Cele mai importante aspecte ale lecției
Concepte de bază:
• Frecvența indică numărul de apariții ale unei valori într-un set de date.
• Dependența funcțională descrie regula prin care fiecărui element dintr-o mulțime i se asociază un singur element din altă mulțime, formând perechi ordonate \( (x, y) \).
• Reprezentarea grafică: Perechile ordonate pot fi trecute într-un sistem de axe ortogonale. Unind aceste puncte în ordine obținem un grafic prin linii, numit poligonul frecvențelor.
• Dacă dependența exprimă o proporționalitate directă (ex. \( y = 1,5x \)), graficul va fi o mulțime de puncte coliniare aflate pe o dreaptă ce trece prin origine.
• Frecvența indică numărul de apariții ale unei valori într-un set de date.
• Dependența funcțională descrie regula prin care fiecărui element dintr-o mulțime i se asociază un singur element din altă mulțime, formând perechi ordonate \( (x, y) \).
• Reprezentarea grafică: Perechile ordonate pot fi trecute într-un sistem de axe ortogonale. Unind aceste puncte în ordine obținem un grafic prin linii, numit poligonul frecvențelor.
• Dacă dependența exprimă o proporționalitate directă (ex. \( y = 1,5x \)), graficul va fi o mulțime de puncte coliniare aflate pe o dreaptă ce trece prin origine.
Datele statistice pot fi organizate și reprezentate vizual pentru a fi mai ușor de interpretat. Cele mai comune metode sunt: tabelele și diagramele (prin puncte, de tip coloană, de tip linie sau circulare).
Frecvența: Reprezintă numărul care ne arată de câte ori apare o anumită valoare într-un set de date.
Dacă într-o clasă 4 elevi au obținut nota 6, spunem că frecvența notei 6 este 4.
Pentru a exprima această frecvență în procente (dintr-un total de 25 de elevi evaluați), aplicăm regula de trei simplă: \[ \frac{4 \cdot 100}{25} = 16\% \]
Pentru a exprima această frecvență în procente (dintr-un total de 25 de elevi evaluați), aplicăm regula de trei simplă: \[ \frac{4 \cdot 100}{25} = 16\% \]
Într-o urnă sunt 10 bile roșii, 15 bile albastre și 25 bile verzi. Care este frecvența bilelor albastre și ce procent reprezintă acestea din totalul bilelor?
Frecvența bilelor albastre este 15 (numărul lor).
Numărul total de bile este: \( 10 + 15 + 25 = 50 \).
Procentul se calculează astfel: \( \frac{15 \cdot 100}{50} = 30\% \).
Numărul total de bile este: \( 10 + 15 + 25 = 50 \).
Procentul se calculează astfel: \( \frac{15 \cdot 100}{50} = 30\% \).
Spunem că între două mulțimi \( A \) și \( B \) are loc o dependență funcțională dacă, printr-o regulă oarecare, facem ca fiecărui element al mulțimii \( A \) să-i corespundă un singur element al mulțimii \( B \).
Graficul dependenței funcționale de la mulțimea \( A \) la mulțimea \( B \) este reprezentat de mulțimea perechilor ordonate \( (x, y) \), unde \( x \in A \) și \( y \in B \).
Dacă notăm cu \( A \) mulțimea notelor obținute la un test și cu \( y \) numărul de elevi (frecvența) care au obținut nota respectivă, fiecărei note îi corespunde un singur număr de elevi. Perechea (nota 7, 6 elevi) se scrie ca perechea ordonată \( (7, 6) \).
Fie regula dependenței funcționale \( y = 2x + 1 \), unde \( x \) aparține mulțimii \( A = \{1, 2, 3\} \). Determinați elementele \( y \) corespunzătoare și scrieți perechile ordonate.
Pentru \( x = 1 \implies y = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \). Perechea este \( (1, 3) \).
Pentru \( x = 2 \implies y = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \). Perechea este \( (2, 5) \).
Pentru \( x = 3 \implies y = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \). Perechea este \( (3, 7) \).
Mulțimea perechilor ordonate este: \( \{(1, 3), (2, 5), (3, 7)\} \).
Pentru \( x = 2 \implies y = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \). Perechea este \( (2, 5) \).
Pentru \( x = 3 \implies y = 2 \cdot 3 + 1 = 7 \). Perechea este \( (3, 7) \).
Mulțimea perechilor ordonate este: \( \{(1, 3), (2, 5), (3, 7)\} \).
Când mulțimile sunt formate din numere, graficul dependenței funcționale poate fi reprezentat într-un sistem de axe ortogonale \( xOy \) printr-o mulțime de puncte, fiecare punct având coordonatele \( (x, y) \).
