Cele mai importante aspecte ale lecției
- Împărțirea la puteri ale lui 10: Se mută virgula spre stânga peste atâtea cifre câte zerouri are împărțitorul. Exemplu: \(35 : 100 = 0,35\).
- Fracție zecimală finită: Apare când numitorul are ca divizori primi doar pe 2 și/sau 5. Exemplu: \(\frac{3}{20} = 0,15\).
- Fracție periodică simplă: Perioada începe imediat după virgulă. Exemplu: \(\frac{2}{3} = 0,(6)\).
- Fracție periodică mixtă: Există cel puțin o cifră neperiodică între virgulă și perioadă. Exemplu: \(\frac{7}{6} = 1,1(6)\).
- Media aritmetică: Reprezintă suma numerelor împărțită la numărul lor. Exemplu: Media numerelor \(10\) și \(15\) este \(\frac{10+15}{2} = 12,5\).
Orice număr natural se poate scrie ca o fracție zecimală adăugând o virgulă și zerouri la sfârșit (de exemplu, \( 17 = 17,0 \) sau \( 123 = 123,0 \)).
Pentru a împărți un număr natural la o putere a lui 10 (\(10, 100, 1\ 000, \dots\)), se mută virgula spre stânga peste un număr de cifre egal cu numărul de zerouri. Dacă nu sunt suficiente cifre la stânga, se completează cu zerouri.
- \( 125 : 10 = 12,5 \) (virgula se mută cu o poziție spre stânga)
- \( 332 : 100 = 3,32 \) (virgula se mută cu două poziții spre stânga)
- \( 12 : 1\ 000 = 0,012 \) (se completează cu zerouri la stânga)
- \( 234 : 100\ 000 = 0,00234 \) (virgula se mută cu 5 poziții spre stânga)
Se efectuează împărțirea numerelor ca la numerele naturale.
Dacă împărțirea nu este exactă, se pune virgulă după deîmpărțit și se adaugă zerouri (de exemplu, \( 346 \) devine \( 346,0 \)).
Se pune virgula și la cât, apoi se continuă împărțirea în mod obișnuit, coborând zerourile adăugate după virgulă.
Calculul pentru \( 346 : 5 \):
\[ 346 : 5 = 69,2 \]
O fracție ordinară se transformă în fracție zecimală prin împărțirea numărătorului la numitor.
Dacă o fracție ordinară ireductibilă are la numitor doar divizori ai lui 2 și/sau ai lui 5, prin împărțirea numărătorului la numitor se obține o fracție zecimală finită (cu un număr limitat de zecimale).
- \(\frac{3}{8} = 3 : 8 = 3 : 2^3 = 0,375\)
- \(\frac{8}{25} = 8 : 25 = 8 : 5^2 = 0,32\)
- \(\frac{41}{50} = 41 : 50 = 41 : (2 \cdot 5^2) = 0,82\)
Dacă împărțirea nu se termină și o cifră sau un grup de cifre se repetă la infinit, numărul obținut se numește fracție zecimală periodică. Grupul de cifre care se repetă reprezintă perioada și se scrie între paranteze rotunde.
Fracție periodică simplă: Perioada începe imediat după virgulă. Se obține atunci când numitorul fracției ordinare ireductibile nu se divide nici cu 2, nici cu 5.
- \(1 : 3 = \frac{1}{3} = 0,333\dots = 0,(3)\) (citit „0 virgulă perioadă 3”)
- \(35 : 27 = \frac{35}{27} = 1,296296\dots = 1,(296)\)
Fracție periodică mixtă: Perioada nu începe imediat după virgulă (există cifre neperiodice între virgulă și perioadă). Se obține atunci când numitorul fracției ordinare ireductibile are cel puțin un divizor prim în afară de 2 și 5, dar se divide și cu 2 sau cu 5.
- \(25 : 6 = \frac{25}{6} = 4,1666\dots = 4,1(6)\) (citit „4 virgulă 1 perioadă 6”)
- \(8 : 15 = \frac{8}{15} = 0,5333\dots = 0,5(3)\)
Media aritmetică a mai multor numere este egală cu suma acestora împărțită la numărul lor.
