Cele mai importante aspecte ale lecției
Concepte fundamentale reținute din lecție:
- Dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce exact două tangente, iar segmentele de la punct la punctele de tangență sunt congruente (\( PA \equiv PB \)).
- Raza cercului formează un unghi de \( 90^\circ \) cu tangenta în punctul de contact.
- Un punct se află pe bisectoarea unui unghi dacă și numai dacă este egal depărtat de laturile unghiului.
- Cercul înscris într-un triunghi are centrul în punctul de intersecție a bisectoarelor, iar laturile triunghiului devin tangente la acest cerc, formând segmente congruente din fiecare vârf al triunghiului.
Prin orice punct aflat în exteriorul unui cerc se pot construi exact două tangente la cercul respectiv.
Raza cercului dusă în punctul de tangență este întotdeauna perpendiculară pe tangentă: \( OA \perp AP \) și \( OB \perp BP \).
Dintr-un punct exterior \( P \), segmentele determinate de punctul dat și punctele de tangență (\( A \) și \( B \)) sunt congruente:
\[ PA \equiv PB \]
Triunghiurile dreptunghice formate (\( \Delta OAP \) și \( \Delta OBP \)) sunt congruente, ceea ce înseamnă că dreapta \( OP \) este bisectoarea unghiului \( \measuredangle APB \) și a unghiului \( \measuredangle AOB \).
Dintr-un punct exterior \( M \) se duc tangentele \( MA \) și \( MB \) la un cerc. Dacă lungimea segmentului \( MA \) este de \( 12 \text{ cm} \), care este lungimea segmentului \( MB \)?
Conform proprietății tangentelor duse dintr-un punct exterior, segmentele de la punct la punctele de tangență sunt congruente.
Deci, \( MB = MA = 12 \text{ cm} \).
Deci, \( MB = MA = 12 \text{ cm} \).
Teorema 1: Orice punct situat pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului.
Teorema 2 (reciproca): Orice punct din interiorul unui unghi, egal depărtat de laturile unghiului, se află pe bisectoarea acelui unghi.
Teorema 2 (reciproca): Orice punct din interiorul unui unghi, egal depărtat de laturile unghiului, se află pe bisectoarea acelui unghi.
Dacă \( OP \) este bisectoarea unghiului \( \measuredangle AOB \), iar \( PA \perp OA \) și \( PB \perp OB \), atunci distanțele sunt egale: \( PA = PB \). Aceasta este o consecință directă a congruenței triunghiurilor dreptunghice \( \Delta OAP \equiv \Delta OBP \).
Bisectoarele unghiurilor interioare ale unui triunghi sunt concurente (se intersectează) într-un singur punct, notat cu \( I \). Acest punct \( I \) se află la distanțe egale de cele trei laturi ale triunghiului.
Cercul înscris în triunghi este cercul cu centrul în punctul de intersecție a bisectoarelor (\( I \)) și care are laturile triunghiului drept tangente.
Deoarece vârfurile triunghiului acționează ca puncte exterioare din care se duc tangente la cercul înscris, se formează perechi de segmente congruente pe laturi:
\[ AM \equiv AP, \quad BM \equiv BN, \quad CN \equiv CP \]
Probleme practice
Ușoară: Dintr-un punct \( P \) aflat în exteriorul unui cerc de centru \( O \), se duc tangentele \( PA \) și \( PB \) (unde \( A \) și \( B \) sunt punctele de tangență). Dacă perimetrul patrulaterului \( OAPB \) este de \( 34 \text{ cm} \), iar raza cercului este \( r = 5 \text{ cm} \), calculează lungimea tangentei \( PA \).
Știm că \( OA \) și \( OB \) sunt raze, deci \( OA = OB = 5 \text{ cm} \).
Din proprietatea tangentelor, \( PA = PB \).
Perimetrul patrulaterului \( OAPB \) este: \( P = OA + OB + PA + PB \).
\( 34 = 5 + 5 + 2 \cdot PA \)
\( 34 = 10 + 2 \cdot PA \implies 2 \cdot PA = 24 \implies PA = 12 \text{ cm} \).