Poligonul frecvențelor: Este linia frântă obținută prin unirea, în ordine, a punctelor reprezentării grafice (unde axa orizontală reprezintă valorile, iar axa verticală reprezintă frecvențele).
În cazul mărimilor direct proporționale (ex: costul în funcție de cantitate, \( y = a \cdot x \)), punctele graficului sunt coliniare și aparțin unei drepte care trece prin originea sistemului de axe ortogonale.
Exerciții și probleme
Ușoară: Tabelul de mai jos arată frecvența valorilor temperaturilor înregistrate într-o lună.
\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Temperatura} & 2^\circ & 5^\circ & 6^\circ & 8^\circ & 10^\circ \\ \hline \text{Frecvența} & 3 & 5 & 5 & 6 & 4 \\ \hline \end{array} \)
Care este temperatura care a înregistrat frecvența cea mai mare și ce reprezintă acest lucru?
\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Temperatura} & 2^\circ & 5^\circ & 6^\circ & 8^\circ & 10^\circ \\ \hline \text{Frecvența} & 3 & 5 & 5 & 6 & 4 \\ \hline \end{array} \)
Care este temperatura care a înregistrat frecvența cea mai mare și ce reprezintă acest lucru?
Cea mai mare frecvență din tabel este 6.
Aceasta corespunde temperaturii de \( 8^\circ \).
Răspuns: Temperatura de \( 8^\circ \). Acest lucru înseamnă că în 6 zile din acea lună s-au înregistrat exact \( 8^\circ \).
Aceasta corespunde temperaturii de \( 8^\circ \).
Răspuns: Temperatura de \( 8^\circ \). Acest lucru înseamnă că în 6 zile din acea lună s-au înregistrat exact \( 8^\circ \).
Medie: Se consideră dependența funcțională \( x \rightarrow y \), definită prin regula \( y = \sqrt{3}x + 1 \).
a) Calculați valoarea lui \( y \) pentru \( x = 0 \).
b) Calculați valoarea lui \( y \) pentru \( x = 2\sqrt{3} \).
a) Calculați valoarea lui \( y \) pentru \( x = 0 \).
b) Calculați valoarea lui \( y \) pentru \( x = 2\sqrt{3} \).
Înlocuim pe \( x \) în regula dată:
a) Pentru \( x = 0 \implies y = \sqrt{3} \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1 \).
b) Pentru \( x = 2\sqrt{3} \implies y = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} + 1 = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7 \).
a) Pentru \( x = 0 \implies y = \sqrt{3} \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1 \).
b) Pentru \( x = 2\sqrt{3} \implies y = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} + 1 = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7 \).
Dificilă: La un concurs s-au dat 3 probleme. Tabelul asociază fiecărei probleme numărul de elevi care au rezolvat-o corect:
\( \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Problema} & \text{I} & \text{II} & \text{III} \\ \hline \text{Numărul de elevi (frecvența)} & x & 2x + 17 & 3x - 2 \\ \hline \end{array} \)
Se știe că în total au fost 165 de rezolvări corecte. Câți elevi au rezolvat corect Problema a II-a?
\( \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Problema} & \text{I} & \text{II} & \text{III} \\ \hline \text{Numărul de elevi (frecvența)} & x & 2x + 17 & 3x - 2 \\ \hline \end{array} \)
Se știe că în total au fost 165 de rezolvări corecte. Câți elevi au rezolvat corect Problema a II-a?
Totalul rezolvărilor corecte este suma frecvențelor celor trei probleme.
Formăm ecuația: \( x + (2x + 17) + (3x - 2) = 165 \).
Grupăm termenii asemenea: \( 6x + 15 = 165 \).
Scădem 15: \( 6x = 150 \).
Împărțim la 6: \( x = 25 \).
Pentru a afla câți elevi au rezolvat Problema a II-a, înlocuim pe \( x \) în expresia corespunzătoare:
\( 2x + 17 = 2 \cdot 25 + 17 = 50 + 17 = 67 \).
Răspuns: 67 de elevi au rezolvat corect Problema a II-a.
Formăm ecuația: \( x + (2x + 17) + (3x - 2) = 165 \).
Grupăm termenii asemenea: \( 6x + 15 = 165 \).
Scădem 15: \( 6x = 150 \).
Împărțim la 6: \( x = 25 \).
Pentru a afla câți elevi au rezolvat Problema a II-a, înlocuim pe \( x \) în expresia corespunzătoare:
\( 2x + 17 = 2 \cdot 25 + 17 = 50 + 17 = 67 \).
Răspuns: 67 de elevi au rezolvat corect Problema a II-a.
