III.3. Rezolvă

Analizarea problemei

Pentru a afla de câte ori se reaprind simultan cele două becuri, trebuie să determinăm momentele de timp care sunt multipli comuni ai intervalelor de clipire: \( 6 \) secunde și \( 8 \) secunde. Vom căuta acești multipli în intervalul de timp total dat, care este de \( 3 \) minute.

Transformarea unităților de măsură

Deoarece intervalele de clipire sunt exprimate în secunde, vom transforma timpul total din minute în secunde: \[ 1 \text{ minut} = 60 \text{ secunde} \] \[ 3 \text{ minute} = 3 \cdot 60 = 180 \text{ secunde} \]

Determinarea multiplilor comuni

Vom scrie mulțimile multiplilor pentru fiecare număr până la limita de \( 180 \) secunde: \( \mathcal{M}_{6} = \{0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, \dots, 180\} \) \( \mathcal{M}_{8} = \{0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, \dots, 180\} \) Primul multiplu comun nenul este cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.). Îl calculăm prin intersectarea mulțimilor sau prin algoritmul învățat: \[ \begin{array}{ll|l} 6 & 8 & 2 \\ 3 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & \end{array} \] \[ [6, 8] = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24 \] Deci, becurile se reaprind simultan la fiecare \( 24 \) de secunde.

Calcularea numărului de reaprinderi

Multiplii comuni ai numerelor \( 6 \) și \( 8 \) sunt multiplii lui \( 24 \). Aceștia sunt: \[ \mathcal{M}_{6} \cap \mathcal{M}_{8} = \{0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168\} \] Observăm că următorul multiplu ar fi \( 168 + 24 = 192 \), care depășește limita de \( 180 \) de secunde. În enunț se precizează că inițial becurile sunt aprinse (momentul \( 0 \)), iar întrebarea este de câte ori se vor reaprinde simultan. Acest lucru înseamnă că nu vom număra momentul inițial (\( 0 \)). Numărăm momentele: \( 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168 \). Putem afla acest număr și prin împărțirea timpului total la intervalul comun: \[ 180 : 24 = 7 \text{ rest } 12 \]

Concluzie

În intervalul de \( 3 \) minute, cele două becuri se vor reaprinde simultan de \( 7 \) ori.

\[ 3 \text{ min} = 180 \text{ s} \] \[ \mathcal{M}_6 \cap \mathcal{M}_8 = \mathcal{M}_{24} \] \[ 180 : 24 = 7 \text{ r } 12 \] \[ \text{Reaprinderi: } \{24, 48, 72, 96, 120, 144, 168\} \Rightarrow 7 \text{ ori} \]