Cele mai importante aspecte ale lecției
- Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c. sau \([a,b]\)) este cel mai mic număr nenul care se împarte exact la ambele numere date.
- Aducerea la un numitor comun presupune determinarea unui multiplu comun al numitorilor (ideal c.m.m.m.c.) și amplificarea corespunzătoare a fracțiilor. Exemplu: pentru \(\frac{1}{4}\) și \(\frac{1}{6}\), numitorul comun este \([4, 6] = 12\), obținând \(\frac{3}{12}\) și \(\frac{2}{12}\).
- Compararea fracțiilor cu numitori diferiți se realizează aducându-le la același numitor și comparând ulterior numărătorii.
Oricare două numere naturale nenule au cel puțin un multiplu comun (de exemplu, produsul lor). Cel mai mic dintre acești multipli comuni, diferit de 0, se numește cel mai mic multiplu comun.
Cel mai mic multiplu comun al numerelor \( a \) și \( b \) se notează cu \([a, b]\) sau c.m.m.m.c.
Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor \(4\) și \(6\), putem lista primii lor multipli nenuli:
Multiplii comuni sunt: \(12, 24, 36, \dots\)
Cel mai mic dintre aceștia este \(12\), deci \([4, 6] = 12\).
| Numărul | Multiplii nenuli |
|---|---|
| 4 | 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ... |
| 6 | 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ... |
Cel mai mic dintre aceștia este \(12\), deci \([4, 6] = 12\).
Găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor \(8\) și \(12\).
Scriem multiplii nenuli ai celor două numere:
- Multiplii lui 8: \(8, 16, \mathbf{24}, 32, 40, \mathbf{48}, \dots\)
- Multiplii lui 12: \(12, \mathbf{24}, 36, \mathbf{48}, \dots\)
Pentru a aduce două fracții la același numitor, le înlocuim cu fracții echivalente prin amplificare. Există trei metode principale:
Cazul în care un numitor este divizibil cu celălalt:
Dacă un numitor se împarte exact la celălalt, numitorul comun va fi cel mai mare dintre ei. Amplificăm doar fracția cu numitorul mai mic.
Dacă un numitor se împarte exact la celălalt, numitorul comun va fi cel mai mare dintre ei. Amplificăm doar fracția cu numitorul mai mic.
Aduceți la același numitor fracțiile \( \frac{3}{4} \) și \( \frac{5}{8} \).
Deoarece \(8\) se împarte exact la \(4\) (\(4|8\)), numitorul comun este \(8\). Amplificăm prima fracție cu \(2\): \[ \frac{3}{4} \stackrel{\cdot 2}{\longrightarrow} \frac{6}{8}; \quad \frac{5}{8} = \frac{5}{8} \]
Deoarece \(8\) se împarte exact la \(4\) (\(4|8\)), numitorul comun este \(8\). Amplificăm prima fracție cu \(2\): \[ \frac{3}{4} \stackrel{\cdot 2}{\longrightarrow} \frac{6}{8}; \quad \frac{5}{8} = \frac{5}{8} \]
Folosirea produsului numitorilor:
Înmulțim numitorii între ei pentru a obține un numitor comun rapid. Fiecare fracție se amplifică cu numitorul celeilalte.
Înmulțim numitorii între ei pentru a obține un numitor comun rapid. Fiecare fracție se amplifică cu numitorul celeilalte.
Aduceți la același numitor fracțiile \( \frac{3}{4} \) și \( \frac{5}{6} \) folosind produsul numitorilor.
Numitorul comun este \(4 \cdot 6 = 24\). \[ \frac{3}{4} \stackrel{\cdot 6}{\longrightarrow} \frac{18}{24}; \quad \frac{5}{6} \stackrel{\cdot 4}{\longrightarrow} \frac{20}{24} \]
Numitorul comun este \(4 \cdot 6 = 24\). \[ \frac{3}{4} \stackrel{\cdot 6}{\longrightarrow} \frac{18}{24}; \quad \frac{5}{6} \stackrel{\cdot 4}{\longrightarrow} \frac{20}{24} \]
Folosirea celui mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.):
Este cea mai eficientă metodă, deoarece evită lucrul cu numere foarte mari. Numitorul comun este \([a, b]\).
Este cea mai eficientă metodă, deoarece evită lucrul cu numere foarte mari. Numitorul comun este \([a, b]\).
