Cele mai importante aspecte ale lecției
Teorema lui Pitagora și Reciproca ei funcționează ca o stradă cu dublu sens pentru triunghiurile dreptunghice:
- Dacă știi deja că triunghiul are \( 90^\circ \), folosești Teorema lui Pitagora (\( ipotenuz\breve{a}^2 = catet\breve{a}_1^2 + catet\breve{a}_2^2 \)) pentru a calcula o latură lipsă.
- Dacă știi toate cele 3 laturi și vrei să afli dacă triunghiul are \( 90^\circ \), folosești Reciproca verificând dacă latura cea mai mare la pătrat este suma pătratelor celorlalte două.
Pătratul lungimii ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.
Dacă \( \triangle ABC \) este dreptunghic în \( A \) (\( \measuredangle A = 90^\circ \)):
\[ \text{Ipotenuză}^2 = \text{Catetă}_1^2 + \text{Catetă}_2^2 \]
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
Această teoremă se folosește pentru a afla lungimea unei laturi într-un triunghi dreptunghic atunci când cunoaștem lungimile celorlalte două laturi.
Dacă într-un triunghi dreptunghic \( ABC \) (\( \measuredangle A = 90^\circ \)) cunoaștem catetele \( AB = 3 \) cm și \( AC = 4 \) cm, putem afla ipotenuza \( BC \):
\[ BC^2 = 3^2 + 4^2 \]
\[ BC^2 = 9 + 16 = 25 \]
\[ BC = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \]
Dacă pătratul lungimii unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghic, având ca ipotenuză latura respectivă.
Dacă într-un triunghi \( ABC \) este îndeplinită relația:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
Atunci triunghiul este dreptunghic, iar unghiul opus laturii \( BC \) este drept: \( \measuredangle BAC = 90^\circ \).
Această teoremă se folosește pentru a demonstra că un unghi este de \( 90^\circ \) (că două drepte sunt perpendiculare) atunci când cunoaștem lungimile tuturor celor trei laturi ale triunghiului.
Se dă triunghiul \( MNP \) cu laturile \( MN = 6 \) cm, \( NP = 8 \) cm și \( MP = 10 \) cm. Este acest triunghi dreptunghic?
Verificăm dacă latura cea mai lungă la pătrat este egală cu suma pătratelor celorlalte două: \[ 10^2 = 100 \] \[ 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \] Deoarece \( 10^2 = 6^2 + 8^2 \), conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic, cu unghiul de \( 90^\circ \) opus laturii \( MP \) (adică \( \measuredangle N = 90^\circ \)).
Verificăm dacă latura cea mai lungă la pătrat este egală cu suma pătratelor celorlalte două: \[ 10^2 = 100 \] \[ 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \] Deoarece \( 10^2 = 6^2 + 8^2 \), conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic, cu unghiul de \( 90^\circ \) opus laturii \( MP \) (adică \( \measuredangle N = 90^\circ \)).
Probleme de antrenament
Ușoară: Triunghiul \( ABC \) este dreptunghic, cu \( \measuredangle A = 90^\circ \). Calculează lungimea laturii \( BC \), știind că \( AB = 12 \) cm și \( AC = 5 \) cm.
Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \( ABC \):
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
\[ BC^2 = 12^2 + 5^2 \]
\[ BC^2 = 144 + 25 = 169 \]
\[ BC = \sqrt{169} = 13 \text{ cm} \]
Medie: Triunghiul \( MNP \) este dreptunghic, cu \( \measuredangle M = 90^\circ \). Calculează lungimea catetei \( MN \), știind că \( MP = 20 \) cm și ipotenuza \( NP = 52 \) cm.
Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \( MNP \):
\[ NP^2 = MN^2 + MP^2 \]
Înlocuim cu valorile cunoscute:
\[ 52^2 = MN^2 + 20^2 \]
\[ 2704 = MN^2 + 400 \]
Extragem necunoscuta:
\[ MN^2 = 2704 - 400 = 2304 \]
\[ MN = \sqrt{2304} = 48 \text{ cm} \]
Dificilă: Determină măsura unghiului \( D \) al triunghiului \( DEF \), știind că lungimile laturilor sunt: \( DE = 10 \) cm, \( DF = 24 \) cm și \( EF = 26 \) cm.
Identificăm latura cea mai lungă, care ar putea fi ipotenuza: \( EF = 26 \) cm.
Calculăm pătratul acesteia: \[ EF^2 = 26^2 = 676 \] Calculăm suma pătratelor celorlalte două laturi: \[ DE^2 + DF^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 \] Deoarece observăm că \( EF^2 = DE^2 + DF^2 \) (\( 676 = 676 \)), conform Reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul \( DEF \) este dreptunghic.
Unghiul drept este cel opus laturii celei mai mari (\( EF \)), așadar \( \measuredangle D = 90^\circ \).
Calculăm pătratul acesteia: \[ EF^2 = 26^2 = 676 \] Calculăm suma pătratelor celorlalte două laturi: \[ DE^2 + DF^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 \] Deoarece observăm că \( EF^2 = DE^2 + DF^2 \) (\( 676 = 676 \)), conform Reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul \( DEF \) este dreptunghic.
Unghiul drept este cel opus laturii celei mai mari (\( EF \)), așadar \( \measuredangle D = 90^\circ \).
Dificilă: Calculează lungimea diagonalei unui dreptunghi, știind că lungimile laturilor sale sunt egale cu \( 20 \) cm, respectiv \( 21 \) cm.
Într-un dreptunghi, o diagonală formează cu două laturi alăturate (lungimea și lățimea) un triunghi dreptunghic, unde diagonala este ipotenuza.
Fie \( d \) diagonala dreptunghiului, \( L = 21 \) cm și \( l = 20 \) cm. Aplicăm teorema lui Pitagora: \[ d^2 = L^2 + l^2 \] \[ d^2 = 21^2 + 20^2 \] \[ d^2 = 441 + 400 = 841 \] \[ d = \sqrt{841} = 29 \text{ cm} \]
Fie \( d \) diagonala dreptunghiului, \( L = 21 \) cm și \( l = 20 \) cm. Aplicăm teorema lui Pitagora: \[ d^2 = L^2 + l^2 \] \[ d^2 = 21^2 + 20^2 \] \[ d^2 = 441 + 400 = 841 \] \[ d = \sqrt{841} = 29 \text{ cm} \]
