Copertă

V.2. Rezolvă

Rezolvări + Recapitulare

Lecția V.2 conține următoarele grupuri de exerciții:

V.2. Rezolvă V.2. Evaluează-te

Alege rezolvarea exercițiului:

Exercițiul 1 (gratuit)

Rezolvare scurtă

a)

\( 2,6 < 2,9 \)

b)

\( 31,5 = 31,50 < 31,54 \)

c)

\( 0,45 = 0,450 > 0,405 \)

d)

\( 709,25 < 790,35 \)

e)

\( 12,29 = 12,290 < 12,299 \)

f)

\( 0,404 < 0,444 \)

Rezolvare detaliată

Reguli generale pentru compararea fracțiilor zecimale

Pentru a compara două fracții zecimale, urmăm acești pași: 1. Comparăm părțile întregi. Fracția cu partea întreagă mai mare este mai mare. 2. Dacă părțile întregi sunt egale, comparăm părțile zecimale cifră cu cifră, de la stânga la dreapta (zecimi, sutimi, miimi). 3. Putem adăuga zerouri la sfârșitul părții zecimale pentru a avea același număr de cifre, facilitând comparația.

a) \( 2,6 \square 2,9 \)

Părțile întregi sunt egale (\( 2 = 2 \)). Comparăm prima cifră de după virgulă (zecimile): \( 6 < 9 \). Prin urmare, \( 2,6 < 2,9 \).

b) \( 31,5 \square 31,54 \)

Părțile întregi sunt egale (\( 31 = 31 \)). Completăm primul număr cu un zero pentru a avea același număr de zecimale: \( 31,50 \square 31,54 \). Comparăm sutimile: \( 0 < 4 \). Prin urmare, \( 31,5 < 31,54 \).

c) \( 0,45 \square 0,405 \)

Părțile întregi sunt egale (\( 0 = 0 \)). Adăugăm un zero la primul număr: \( 0,450 \square 0,405 \). Comparăm cifrele: la zecimi avem \( 4 = 4 \), dar la sutimi avem \( 5 > 0 \). Prin urmare, \( 0,45 > 0,405 \).

d) \( 709,25 \square 790,35 \)

Comparăm mai întâi părțile întregi: \( 709 \) și \( 790 \). Deoarece \( 709 < 790 \), întreaga fracție este mai mică. Prin urmare, \( 709,25 < 790,35 \).

e) \( 12,29 \square 12,299 \)

Părțile întregi sunt egale (\( 12 = 12 \)). Adăugăm un zero la primul număr: \( 12,290 \square 12,299 \). Cifrele zecimilor și sutimilor sunt identice, dar la miimi avem \( 0 < 9 \). Prin urmare, \( 12,29 < 12,299 \).

f) \( 0,404 \square 0,444 \)

Părțile întregi sunt egale (\( 0 = 0 \)). Comparăm zecimile: \( 4 = 4 \). Comparăm sutimile: \( 0 < 4 \). Prin urmare, \( 0,404 < 0,444 \).

Rezolvare pe scurt:

a) \( 2,6 < 2,9 \); b) \( 31,5 = 31,50 < 31,54 \); c) \( 0,45 = 0,450 > 0,405 \); d) \( 709 < 790 \Rightarrow 709,25 < 790,35 \); e) \( 12,29 = 12,290 < 12,299 \); f) \( 0,404 < 0,444 \).