Aduceți la cel mai mic numitor comun fracțiile \( \frac{3}{4} \) și \( \frac{5}{6} \).
Cel mai mic multiplu comun al numitorilor este \([4, 6] = 12\).
Amplificăm prima fracție cu \(12 : 4 = 3\) și pe a doua cu \(12 : 6 = 2\): \[ \frac{3}{4} \stackrel{\cdot 3}{\longrightarrow} \frac{9}{12}; \quad \frac{5}{6} \stackrel{\cdot 2}{\longrightarrow} \frac{10}{12} \]
Cel mai mic multiplu comun al numitorilor este \([4, 6] = 12\).
Amplificăm prima fracție cu \(12 : 4 = 3\) și pe a doua cu \(12 : 6 = 2\): \[ \frac{3}{4} \stackrel{\cdot 3}{\longrightarrow} \frac{9}{12}; \quad \frac{5}{6} \stackrel{\cdot 2}{\longrightarrow} \frac{10}{12} \]
Aduceți la cel mai mic numitor comun fracțiile \( \frac{2}{9} \) și \( \frac{5}{6} \).
- Găsim c.m.m.m.c. al numitorilor \(9\) și \(6\):
- Multiplii lui 9: \(9, \mathbf{18}, 27, \dots\)
- Multiplii lui 6: \(6, 12, \mathbf{18}, 24, \dots\)
- Determinăm factorii de amplificare:
- Pentru prima fracție: \(18 : 9 = 2\)
- Pentru a doua fracție: \(18 : 6 = 3\)
- Amplificăm fracțiile: \[ \frac{2}{9} \stackrel{\cdot 2}{\longrightarrow} \frac{4}{18} \quad \text{și} \quad \frac{5}{6} \stackrel{\cdot 3}{\longrightarrow} \frac{15}{18} \]
Pentru a compara două sau mai multe fracții cu numitori diferiți:
- Aducem fracțiile la același numitor comun.
- Comparăm numărătorii fracțiilor obținute. Fracția cu numărătorul mai mare este fracția mai mare.
Să comparăm fracțiile \( \frac{1}{6} \), \( \frac{2}{5} \) și \( \frac{3}{4} \):
Pasul 1: Comparăm \( \frac{1}{6} \) cu \( \frac{2}{5} \). Numitorul comun este \(30\). \[ \frac{1}{6} \stackrel{\cdot 5}{=} \frac{5}{30} \quad \text{și} \quad \frac{2}{5} \stackrel{\cdot 6}{=} \frac{12}{30} \Rightarrow \frac{5}{30} < \frac{12}{30} \Rightarrow \frac{1}{6} < \frac{2}{5} \] Pasul 2: Comparăm fracția mai mare (\( \frac{2}{5} \)) cu a treia fracție (\( \frac{3}{4} \)). Numitorul comun este \(20\). \[ \frac{2}{5} \stackrel{\cdot 4}{=} \frac{8}{20} \quad \text{și} \quad \frac{3}{4} \stackrel{\cdot 5}{=} \frac{15}{20} \Rightarrow \frac{8}{20} < \frac{15}{20} \Rightarrow \frac{2}{5} < \frac{3}{4} \] Concluzie: \( \frac{1}{6} < \frac{2}{5} < \frac{3}{4} \).
Pasul 1: Comparăm \( \frac{1}{6} \) cu \( \frac{2}{5} \). Numitorul comun este \(30\). \[ \frac{1}{6} \stackrel{\cdot 5}{=} \frac{5}{30} \quad \text{și} \quad \frac{2}{5} \stackrel{\cdot 6}{=} \frac{12}{30} \Rightarrow \frac{5}{30} < \frac{12}{30} \Rightarrow \frac{1}{6} < \frac{2}{5} \] Pasul 2: Comparăm fracția mai mare (\( \frac{2}{5} \)) cu a treia fracție (\( \frac{3}{4} \)). Numitorul comun este \(20\). \[ \frac{2}{5} \stackrel{\cdot 4}{=} \frac{8}{20} \quad \text{și} \quad \frac{3}{4} \stackrel{\cdot 5}{=} \frac{15}{20} \Rightarrow \frac{8}{20} < \frac{15}{20} \Rightarrow \frac{2}{5} < \frac{3}{4} \] Concluzie: \( \frac{1}{6} < \frac{2}{5} < \frac{3}{4} \).
