), (2, A), (2, B), (3, A), (3, B)\} \)
\( M \times N = \{(A, 1), (A, 2), (A, 3), (B, 1), (B, 2), (B, 3)\} \)
\( N \times M = \{(1, A), (1, B), (2, A), (2, B), (3, A), (3, B)\} \)
Fie \( A = \{0\} \) și \( B = \{x, y\} \). Scrieți elementele mulțimii \( A \times B \).
Luăm singurul element din \( A \) și îl grupăm pe rând cu fiecare element din \( B \):
\( A \times B = \{(0, x), (0, y)\} \)
\( A \times B = \{(0, x), (0, y)\} \)
Produsul cartezian nu este comutativ. Mulțimile \( M \times N \) și \( N \times M \) sunt, în general, diferite:
\[ M \times N \neq N \times M \]
Numărul de elemente (cardinalul) produsului cartezian este egal cu produsul cardinalelor celor două mulțimi:
\[ \text{card}(M \times N) = \text{card } M \cdot \text{card } N \]
Deoarece înmulțirea numerelor naturale este comutativă, rezultă că cele două produse carteziene au mereu același număr de elemente: \( \text{card}(M \times N) = \text{card}(N \times M) \).
Dacă mulțimea \( M \) are 4 elemente, iar mulțimea \( N \) are 5 elemente, câte perechi ordonate conține produsul cartezian \( M \times N \)?
Aplicăm formula cardinalului:
\( \text{card}(M \times N) = 4 \cdot 5 = 20 \) de elemente (perechi).
\( \text{card}(M \times N) = 4 \cdot 5 = 20 \) de elemente (perechi).
Dacă pentru două mulțimi \( A \) și \( B \) avem relația \( A \times B = B \times A \), acest lucru este posibil doar dacă cele două mulțimi sunt identice.
\[ A \times B = B \times A \iff A = B \]
Exerciții
Ușoară: Se dau mulțimile \( A = \{5\} \) și \( B = \{2, 4\} \). Scrieți elementele produsului cartezian \( B \times A \).
Atenție la ordine: primul element al perechii trebuie să fie din \( B \), iar al doilea din \( A \).
\( B \times A = \{(2, 5), (4, 5)\} \)
\( B \times A = \{(2, 5), (4, 5)\} \)
Medie: Fie mulțimile \( M = \{-1, 0, 1, 2\} \) și \( N = \{x, y\} \). Determinați \( \text{card}(N \times M) \) și enumerați elementele acestui produs cartezian.
\( \text{card } M = 4 \) și \( \text{card } N = 2 \).
\( \text{card}(N \times M) = 2 \cdot 4 = 8 \) elemente.
Elementele sunt: \( N \times M = \{(x, -1), (x, 0), (x, 1), (x, 2), (y, -1), (y, 0), (y, 1), (y, 2)\} \).
\( \text{card}(N \times M) = 2 \cdot 4 = 8 \) elemente.
Elementele sunt: \( N \times M = \{(x, -1), (x, 0), (x, 1), (x, 2), (y, -1), (y, 0), (y, 1), (y, 2)\} \).
Dificilă: Determinați numerele reale \( x \) și \( y \), cu \( x < y \), știind că mulțimile \( A \times B \) și \( B \times A \) sunt egale, unde \( A = \{-\sqrt{3}, 5\} \), iar \( B = \{x, y\} \).
Știm că \( A \times B = B \times A \) implică egalitatea mulțimilor: \( A = B \).
Așadar, \( \{-\sqrt{3}, 5\} = \{x, y\} \).
Deoarece se specifică relația \( x < y \), trebuie ca \( x \) să fie elementul mai mic și \( y \) elementul mai mare.
Cum \( -\sqrt{3} < 5 \), obținem: \( x = -\sqrt{3} \) și \( y = 5 \).
Așadar, \( \{-\sqrt{3}, 5\} = \{x, y\} \).
Deoarece se specifică relația \( x < y \), trebuie ca \( x \) să fie elementul mai mic și \( y \) elementul mai mare.
Cum \( -\sqrt{3} < 5 \), obținem: \( x = -\sqrt{3} \) și \( y = 5 \).
