Cele mai importante aspecte ale lecției
- Înmulțirea unui număr natural cu o fracție: Se înmulțește doar numărătorul cu numărul respectiv: \( n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{b} \). Exemplu: \( 3 \cdot \frac{5}{16} = \frac{15}{16} \).
- Înmulțirea a două fracții ordinare: Se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei: \( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \). Exemplu: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{10}{21} \).
- Simplificarea: Pentru a calcula mai ușor, se recomandă simplificarea termenilor înainte de a efectua înmulțirile.
- Proprietăți: Înmulțirea fracțiilor este comutativă, asociativă, distributivă față de adunare/scădere și are pe \( 1 \) ca element neutru.
- Fracții diadice: Sunt fracțiile cu numitorul putere a lui 2 (ex. \( \frac{3}{4} \)). Suma, diferența și produsul lor sunt tot fracții diadice.
Prin înmulțirea unui număr natural cu o fracție ordinară se înțelege adunarea repetată a acelei fracții de un număr de ori egal cu numărul natural dat. Rezultatul este o fracție în care numărătorul se înmulțește cu numărul natural, iar numitorul rămâne neschimbat.
\[ n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{b} \]
pentru orice numere naturale \( a, n \) și \( b \neq 0 \)
- \( 7 \cdot \frac{3}{25} = \frac{7 \cdot 3}{25} = \frac{21}{25} \)
- \( \frac{4}{15} \cdot 5 = \frac{4 \cdot 5}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \) (după simplificare prin \( 5 \))
Calculați produsul: \( 8 \cdot \frac{5}{12} \).
\( 8 \cdot \frac{5}{12} = \frac{8 \cdot 5}{12} = \frac{40}{12} \)
Simplificăm fracția obținută prin \( 4 \):
\( \frac{40}{12}^{(4} = \frac{10}{3} \)
Simplificăm fracția obținută prin \( 4 \):
\( \frac{40}{12}^{(4} = \frac{10}{3} \)
Produsul a două fracții ordinare este o fracție care are ca numărător produsul numărătorilor celor două fracții, iar ca numitor produsul numitorilor acestora.
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \]
pentru orice numere naturale \( a, b, c, d \), unde \( b \neq 0 \) și \( d \neq 0 \)
Reprezentare grafică: Pentru a vizualiza înmulțirea \( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \), putem folosi un model geometric:
Din totalul de \( 4 \cdot 2 = 8 \) părți egale obținute, zona dublu colorată reprezintă \( 3 \cdot 1 = 3 \) părți, adică \( \frac{3}{8} \).
Pentru a simplifica calculele, se recomandă efectuarea simplificărilor (atât pe verticală, cât și pe diagonală) înainte de a înmulți numărătorii și numitorii între ei.
Calculul produsului \( \frac{9}{8} \cdot \frac{4}{15} \) prin simplificare prealabilă:
Simplificăm pe diagonală \( 9 \) și \( 15 \) prin \( 3 \), iar \( 4 \) și \( 8 \) prin \( 4 \): \[ \frac{\not{9}^{3}}{\not{8}_{2}} \cdot \frac{\not{4}^{1}}{\not{15}_{5}} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} \]
Simplificăm pe diagonală \( 9 \) și \( 15 \) prin \( 3 \), iar \( 4 \) și \( 8 \) prin \( 4 \): \[ \frac{\not{9}^{3}}{\not{8}_{2}} \cdot \frac{\not{4}^{1}}{\not{15}_{5}} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} \]
Calculați produsul: \( \frac{14}{25} \cdot \frac{10}{21} \).