Pentru două numere \(a\) și \(b\):
\[ m_a = \frac{a+b}{2} \]
Pentru trei numere \(a\), \(b\) și \(c\):
\[ m_a = \frac{a+b+c}{3} \]
În general, pentru \(n\) numere:
\[ m_a = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} \]
Media aritmetică a numerelor 8, 10 și 13 este:
\[ m_a = \frac{8+10+13}{3} = \frac{31}{3} = 10,(3) \]
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Efectuați împărțirea \(27 : 4\) și scrieți rezultatul sub formă de fracție zecimală.
Efectuăm împărțirea în scris:
\(27 : 4 = 6\) rest \(3\).
Adăugăm virgulă la cât și coborâm un zero: \(30 : 4 = 7\) rest \(2\).
Coborâm încă un zero: \(20 : 4 = 5\) rest \(0\).
Rezultatul este o fracție zecimală finită: \[ 27 : 4 = 6,75 \]
\(27 : 4 = 6\) rest \(3\).
Adăugăm virgulă la cât și coborâm un zero: \(30 : 4 = 7\) rest \(2\).
Coborâm încă un zero: \(20 : 4 = 5\) rest \(0\).
Rezultatul este o fracție zecimală finită: \[ 27 : 4 = 6,75 \]
Problema 2 (Medie): Transformați fracțiile ordinare \(\frac{7}{6}\) și \(\frac{11}{20}\) în fracții zecimale și specificați tipul fiecăreia (finită, periodică simplă sau periodică mixtă).
1. Pentru \(\frac{7}{6}\), efectuăm \(7 : 6\):
\(7 : 6 = 1,1666\dots = 1,1(6)\).
Deoarece perioada nu începe imediat după virgulă (avem cifra 1 înaintea perioadei), este o fracție zecimală periodică mixtă.
2. Pentru \(\frac{11}{20}\), efectuăm \(11 : 20\):
\(11 : 20 = 0,55\).
Deoarece împărțirea se termină (restul devine 0), este o fracție zecimală finită (numitorul \(20 = 2^2 \cdot 5\) are ca divizori primi doar pe 2 și 5).
\(7 : 6 = 1,1666\dots = 1,1(6)\).
Deoarece perioada nu începe imediat după virgulă (avem cifra 1 înaintea perioadei), este o fracție zecimală periodică mixtă.
2. Pentru \(\frac{11}{20}\), efectuăm \(11 : 20\):
\(11 : 20 = 0,55\).
Deoarece împărțirea se termină (restul devine 0), este o fracție zecimală finită (numitorul \(20 = 2^2 \cdot 5\) are ca divizori primi doar pe 2 și 5).
Problema 3 (Dificilă): Media aritmetică a patru numere este \(32,52\). Știind că media aritmetică a ultimelor trei numere este \(29,16\), aflați primul număr.
Notăm cele patru numere cu \(a, b, c, d\).
Din formula mediei aritmetice a celor patru numere, avem: \[ \frac{a+b+c+d}{4} = 32,52 \implies a+b+c+d = 32,52 \cdot 4 = 130,08 \] Din formula mediei aritmetice a ultimelor trei numere, avem: \[ \frac{b+c+d}{3} = 29,16 \implies b+c+d = 29,16 \cdot 3 = 87,48 \] Pentru a-l afla pe \(a\), scădem suma ultimelor trei numere din suma tuturor celor patru numere: \[ a = (a+b+c+d) - (b+c+d) \] \[ a = 130,08 - 87,48 = 42,6 \] Răspuns: Primul număr este \(42,6\).
Din formula mediei aritmetice a celor patru numere, avem: \[ \frac{a+b+c+d}{4} = 32,52 \implies a+b+c+d = 32,52 \cdot 4 = 130,08 \] Din formula mediei aritmetice a ultimelor trei numere, avem: \[ \frac{b+c+d}{3} = 29,16 \implies b+c+d = 29,16 \cdot 3 = 87,48 \] Pentru a-l afla pe \(a\), scădem suma ultimelor trei numere din suma tuturor celor patru numere: \[ a = (a+b+c+d) - (b+c+d) \] \[ a = 130,08 - 87,48 = 42,6 \] Răspuns: Primul număr este \(42,6\).
