IV.8.2. Rezolvă

Pentru a calcula produsul fracțiilor și a obține o formă ireductibilă, vom folosi regulile de înmulțire a numerelor naturale cu fracții și a fracțiilor între ele. Vom simplifica factorii comuni de la numărător și numitor înainte de a efectua înmulțirea finală.

a) \( 5 \cdot \frac{4}{15} \)

Înmulțim numărul natural cu numărătorul fracției și păstrăm numitorul: \[ 5 \cdot \frac{4}{15} = \frac{\cancel{5}^1 \cdot 4}{\cancel{15}_3} = \frac{1 \cdot 4}{3} = \frac{4}{3} \]

b) \( \frac{21}{70} \cdot \frac{42}{18} \)

Mai întâi, simplificăm fracțiile individual: \( \frac{21}{70} \) prin \( 7 \) și \( \frac{42}{18} \) prin \( 6 \). \[ \frac{21^{(7}}{70} \cdot \frac{42^{(6}}{18} = \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{3} \] Simplificăm pe diagonală numărătorul \( 3 \) cu numitorul \( 3 \): \[ \frac{\cancel{3}^1}{10} \cdot \frac{7}{\cancel{3}_1} = \frac{1 \cdot 7}{10 \cdot 1} = \frac{7}{10} \]

c) \( \frac{4}{15} \cdot \frac{60}{16} \cdot \frac{12}{20} \)

Simplificăm factorii comuni între oricare numărător și oricare numitor: \[ \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{15}_1} \cdot \frac{\cancel{60}^4}{\cancel{16}_4} \cdot \frac{12}{20} = \frac{1}{1} \cdot \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{1}} \cdot \frac{\cancel{12}^3}{\cancel{20}_5} \] \[ \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{1 \cdot 1 \cdot 5} = \frac{3}{5} \]

d) \( 2 \frac{3}{4} \cdot 1 \frac{5}{22} \)

Transformăm fracțiile mixte în fracții supraunitare: \[ 2 \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4} \] \[ 1 \frac{5}{22} = \frac{1 \cdot 22 + 5}{22} = \frac{27}{22} \] Înmulțim rezultatele și simplificăm prin \( 11 \): \[ \frac{\cancel{11}^1}{4} \cdot \frac{27}{\cancel{22}_2} = \frac{1 \cdot 27}{4 \cdot 2} = \frac{27}{8} \]

e) \( 9 \frac{2}{14} \cdot \frac{42}{128} \cdot 11 \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{68} \)

Simplificăm \( \frac{2}{14} = \frac{1}{7} \). Transformăm fracțiile mixte: \[ 9 \frac{1}{7} = \frac{64}{7}; \quad 11 \frac{1}{3} = \frac{34}{3} \] Expresia devine: \[ \frac{\cancel{64}^1}{\cancel{7}_1} \cdot \frac{\cancel{42}^6}{\cancel{128}_2} \cdot \frac{\cancel{34}^1}{\cancel{3}_1} \cdot \frac{\cancel{6}^2}{\cancel{68}_2} \] \[ \frac{1}{1} \cdot \frac{\cancel{6}^3}{\cancel{2}_1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{\cancel{2}^1}{\cancel{2}_1} = \frac{3}{1} = 3 \]

f) \( \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{21}{18} \)

Simplificăm \( 21 \) cu \( 7 \) și \( 3 \) cu \( 18 \): \[ \frac{\cancel{3}^1}{5} \cdot \frac{2}{\cancel{7}_1} \cdot \frac{\cancel{21}^3}{\cancel{18}_6} = \frac{1}{5} \cdot \frac{\cancel{2}^1}{1} \cdot \frac{3}{\cancel{6}_3} = \frac{1}{5} \cdot \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{3}_1} = \frac{1}{5} \]

g) \( \frac{2^{2}}{3^{2}} \cdot \frac{3}{24} \)

Calculăm puterile și simplificăm: \[ \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{24} = \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{9}_3} \cdot \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{24}_6} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 6} = \frac{1}{18} \]

h) \( \frac{2^{3} \cdot 3}{4 \cdot 5} \cdot \frac{2^{2} \cdot 3^{2}}{3 \cdot 7} \)

Calculăm puterile: \[ \frac{8 \cdot 3}{4 \cdot 5} \cdot \frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 7} \] Simplificăm factorii comuni \( 3 \) cu \( 3 \) și \( 4 \) cu \( 4 \): \[ \frac{8 \cdot \cancel{3}^1}{\cancel{4}_1 \cdot 5} \cdot \frac{\cancel{4}^1 \cdot 9}{\cancel{3}_1 \cdot 7} = \frac{8 \cdot 1}{1 \cdot 5} \cdot \frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 7} = \frac{8}{5} \cdot \frac{9}{7} = \frac{72}{35} \]

a)

\( \frac{5 \cdot 4}{15} = \frac{4}{3} \)

b)

\( \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{3} = \frac{7}{10} \)

c)

\( \frac{4}{15} \cdot \frac{60}{16} \cdot \frac{12}{20} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 12}{16 \cdot 20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \)

d)

\( \frac{11}{4} \cdot \frac{27}{22} = \frac{27}{8} \)

e)

\( \frac{64}{7} \cdot \frac{42}{128} \cdot \frac{34}{3} \cdot \frac{6}{68} = \frac{1}{1} \cdot \frac{6}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{2} = 3 \)

f)

\( \frac{6}{35} \cdot \frac{21}{18} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{5} \)

g)

\( \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{24} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18} \)

h)

\( \frac{8 \cdot 3}{20} \cdot \frac{4 \cdot 9}{21} = \frac{24}{20} \cdot \frac{36}{21} = \frac{6}{5} \cdot \frac{12}{7} = \frac{72}{35} \)