Cele mai importante aspecte ale lecției

Comparare: Se analizează partea întreagă, apoi zecimile de la stânga la dreapta (Exemplu: \( 12,45 > 12,42 \)).
Aproximare prin lipsă: Se șterg cifrele după ordinul dorit (Exemplu: lipsă la sutimi pentru \( 1,237 \) este \( 1,23 \)).
Aproximare prin adaos: Se adaugă o unitate la ultima cifră din aproximarea prin lipsă (Exemplu: adaos la sutimi pentru \( 1,237 \) este \( 1,24 \)).
Rotunjire: Dacă prima cifră eliminată este \( < 5 \), se face aproximare prin lipsă. Dacă este \( \ge 5 \), se face aproximare prin adaos (Exemplu: \( 1,237 \) rotunjit la sutimi este \( 1,24 \), iar \( 1,231 \) rotunjit la sutimi este \( 1,23 \)).
Reprezentare pe axă: Încadrăm numărul între două numere întregi și divizăm segmentul unitate în 10 părți egale.
Pentru a compara două fracții zecimale, se analizează mai întâi părțile lor întregi, iar dacă acestea sunt egale, se compară cifrele zecimale de la stânga la dreapta.
Reguli de comparare:
  • Dintre două fracții zecimale cu părți întregi diferite, este mai mare cea care are partea întreagă mai mare.
  • Dacă părțile întregi sunt egale, se compară cifrele zecimale de pe aceeași poziție (zecimi, sutimi, miimi etc.), de la stânga la dreapta, până când se găsesc două cifre diferite. Fracția cu cifra mai mare pe acea poziție este mai mare.
  • \( 26,12 > 23,34 \), deoarece partea întreagă \( 26 > 23 \).
  • \( 26,34 > 26,12 \), deoarece părțile întregi sunt egale (\(26 = 26\)), iar la zecimi avem \( 3 > 1 \).
  • \( 39,132 > 39,12 \), deoarece părțile întregi și zecimile sunt egale, iar la sutimi avem \( 3 > 2 \).
A ordona un șir de fracții zecimale înseamnă a le scrie în ordine:
  • crescătoare (de la cel mai mic la cel mai mare număr);
  • descrescătoare (de la cel mai mare la cel mai mic număr).
Comparați numerele \( 123,456 \) și \( 123,432 \).
Părțile întregi sunt egale (\( 123 = 123 \)).
Comparăm zecimile: ambele au cifra \( 4 \).
Comparăm sutimile: prima fracție are cifra \( 5 \), iar a doua are cifra \( 3 \).
Deoarece \( 5 > 3 \), rezultă că: \[ 123,456 > 123,432 \]
Aproximarea reprezintă înlocuirea unui număr cu o valoare apropiată de acesta, la un anumit ordin de mărime (zecimi, sutimi, miimi etc.).
Tipuri de aproximări:
  • Aproximarea prin lipsă la un anumit ordin se obține prin eliminarea tuturor cifrelor aflate la dreapta acelui ordin.
  • Aproximarea prin adaos la un anumit ordin se obține prin mărirea cu o unitate a ultimei cifre a aproximării prin lipsă la ordinul respectiv.
Pentru numărul \( 13,3865 \):
  • La zecimi:
    • Aproximarea prin lipsă: \( 13,3 \)
    • Aproximarea prin adaos: \( 13,4 \)
  • La sutimi:
    • Aproximarea prin lipsă: \( 13,38 \)
    • Aproximarea prin adaos: \( 13,39 \)
Determinați aproximarea prin lipsă și prin adaos la sutimi a numărului \( 0,7153 \).
  • Prin lipsă la sutimi: Păstrăm doar primele două cifre de după virgulă (sutimile) și le ștergem pe restul: \( 0,71 \).
  • Prin adaos la sutimi: Mărim cifra sutimilor cu o unitate: \( 0,71 + 0,01 = 0,72 \).
Rotunjirea este aproximarea (prin lipsă sau prin adaos) cea mai apropiată de valoarea reală a numărului.
Identificăm ordinul la care se face rotunjirea și privim prima cifră aflată la dreapta acestuia.
Dacă această cifră este mai mică decât 5 (\(0, 1, 2, 3, 4\)), realizăm aproximarea prin lipsă (cifra ordinului de rotunjire rămâne neschimbată, restul cifrelor din dreapta se elimină).
Dacă această cifră este mai mare sau egală cu 5 (\(5, 6, 7, 8, 9\)), realizăm aproximarea prin adaos (cifra ordinului de rotunjire se mărește cu o unitate, restul cifrelor din dreapta se elimină).
Exemple de aproximări și rotunjiri:
Fracția zecimală Ordinul Aproximare prin lipsă Aproximare prin adaos Rotunjire
\( 13,3865 \) zecimi \( 13,3 \) \( 13,4 \) \( 13,4 \) (cifra din dreapta zecimilor este \( 8 \ge 5 \))
\( 0,7153 \) sutimi \( 0,71 \) \( 0,72 \) \( 0,72 \) (cifra din dreapta sutimilor este \( 5 \ge 5 \))
\( 3,9189 \) zecimi \( 3,9 \) \( 4,0 \) \( 3,9 \) (cifra din dreapta zecimilor este \( 1 < 5 \))
Rotunjiți numărul \( 4,5639 \) la sutimi.
Cifra de la ordinul sutimilor este \( 6 \) (din \( 4,5\underline{6}39 \)).
Prima cifră din dreapta ei (la miimi) este \( 3 \).
Deoarece \( 3 < 5 \), facem aproximare prin lipsă (cifra sutimilor rămâne neschimbată): \[ 4,5639 \approx 4,56 \]
Pentru a reprezenta o fracție zecimală cu o singură zecimală \( \overline{a,b} \) pe axa numerelor, o încadrăm între numerele naturale consecutive \( a \) și \( a+1 \).
Împărțim segmentul unitate dintre numerele naturale \( a \) și \( a+1 \) în 10 părți egale (fiecare parte reprezentând o zecime, adică \( 0,1 \)).
Numărăm, de la stânga la dreapta (în sens pozitiv), \( b \) diviziuni după numărul \( a \).
Reprezentarea numărului \( 2,7 \): Numărul \( 2,7 \) se află între numerele naturale \( 2 \) și \( 3 \). Împărțim segmentul dintre \( 2 \) și \( 3 \) în 10 părți egale și fixăm punctul la a șaptea gradație după \( 2 \). O axă a numerelor marcată cu numerele naturale 1, 2 și 3. Segmentul dintre 2 și 3 este divizat în 10 unități egale (zecimi). Punctul corespunzător valorii 2,7 este marcat la a șaptea gradație după numărul 2.
Pentru a reprezenta numere cu două sau mai multe zecimale, se recomandă rotunjirea acestora la zecimi înainte de plasarea pe axă pentru a evita divizarea segmentelor în 100 sau 1000 de părți egale.

