II.3. Recapitulare

Pasul 1: Rezolvarea subpunctului a)

Avem egalitatea a două numere de două cifre: \( \overline{7x} = \overline{y8} \). Pentru ca două numere naturale să fie egale, cifrele de pe aceleași poziții trebuie să fie identice. Comparăm cifra zecilor: cifra zecilor a primului număr este 7, deci cifra zecilor a celui de-al doilea număr trebuie să fie tot 7. Rezultă \( y = 7 \). Comparăm cifra unităților: cifra unităților a celui de-al doilea număr este 8, deci cifra unităților a primului număr trebuie să fie tot 8. Rezultă \( x = 8 \).

Pasul 2: Rezolvarea subpunctului b)

Avem egalitatea \( \overline{xx} = \overline{y2} \). Asemănător cu pasul anterior, comparăm cifrele unităților: cifra unităților a primului număr este \( x \), iar a celui de-al doilea este 2. Rezultă \( x = 2 \). Acum comparăm cifrele zecilor: cifra zecilor a primului număr este \( x \), iar a celui de-al doilea este \( y \). Deoarece am aflat că \( x = 2 \), rezultă \( y = 2 \).

Pasul 3: Rezolvarea subpunctului c)

Avem inegalitatea \( \overline{5y7} < \overline{50x} \). Deoarece cifra sutelor este aceeași (5), comparăm cifrele zecilor: trebuie să avem \( y \le 0 \). Deoarece \( y \) este o cifră, singura posibilitate este \( y = 0 \). Substituim \( y \): \( \overline{507} < \overline{50x} \). Acum comparăm cifrele unităților: pentru ca inegalitatea să fie adevărată, trebuie ca \( 7 < x \). Cifrele posibile pentru \( x \) sunt \( \{8, 9\} \). Perechile \( (x, y) \) sunt: \( (8, 0) \) și \( (9, 0) \).

Pasul 4: Rezolvarea subpunctului d)

Avem inegalitatea \( \overline{2xy} > 289 \). Analizăm cifra zecilor \( x \): 1. Dacă \( x > 8 \), adică \( x = 9 \), atunci cifra unităților \( y \) poate fi orice cifră de la 0 la 9, deoarece \( 29y \) va fi întotdeauna mai mare decât 289. 2. Dacă \( x = 8 \), atunci cifra unităților \( y \) trebuie să fie mai mare decât 9 pentru ca \( 28y > 289 \). Însă \( y \) este cifră, deci nu există nicio valoare mai mare ca 9. 3. Dacă \( x < 8 \), numărul va fi mai mic decât 289. Singura soluție este \( x = 9 \) și \( y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \).

Pasul 5: Rezolvarea subpunctului e)

Avem inegalitatea \( \overline{72x398} \le \overline{724y28} \). Comparăm cifrele de la stânga la dreapta. Cifrele sutelor de mii și zecilor de mii sunt identice (7 și 2). Analizăm cifra miilor \( x \): 1. Dacă \( x < 4 \), adică \( x \in \{0, 1, 2, 3\} \), inegalitatea este adevărată pentru orice valoare a cifrei \( y \), deoarece cifra de ordin mai mare este mai mică. Deci \( y \in \{0, 1, 2, \dots, 9\} \). 2. Dacă \( x = 4 \), comparăm cifra sutelor: primul număr are cifra sutelor 3, iar al doilea are cifra sutelor \( y \). Pentru ca \( \overline{724398} \le \overline{724y28} \), trebuie ca \( 3 \le y \). - Dacă \( y > 3 \), inegalitatea este strictă. - Dacă \( y = 3 \), comparăm cifra zecilor: avem 9 în primul număr și 2 în al doilea. \( 9 \le 2 \) este fals. Deci \( y \) nu poate fi 3. Astfel, dacă \( x = 4 \), atunci \( y \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \). 3. Dacă \( x > 4 \), inegalitatea este falsă.

a)

\( \overline{7x} = \overline{y8} \Rightarrow y = 7, x = 8 \)

b)

\( \overline{xx} = \overline{y2} \Rightarrow x = 2, y = 2 \)

c)

\( \overline{5y7} < \overline{50x} \Rightarrow y = 0, 7 < x \Rightarrow x \in \{8, 9\}, y = 0 \)

d)

\( \overline{2xy} > 289 \Rightarrow x = 9, y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \)

e)

\( \overline{72x398} \le \overline{724y28} \Rightarrow x < 4, y \in \{0, \dots, 9\} \) sau \( x = 4, y \in \{4, \dots, 9\} \)