IV.1.4. Evaluează-te

a) Scrie toate fracțiile subunitare cu numitorul 65 și numărătorul o putere a lui 2.

Pasul 1: Definirea condiției pentru fracții subunitare

O fracție \( \frac{a}{b} \) este subunitară dacă numărătorul este mai mic decât numitorul (\( a < b \)). În cazul nostru, numitorul este \( 65 \), deci trebuie să găsim puterile lui \( 2 \) care sunt mai mici decât \( 65 \).

Pasul 2: Calcularea puterilor lui 2

Vom scrie șirul puterilor lui \( 2 \) până când obținem un număr mai mare sau egal cu \( 65 \):

• \( 2^0 = 1 \)
• \( 2^1 = 2 \)
• \( 2^2 = 4 \)
• \( 2^3 = 8 \)
• \( 2^4 = 16 \)
• \( 2^5 = 32 \)
• \( 2^6 = 64 \)
• \( 2^7 = 128 \) (este mai mare decât \( 65 \), deci ne oprim)

Pasul 3: Scrierea fracțiilor

Fracțiile cerute sunt: \[ \frac{1}{65}; \frac{2}{65}; \frac{4}{65}; \frac{8}{65}; \frac{16}{65}; \frac{32}{65}; \frac{64}{65} \]

b) Scrie toate fracțiile supraunitare cu numărătorul \( 2^3 \) și numitorul număr natural, divizor al lui 36.

Pasul 1: Calcularea numărătorului și a condiției

Numărătorul este \( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \). O fracție este supraunitară dacă numărătorul este mai mare decât numitorul (\( a > b \)). Așadar, trebuie să găsim divizorii lui \( 36 \) care sunt mai mici decât \( 8 \).

Pasul 2: Determinarea divizorilor lui 36

Divizorii numărului \( 36 \) sunt: \( D_{36} = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\} \).

Pasul 3: Selectarea divizorilor potriviți și scrierea fracțiilor

Dintre aceștia, divizorii mai mici decât \( 8 \) sunt: \( 1, 2, 3, 4, 6 \). Fracțiile sunt: \[ \frac{8}{1}; \frac{8}{2}; \frac{8}{3}; \frac{8}{4}; \frac{8}{6} \]

c) Scrie toate fracțiile echiunitare cu numitorul cel mult 5.

Pasul 1: Definirea condiției pentru fracții echiunitare

O fracție este echiunitară dacă numărătorul este egal cu numitorul (\( a = b \)). De asemenea, numitorul trebuie să fie diferit de zero.

Pasul 2: Identificarea valorilor pentru numitor

Numitorul poate fi orice număr natural "cel mult 5", deci valorile posibile sunt: \( \{1, 2, 3, 4, 5\} \).

Pasul 3: Scrierea fracțiilor

Pentru fiecare numitor, numărătorul va fi identic: \[ \frac{1}{1}; \frac{2}{2}; \frac{3}{3}; \frac{4}{4}; \frac{5}{5} \]

a) \( a < 65, a = 2^n \Rightarrow a \in \{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64\} \). Fracții: \( \frac{1}{65}, \frac{2}{65}, \frac{4}{65}, \frac{8}{65}, \frac{16}{65}, \frac{32}{65}, \frac{64}{65} \). b) \( 2^3 = 8 \). \( 8 > b, b \in D_{36} \Rightarrow b \in \{1, 2, 3, 4, 6\} \). Fracții: \( \frac{8}{1}, \frac{8}{2}, \frac{8}{3}, \frac{8}{4}, \frac{8}{6} \). c) \( a = b, b \in \{1, 2, 3, 4, 5\} \). Fracții: \( \frac{1}{1}, \frac{2}{2}, \frac{3}{3}, \frac{4}{4}, \frac{5}{5} \).