Probleme practice

Problema 1 (Ușoară): Ordonează crescător următoarele fracții zecimale finite: \[ 5,23; \quad 5,02; \quad 5,3; \quad 5,125 \]
Pentru a compara mai ușor fracțiile, le putem scrie cu același număr de zecimale, adăugând zerouri la sfârșit (valoarea lor nu se modifică):
  • \( 5,23 = 5,230 \)
  • \( 5,02 = 5,020 \)
  • \( 5,3 = 5,300 \)
  • \( 5,125 \)
Toate numerele au partea întreagă egală cu \( 5 \). Comparăm zecimile:
  • \( 5,020 \) are zecimea \( 0 \) (cel mai mic)
  • \( 5,125 \) are zecimea \( 1 \)
  • \( 5,230 \) are zecimea \( 2 \)
  • \( 5,300 \) are zecimea \( 3 \) (cel mai mare)
Ordinea crescătoare este: \[ 5,02 < 5,125 < 5,23 < 5,3 \]
Problema 2 (Medie): Se dă numărul zecimal \( 24,9185 \). Determinați:
  1. Aproximarea prin lipsă la sutimi.
  2. Aproximarea prin adaos la zecimi.
  3. Rotunjirea la miimi.
  1. Aproximarea prin lipsă la sutimi: Se păstrează doar primele două zecimale: \( 24,91 \).
  2. Aproximarea prin adaos la zecimi: Aproximarea prin lipsă la zecimi este \( 24,9 \). Pentru adaos, mărim cifra zecimilor cu 1: \( 24,9 + 0,1 = \) \( 25,0 \).
  3. Rotunjirea la miimi: Cifra de la ordinul miimilor este \( 8 \) (din \( 24,91\underline{8}5 \)). Cifra din dreapta ei este \( 5 \). Deoarece este \(\ge 5\), facem aproximare prin adaos la miimi, mărind cifra miimilor cu o unitate: \( 24,918 + 0,001 = \) \( 24,919 \).
Problema 3 (Dificilă): Determinați câte numere naturale \( n \) verifică relația: \[ 3,7 < \frac{n}{100} < 4,25 \]
Scriem fracțiile zecimale sub formă de fracții ordinare cu numitorul 100: \[ 3,7 = \frac{37}{10} = \frac{370}{100} \] \[ 4,25 = \frac{425}{100} \] Înlocuim în inegalitatea dată: \[ \frac{370}{100} < \frac{n}{100} < \frac{425}{100} \] Deoarece numitorii sunt egali, putem compara doar numărătorii: \[ 370 < n < 425 \] Numerele naturale \( n \) care îndeplinesc această condiție sunt: \[ 371, 372, 373, \dots, 424 \] Numărul total de valori pentru \( n \) este: \[ 424 - 371 + 1 = 54 \text{ de numere} \] Răspuns: Sunt \( 54 \) de numere naturale care verifică relația.

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

17977 rezolvări

932 lecții și teste

Иконка Математика

Fizică

572 rezolvări

394 lecții și teste

Иконка Физика
Clasa a 6-a

Chimie

29 rezolvări

214 lecții și teste

Иконка Химия

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text
Află mai multe