Din proprietatea tangentelor, \( PA = PB \).
Perimetrul patrulaterului \( OAPB \) este: \( P = OA + OB + PA + PB \).
\( 34 = 5 + 5 + 2 \cdot PA \)
\( 34 = 10 + 2 \cdot PA \implies 2 \cdot PA = 24 \implies PA = 12 \text{ cm} \).
Medie: Laturile unui triunghi \( ABC \) au lungimile \( AB = 7 \text{ cm} \), \( BC = 8 \text{ cm} \) și \( AC = 9 \text{ cm} \). Cercul înscris în triunghi este tangent laturilor \( AB, BC, AC \) în punctele \( M, N \), respectiv \( P \). Calculează lungimea segmentului \( AM \).
Notăm segmentele formate de tangentele din vârfurile triunghiului:
\( AM = AP = x \)
\( BM = BN = y \)
\( CN = CP = z \)
Obținem sistemul de ecuații din lungimile laturilor:
\( AB = x + y = 7 \)
\( BC = y + z = 8 \)
\( AC = x + z = 9 \)
Adunând cele trei ecuații, obținem perimetrul: \( 2x + 2y + 2z = 7 + 8 + 9 = 24 \), deci \( x + y + z = 12 \).
Pentru a afla \( AM \) (care este \( x \)), scădem din sumă latura care nu îl conține pe \( x \), adică \( BC \) (\( y + z \)):
\( x = (x + y + z) - (y + z) = 12 - 8 = 4 \text{ cm} \).
Așadar, \( AM = 4 \text{ cm} \).
\( AM = AP = x \)
\( BM = BN = y \)
\( CN = CP = z \)
Obținem sistemul de ecuații din lungimile laturilor:
\( AB = x + y = 7 \)
\( BC = y + z = 8 \)
\( AC = x + z = 9 \)
Adunând cele trei ecuații, obținem perimetrul: \( 2x + 2y + 2z = 7 + 8 + 9 = 24 \), deci \( x + y + z = 12 \).
Pentru a afla \( AM \) (care este \( x \)), scădem din sumă latura care nu îl conține pe \( x \), adică \( BC \) (\( y + z \)):
\( x = (x + y + z) - (y + z) = 12 - 8 = 4 \text{ cm} \).
Așadar, \( AM = 4 \text{ cm} \).
Dificilă: Fie un punct \( M \) exterior unui cerc de centru \( O \) și rază \( r = 4 \text{ cm} \). Se duc tangentele \( MA \) și \( MB \) la cerc. Știind că măsura unghiului dintre tangente este \( \measuredangle AMB = 60^\circ \), calculează lungimea segmentului \( OM \).
Dreapta \( OM \) este bisectoarea unghiului \( \measuredangle AMB \), deci \( \measuredangle AMO = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \).
Raza \( OA \) este perpendiculară pe tangenta \( MA \), deci triunghiul \( \Delta OAM \) este dreptunghic în \( A \) (\( \measuredangle OAM = 90^\circ \)).
În triunghiul dreptunghic \( \Delta OAM \), cateta opusă unghiului de \( 30^\circ \) este \( OA = 4 \text{ cm} \).
Conform teoremei unghiului de \( 30^\circ \), cateta opusă este jumătate din ipotenuză:
\( OA = \frac{OM}{2} \implies 4 = \frac{OM}{2} \implies OM = 8 \text{ cm} \).
Raza \( OA \) este perpendiculară pe tangenta \( MA \), deci triunghiul \( \Delta OAM \) este dreptunghic în \( A \) (\( \measuredangle OAM = 90^\circ \)).
În triunghiul dreptunghic \( \Delta OAM \), cateta opusă unghiului de \( 30^\circ \) este \( OA = 4 \text{ cm} \).
Conform teoremei unghiului de \( 30^\circ \), cateta opusă este jumătate din ipotenuză:
\( OA = \frac{OM}{2} \implies 4 = \frac{OM}{2} \implies OM = 8 \text{ cm} \).