Comparați fracțiile \( \frac{5}{12} \) și \( \frac{7}{16} \).
- Găsim cel mai mic multiplu comun pentru 12 și 16:
- Multiplii lui 16: \(16, 32, \mathbf{48}, 64, \dots\)
- Deoarece \(48\) este divizibil și cu \(12\) (\(12 \cdot 4 = 48\)), \([12, 16] = 48\).
- Aducem fracțiile la numitorul 48: \[ \frac{5}{12} \stackrel{\cdot 4}{\longrightarrow} \frac{20}{48} \] \[ \frac{7}{16} \stackrel{\cdot 3}{\longrightarrow} \frac{21}{48} \]
- Comparăm numărătorii: Deoarece \(20 < 21\), rezultă că \(\frac{20}{48} < \frac{21}{48}\), deci \(\frac{5}{12} < \frac{7}{16}\).
Practice problems
Problema 1 (Ușoară): Aduceți la același numitor fracțiile \( \frac{1}{3} \) și \( \frac{4}{5} \).
Numitorii sunt \(3\) și \(5\). Cel mai mic multiplu comun este produsul lor: \(3 \cdot 5 = 15\).
Amplificăm prima fracție cu \(5\) și pe a doua cu \(3\): \[ \frac{1}{3} \stackrel{\cdot 5}{\longrightarrow} \frac{5}{15} \] \[ \frac{4}{5} \stackrel{\cdot 3}{\longrightarrow} \frac{12}{15} \] Fracțiile aduse la numitor comun sunt \(\frac{5}{15}\) și \(\frac{12}{15}\).
Amplificăm prima fracție cu \(5\) și pe a doua cu \(3\): \[ \frac{1}{3} \stackrel{\cdot 5}{\longrightarrow} \frac{5}{15} \] \[ \frac{4}{5} \stackrel{\cdot 3}{\longrightarrow} \frac{12}{15} \] Fracțiile aduse la numitor comun sunt \(\frac{5}{15}\) și \(\frac{12}{15}\).
Problema 2 (Medie): Ordonați crescător următoarele fracții, aducându-le mai întâi la cel mai mic numitor comun: \( \frac{1}{10} \), \( \frac{1}{15} \) și \( \frac{3}{20} \).
- Găsim c.m.m.m.c. pentru \(10, 15\) și \(20\).
- Multiplii lui 20: \(20, 40, \mathbf{60}, 80, \dots\)
- Se observă că \(60\) este divizibil și cu \(10\) (\(10 \cdot 6 = 60\)) și cu \(15\) (\(15 \cdot 4 = 60\)).
- Deci, numitorul comun este \(60\).
- Aducem fracțiile la numitorul \(60\): \[ \frac{1}{10} \stackrel{\cdot 6}{\longrightarrow} \frac{6}{60} \] \[ \frac{1}{15} \stackrel{\cdot 4}{\longrightarrow} \frac{4}{60} \] \[ \frac{3}{20} \stackrel{\cdot 3}{\longrightarrow} \frac{9}{60} \]
- Comparăm numărătorii: \[ 4 < 6 < 9 \Rightarrow \frac{4}{60} < \frac{6}{60} < \frac{9}{60} \]
- Scriem fracțiile inițiale în ordine crescătoare: \[ \frac{1}{15} < \frac{1}{10} < \frac{3}{20} \]
Problema 3 (Dificilă): Laurențiu parcurge în drumul său spre casă \(34\%\) din distanță, iar Matei parcurge \(\frac{19}{50}\) din aceeași distanță. Cine a parcurs o distanță mai mare?
Pentru a compara cele două distanțe, trebuie să le scriem sub aceeași formă (ca fracții ordinare cu același numitor):
- Scriem procentul sub formă de fracție ordinară: \[ 34\% = \frac{34}{100} \]
- Aducem a doua fracție, \(\frac{19}{50}\), la numitorul \(100\) (deoarece \(100\) este multiplu de \(50\)): \[ \frac{19}{50} \stackrel{\cdot 2}{\longrightarrow} \frac{38}{100} \]
- Comparăm cele două fracții obținute: \[ \frac{34}{100} < \frac{38}{100} \Rightarrow 34\% < \frac{19}{50} \]