Simplificăm pe diagonală înainte de înmulțire:
- \( 14 \) și \( 21 \) se simplifică prin \( 7 \) (rămân \( 2 \) și \( 3 \))
- \( 10 \) și \( 25 \) se simplifică prin \( 5 \) (rămân \( 2 \) și \( 5 \))
Înmulțirea fracțiilor ordinare moștenește toate proprietățile înmulțirii numerelor naturale:
- Comutativitatea: Ordinea factorilor nu modifică produsul. \[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b} \]
- Asociativitatea: Gruparea factorilor nu modifică rezultatul. \[ \left( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \right) \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot \left( \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f} \right) \]
- Numărul 1 este element neutru: Orice fracție înmulțită cu 1 rămâne neschimbată. \[ \frac{a}{b} \cdot 1 = 1 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b} \]
- Distributivitatea față de adunare și scădere: \[ \frac{e}{f} \cdot \left( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right) = \frac{e}{f} \cdot \frac{a}{b} + \frac{e}{f} \cdot \frac{c}{d} \] \[ \frac{e}{f} \cdot \left( \frac{a}{b} - \frac{c}{d} \right) = \frac{e}{f} \cdot \frac{a}{b} - \frac{e}{f} \cdot \frac{c}{d} \]
Calcul rapid folosind distributivitatea (factor comun):
\[ \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{7} + \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{7} = \frac{5}{9} \cdot \left( \frac{3}{7} + \frac{4}{7} \right) = \frac{5}{9} \cdot \frac{7}{7} = \frac{5}{9} \cdot 1 = \frac{5}{9} \]
O fracție diadică este o fracție ordinară al cărei numitor este o putere a lui 2.
\[ \frac{a}{2^n} \]
unde \( a, n \) sunt numere naturale
Suma, diferența și produsul oricăror două fracții diadice va genera întotdeauna o altă fracție diadică.
Fracțiile \( \frac{5}{4} \) (deoarece \( 4 = 2^2 \)) și \( \frac{3}{2} \) (deoarece \( 2 = 2^1 \)) sunt fracții diadice.
Produsul lor: \[ \frac{5}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{8} \] Rezultatul \( \frac{15}{8} \) este o fracție diadică deoarece numitorul său, 8, este o putere a lui 2 (\( 8 = 2^3 \)).
Produsul lor: \[ \frac{5}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{8} \] Rezultatul \( \frac{15}{8} \) este o fracție diadică deoarece numitorul său, 8, este o putere a lui 2 (\( 8 = 2^3 \)).
Probleme practice
Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Efectuați înmulțirea: \( 12 \cdot \frac{5}{36} \). Scrieți rezultatul sub formă de fracție ireductibilă.
Efectuați înmulțirea: \( 12 \cdot \frac{5}{36} \). Scrieți rezultatul sub formă de fracție ireductibilă.
Aplicăm regula de înmulțire a unui număr natural cu o fracție:
\[ 12 \cdot \frac{5}{36} = \frac{12 \cdot 5}{36} = \frac{60}{36} \]
Simplificăm fracția prin cel mai mare divizor comun al numerelor 60 și 36, care este 12:
\[ \frac{60}{36}^{(12} = \frac{5}{3} \]
Răspuns: \( \frac{5}{3} \)
Problema 2 (Dificultate: Medie)
Calculați produsul fracțiilor: \( \frac{18}{35} \cdot \frac{14}{27} \), efectuând simplificările corespunzătoare înainte de înmulțire.
Calculați produsul fracțiilor: \( \frac{18}{35} \cdot \frac{14}{27} \), efectuând simplificările corespunzătoare înainte de înmulțire.
Identificăm simplificările pe diagonală:
Răspuns: \( \frac{4}{15} \)
- Numerele \( 18 \) și \( 27 \) se divid cu \( 9 \) (rămân \( 2 \) și respectiv \( 3 \)).
- Numerele \( 14 \) și \( 35 \) se divid cu \( 7 \) (rămân \( 2 \) și respectiv \( 5 \)).
Răspuns: \( \frac{4}{15} \)
Problema 3 (Dificultate: Dificilă)
Calculați rezultatul expresiei de mai jos folosind proprietatea de distributivitate a înmulțirii: \[ \frac{8}{13} \cdot \frac{19}{11} - \frac{8}{13} \cdot \frac{8}{11} \]
Calculați rezultatul expresiei de mai jos folosind proprietatea de distributivitate a înmulțirii: \[ \frac{8}{13} \cdot \frac{19}{11} - \frac{8}{13} \cdot \frac{8}{11} \]
Observăm că factorul \( \frac{8}{13} \) este comun în ambele produse. Îl dăm factor comun (aplicăm distributivitatea înmulțirii față de scădere):
\[ \frac{8}{13} \cdot \left( \frac{19}{11} - \frac{8}{11} \right) \]
Efectuăm mai întâi scăderea din paranteză:
\[ \frac{19}{11} - \frac{8}{11} = \frac{19 - 8}{11} = \frac{11}{11} = 1 \]
Acum înmulțim rezultatul cu factorul comun:
\[ \frac{8}{13} \cdot 1 = \frac{8}{13} \]
Răspuns: \( \frac{8}{13} \)
