Cele mai importante aspecte ale lecției
Pentru orice triunghi dreptunghic \( ABC \) (\( \measuredangle A = 90^\circ \)) cu înălțimea \( AD \perp BC \):
• Proiecțiile catetelor \( AB \) și \( AC \) pe ipotenuza \( BC \) sunt segmentele \( BD \), respectiv \( DC \).
• Teorema înălțimii: \( AD^2 = BD \cdot DC \)
• Teorema catetei: \( AB^2 = BD \cdot BC \) și \( AC^2 = CD \cdot BC \)
• Proiecțiile catetelor \( AB \) și \( AC \) pe ipotenuza \( BC \) sunt segmentele \( BD \), respectiv \( DC \).
• Teorema înălțimii: \( AD^2 = BD \cdot DC \)
• Teorema catetei: \( AB^2 = BD \cdot BC \) și \( AC^2 = CD \cdot BC \)
Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe acea dreaptă.
Dacă \( A' \) este piciorul perpendicularei din \( A \) pe dreapta \( d \), notăm: \( pr_d A = A' \).
Proiecția ortogonală a unui segment pe o dreaptă este segmentul delimitat de proiecțiile capetelor sale pe acea dreaptă.
Dacă un punct se află deja pe dreaptă, proiecția sa este punctul însuși. Dacă un segment este perpendicular pe o dreaptă, proiecția sa pe acea dreaptă se reduce la un singur punct.
Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea dusă din vârful unghiului drept împarte ipotenuza în două segmente. Aceste segmente reprezintă proiecțiile ortogonale ale celor două catete pe ipotenuză.
- Proiecția catetei \( AB \) pe ipotenuza \( BC \) este segmentul \( BD \). Notăm: \( pr_{BC} AB = BD \).
- Proiecția catetei \( AC \) pe ipotenuza \( BC \) este segmentul \( DC \). Notăm: \( pr_{BC} AC = DC \).
Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media proporțională (media geometrică) a lungimilor segmentelor determinate de ea pe ipotenuză.
\[ AD^2 = BD \cdot DC \]
sau
\[ AD = \sqrt{BD \cdot DC} \]
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză au lungimile de \( 4 \text{ cm} \) și \( 9 \text{ cm} \). Calculați lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei.
Avem \( BD = 4 \text{ cm} \) și \( DC = 9 \text{ cm} \).
Conform teoremei înălțimii: \( AD = \sqrt{BD \cdot DC} \).
\( AD = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6 \text{ cm} \).
Conform teoremei înălțimii: \( AD = \sqrt{BD \cdot DC} \).
\( AD = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6 \text{ cm} \).
Într-un triunghi dreptunghic, lungimea oricărei catete este egală cu media proporțională dintre lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acelei catete pe ipotenuză.
Pentru cateta \( AB \): \[ AB^2 = BD \cdot BC \]
Pentru cateta \( AC \): \[ AC^2 = CD \cdot BC \]
Într-un triunghi dreptunghic \( ABC \) (\( \measuredangle A = 90^\circ \), \( AD \perp BC \)), proiecția catetei \( AB \) pe ipotenuză este \( BD = 2 \text{ cm} \), iar ipotenuza \( BC = 8 \text{ cm} \). Calculați lungimea catetei \( AB \).
Conform teoremei catetei: \( AB^2 = BD \cdot BC \).
\( AB^2 = 2 \cdot 8 = 16 \).
\( AB = \sqrt{16} = 4 \text{ cm} \).
\( AB^2 = 2 \cdot 8 = 16 \).
\( AB = \sqrt{16} = 4 \text{ cm} \).
Probleme propuse
Ușoară: În triunghiul dreptunghic \( ABC \) cu \( \measuredangle A = 90^\circ \) se duce înălțimea \( AD \perp BC \), \( D \in BC \). Se știe că \( BD = 3 \text{ cm} \) și \( CD = 12 \text{ cm} \). Aflați lungimea înălțimii \( AD \) și lungimea ipotenuzei \( BC \).
Folosim teorema înălțimii: \( AD^2 = BD \cdot CD \).
\( AD^2 = 3 \cdot 12 = 36 \implies AD = 6 \text{ cm} \).
Ipotenuza este formată din suma celor două proiecții: \( BC = BD + CD = 3 + 12 = 15 \text{ cm} \).
\( AD^2 = 3 \cdot 12 = 36 \implies AD = 6 \text{ cm} \).
Ipotenuza este formată din suma celor două proiecții: \( BC = BD + CD = 3 + 12 = 15 \text{ cm} \).
Medie: În triunghiul \( ABC \) dreptunghic în \( A \), \( AD \perp BC \). Știind că ipotenuza \( BC = 25 \text{ cm} \) și cateta \( AB = 15 \text{ cm} \), calculați lungimile segmentelor \( BD \), \( CD \) și \( AD \).
Aplicăm teorema catetei pentru a afla proiecția \( BD \):
\( AB^2 = BD \cdot BC \implies 15^2 = BD \cdot 25 \implies 225 = 25 \cdot BD \).
\( BD = 225 : 25 = 9 \text{ cm} \).
Calculăm cealaltă proiecție prin diferență: \( CD = BC - BD = 25 - 9 = 16 \text{ cm} \).
Aplicăm teorema înălțimii: \( AD^2 = BD \cdot CD = 9 \cdot 16 = 144 \).
\( AD = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \).
\( AB^2 = BD \cdot BC \implies 15^2 = BD \cdot 25 \implies 225 = 25 \cdot BD \).
\( BD = 225 : 25 = 9 \text{ cm} \).
Calculăm cealaltă proiecție prin diferență: \( CD = BC - BD = 25 - 9 = 16 \text{ cm} \).
Aplicăm teorema înălțimii: \( AD^2 = BD \cdot CD = 9 \cdot 16 = 144 \).
\( AD = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \).
Dificilă: Într-un triunghi dreptunghic, raportul lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză este \( \frac{1}{4} \), iar înălțimea corespunzătoare ipotenuzei are lungimea de \( 8 \text{ cm} \). Determinați lungimea ipotenuzei acestui triunghi.
Fie triunghiul \( ABC \) (\( \measuredangle A = 90^\circ \)), \( AD \perp BC \). Avem \( \frac{BD}{CD} = \frac{1}{4} \implies CD = 4 \cdot BD \).
Se dă \( AD = 8 \text{ cm} \). Scriem teorema înălțimii:
\( AD^2 = BD \cdot CD \)
\( 8^2 = BD \cdot (4 \cdot BD) \)
\( 64 = 4 \cdot BD^2 \implies BD^2 = 16 \implies BD = 4 \text{ cm} \).
Aflăm \( CD \): \( CD = 4 \cdot 4 = 16 \text{ cm} \).
Calculăm ipotenuza: \( BC = BD + CD = 4 + 16 = 20 \text{ cm} \).
Se dă \( AD = 8 \text{ cm} \). Scriem teorema înălțimii:
\( AD^2 = BD \cdot CD \)
\( 8^2 = BD \cdot (4 \cdot BD) \)
\( 64 = 4 \cdot BD^2 \implies BD^2 = 16 \implies BD = 4 \text{ cm} \).
Aflăm \( CD \): \( CD = 4 \cdot 4 = 16 \text{ cm} \).
Calculăm ipotenuza: \( BC = BD + CD = 4 + 16 = 20 \text{ cm} \).
