IV.4. Minitest

Identificarea unghiului $\measuredangle ADB$

În dreptunghiul $ABCD$, toate unghiurile interioare sunt unghiuri drepte, deci au măsura de $90^\circ$. Astfel, avem $\measuredangle ADC = 90^\circ$. Unghiul $ADC$ este format din suma unghiurilor alăturate $ADB$ și $BDC$: \[ \measuredangle ADB + \measuredangle BDC = \measuredangle ADC \] Știm din ipoteză că $\measuredangle BDC = 40^\circ$. Putem calcula măsura unghiului $\measuredangle ADB$: \[ \measuredangle ADB + 40^\circ = 90^\circ \] \[ \measuredangle ADB = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \]

Determinarea unghiului $\measuredangle BAC$

Dreptunghiul este un paralelogram cu diagonalele congruente care se înjumătățesc în punctul $O$. Acest lucru înseamnă că $OA = OB = OC = OD$. Deoarece $OA = OB$, triunghiul $AOB$ este un triunghi isoscel. Într-un dreptunghi, laturile opuse sunt paralele ($AB \parallel CD$), deci unghiurile alterne interne sunt egale: \[ \measuredangle BAC = \measuredangle ACD \] Totuși, o metodă mai directă este să observăm că $\triangle ODC$ este de asemenea isoscel ($OD = OC$). Astfel, unghiurile de la bază sunt egale: \[ \measuredangle OCD = \measuredangle ODC = 40^\circ \] Deoarece $AB \parallel CD$, unghiul $BAC$ și unghiul $ACD$ sunt alterne interne, deci: \[ \measuredangle BAC = \measuredangle ACD = 40^\circ \]

Calcularea unghiului $\measuredangle DOC$

Vom privi triunghiul $DOC$. Știm că acesta este isoscel cu $OD = OC$, deci $\measuredangle ODC = \measuredangle OCD = 40^\circ$. Suma măsurilor unghiurilor în orice triunghi este $180^\circ$. Aplicăm această proprietate pentru $\triangle DOC$: \[ \measuredangle ODC + \measuredangle OCD + \measuredangle DOC = 180^\circ \] Înlocuim măsurile cunoscute: \[ 40^\circ + 40^\circ + \measuredangle DOC = 180^\circ \] \[ 80^\circ + \measuredangle DOC = 180^\circ \] \[ \measuredangle DOC = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \]

$\measuredangle ADB = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$ $OD = OC \Rightarrow \triangle DOC$ isoscel $\Rightarrow \measuredangle OCD = 40^\circ$ $\measuredangle DOC = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ$ $AB \parallel CD \Rightarrow \measuredangle BAC = \measuredangle ACD = 40^\circ$ (alt. int.)