Cele mai importante aspecte ale lecției
Multiplu comun: Un număr \( m \) care se împarte exact la două sau mai multe numere date.
Exemplu practic: Autobuzele de pe linia A pleacă din 15 în 15 minute, iar cele de pe linia B din 20 în 20 de minute. Ele vor pleca simultan la intervale care sunt multipli comuni ai numerelor 15 și 20.
Multiplii lui 15: 0, 15, 30, 45, 60, 75...
Multiplii lui 20: 0, 20, 40, 60, 80...
Primul moment de plecare simultană (după startul comun de la ora 0) va fi după 60 de minute (1 oră).
Exemplu practic: Autobuzele de pe linia A pleacă din 15 în 15 minute, iar cele de pe linia B din 20 în 20 de minute. Ele vor pleca simultan la intervale care sunt multipli comuni ai numerelor 15 și 20.
Multiplii lui 15: 0, 15, 30, 45, 60, 75...
Multiplii lui 20: 0, 20, 40, 60, 80...
Primul moment de plecare simultană (după startul comun de la ora 0) va fi după 60 de minute (1 oră).
Un număr natural \( m \) este multiplu comun a două numere naturale \( a \) și \( b \) dacă \( m \) se împarte exact la ambele numere (adică \( m \vdots a \) și \( m \vdots b \)).
Mulțimea multiplilor unui număr \( a \) se notează cu \( \mathcal{M}_a \). Multiplii comuni ai numerelor \( a \) și \( b \) reprezintă elementele comune ale mulțimilor \( \mathcal{M}_a \) și \( \mathcal{M}_b \).
Numărul natural 0 este multiplu comun al tuturor numerelor naturale, deoarece \( 0 \) se împarte exact la orice număr natural nenul.
Multiplii comuni ai numerelor 12 și 18 se pot găsi scriind multiplii fiecărui număr:
Multiplii comuni nenuli ai lui 12 și 18 sunt: 36, 72, 108, ...
| \( \mathcal{M}_{12} \) | 0 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( \mathcal{M}_{18} \) | 0 | 18 | 36 | 54 | 72 | 90 | 108 | 126 | 144 | ... |
Scrieți, în ordine crescătoare, multiplii primului număr (începând cu 0).
Scrieți, în ordine crescătoare, multiplii celui de-al doilea număr.
Identificați numerele care apar în ambele liste. Acestea reprezintă multiplii comuni.
Scrieți multiplii mai mici decât 75 ai numerelor 6 și 9, apoi selectați multiplii lor comuni.
- Multiplii lui 6 mai mici decât 75: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72.
- Multiplii lui 9 mai mici decât 75: 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72.
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Verificați dacă numărul 814 este un multiplu comun al numerelor 37 și 11.
Pentru ca 814 să fie multiplu comun, el trebuie să se împartă exact la ambele numere:
- \( 814 : 37 = 22 \) (rest 0) \(\Rightarrow 814 \vdots 37\)
- \( 814 : 11 = 74 \) (rest 0) \(\Rightarrow 814 \vdots 11\)
Problema 2 (Medie): Determinați cel mai mic număr nenul de bomboane care pot fi ambalate exact atât în cutii de câte 20 de bomboane, cât și în cutii de câte 25 de bomboane.
Trebuie să găsim cel mai mic multiplu comun nenul al numerelor 20 și 25:
Răspuns: Numărul minim de bomboane este 100.
- Multiplii nenuli ai lui 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, ...
- Multiplii nenuli ai lui 25: 25, 50, 75, 100, 125, ...
Răspuns: Numărul minim de bomboane este 100.
Problema 3 (Dificilă): Două becuri ale unui montaj electronic clipesc la intervale regulate de timp. Primul bec clipește din 6 în 6 secunde, iar al doilea din 8 în 8 secunde. Dacă la început se aprind simultan, de câte ori se vor reaprinde simultan în decurs de 3 minute? (Nu se ia în calcul aprinderea inițială).
- Becurile se vor reaprinde simultan la intervale de timp care reprezintă multipli comuni ai numerelor 6 și 8.
- Multiplii lui 6 (secunde): 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...
- Multiplii lui 8 (secunde): 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...
- Transformăm intervalul total în secunde: \[ 3 \text{ minute} = 3 \cdot 60 = 180 \text{ secunde} \]
- Împărțim timpul total la intervalul de reaprindere comună: \[ 180 : 24 = 7 \text{ (rest 12)} \]
