Cele mai importante aspecte ale lecției
Rezolvarea ecuației \( x^2 = a \):
• Dacă \( a < 0 \Rightarrow \) imposibil, \( S = \varnothing \) (ex: \( x^2 = -4 \)).
• Dacă \( a = 0 \Rightarrow \) o singură soluție, \( S = \{0\} \) (ex: \( x^2 = 0 \)).
• Dacă \( a > 0 \Rightarrow \) două soluții, calculate fie prin formula diferenței pătratelor \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), fie prin relația \( \sqrt{x^2} = |x| \). Astfel, \( S = \{-\sqrt{a}, \sqrt{a}\} \).
Atenție! Soluțiile finale trebuie întotdeauna să respecte domeniul de definiție cerut de problemă (\( \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \)).
• Dacă \( a < 0 \Rightarrow \) imposibil, \( S = \varnothing \) (ex: \( x^2 = -4 \)).
• Dacă \( a = 0 \Rightarrow \) o singură soluție, \( S = \{0\} \) (ex: \( x^2 = 0 \)).
• Dacă \( a > 0 \Rightarrow \) două soluții, calculate fie prin formula diferenței pătratelor \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), fie prin relația \( \sqrt{x^2} = |x| \). Astfel, \( S = \{-\sqrt{a}, \sqrt{a}\} \).
Atenție! Soluțiile finale trebuie întotdeauna să respecte domeniul de definiție cerut de problemă (\( \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \)).
Pentru a rezolva anumite ecuații, ne folosim de formula de calcul prescurtat numită diferența pătratelor. Diferența pătratelor a doi termeni este egală cu produsul dintre suma și diferența acestora.
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
\[ x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5) \]
O ecuație de forma \( x^2 = a \), unde \( a \) este un număr real, poate avea două soluții, o soluție unică sau nicio soluție, în funcție de semnul numărului \( a \).
Cazul 1: \( a < 0 \)
Ecuația nu are soluții. Deoarece pătratul oricărui număr real este nenegativ (\( x^2 \ge 0 \)), egalitatea cu un număr negativ este imposibilă. Scriem \( S = \varnothing \).
Ecuația nu are soluții. Deoarece pătratul oricărui număr real este nenegativ (\( x^2 \ge 0 \)), egalitatea cu un număr negativ este imposibilă. Scriem \( S = \varnothing \).
Cazul 2: \( a = 0 \)
Ecuația \( x^2 = 0 \) are o soluție unică: \( x = 0 \). Scriem \( S = \{0\} \).
Ecuația \( x^2 = 0 \) are o soluție unică: \( x = 0 \). Scriem \( S = \{0\} \).
Cazul 3: \( a > 0 \)
Ecuația are două soluții reale opuse: \( \sqrt{a} \) și \( -\sqrt{a} \). Scriem \( S = \{-\sqrt{a}, \sqrt{a}\} \).
Ecuația are două soluții reale opuse: \( \sqrt{a} \) și \( -\sqrt{a} \). Scriem \( S = \{-\sqrt{a}, \sqrt{a}\} \).
Oricare ar fi numărul real \( x \), are loc egalitatea: \( \sqrt{x^2} = |x| \).
Când \( a > 0 \), ecuația poate fi rezolvată prin două metode principale:
| 1. Metoda radicalului și a modulului | 2. Metoda descompunerii în factori |
|---|---|
| \[ x^2 = a \] Aplicăm radicalul: \[ \Leftrightarrow \sqrt{x^2} = \sqrt{a} \] Folosim modulul: \[ \Leftrightarrow |x| = \sqrt{a} \] Aflăm valorile: \[ \Leftrightarrow x = -\sqrt{a} \text{ sau } x = \sqrt{a} \] \[ S = \{-\sqrt{a}, \sqrt{a}\} \] | \[ x^2 = a \] Trecem termenii într-o parte: \[ \Leftrightarrow x^2 - (\sqrt{a})^2 = 0 \] Aplicăm diferența pătratelor: \[ \Leftrightarrow (x + \sqrt{a})(x - \sqrt{a}) = 0 \] Egalam fiecare factor cu zero: \[ \Leftrightarrow x + \sqrt{a} = 0 \text{ sau } x - \sqrt{a} = 0 \] \[ \Leftrightarrow x = -\sqrt{a} \text{ sau } x = \sqrt{a} \] \[ S = \{-\sqrt{a}, \sqrt{a}\} \] |
Este foarte important să fim atenți la mulțimea în care se cere rezolvarea ecuației (\( \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \) sau o altă submulțime a lui \( \mathbb{R} \)).
Rezolvăm ecuația considerând \( x \in \mathbb{R} \).
Verificăm dacă valorile obținute aparțin mulțimii cerute în problemă.
Păstrăm în mulțimea soluțiilor \( S \) doar valorile care respectă condiția de apartenență.
Rezolvăm \( x^2 = 7, x \in \mathbb{Q} \).
Din \( x^2 = 7 \Rightarrow x = \sqrt{7} \) sau \( x = -\sqrt{7} \).
Deoarece \( \sqrt{7} \) și \( -\sqrt{7} \) sunt numere iraționale, ele nu aparțin mulțimii numerelor raționale (\( \mathbb{Q} \)). Astfel, în \( \mathbb{Q} \), ecuația nu are soluții: \( S = \varnothing \).
Din \( x^2 = 7 \Rightarrow x = \sqrt{7} \) sau \( x = -\sqrt{7} \).
Deoarece \( \sqrt{7} \) și \( -\sqrt{7} \) sunt numere iraționale, ele nu aparțin mulțimii numerelor raționale (\( \mathbb{Q} \)). Astfel, în \( \mathbb{Q} \), ecuația nu are soluții: \( S = \varnothing \).
Probleme de antrenament
Ușoară: Rezolvați ecuația \( x^2 = 81 \), unde \( x \in \mathbb{R} \).
Folosim metoda radicalului și a modulului:
\[ x^2 = 81 \]
\[ \sqrt{x^2} = \sqrt{81} \]
\[ |x| = 9 \]
\[ x = 9 \text{ sau } x = -9 \]
Ambele numere aparțin mulțimii \( \mathbb{R} \).
Răspuns: \( S = \{-9, 9\} \)
Răspuns: \( S = \{-9, 9\} \)
Medie: Rezolvați ecuația \( (x - 2)^2 - 16 = 0 \), unde \( x \in \mathbb{Z} \).
Izolăm pătratul:
\[ (x - 2)^2 = 16 \]
Aplicăm radicalul:
\[ \sqrt{(x - 2)^2} = \sqrt{16} \]
\[ |x - 2| = 4 \]
Avem două cazuri:
1) \( x - 2 = 4 \Leftrightarrow x = 6 \)
2) \( x - 2 = -4 \Leftrightarrow x = -2 \)
Verificăm apartenența la \( \mathbb{Z} \): \( 6 \in \mathbb{Z} \) și \( -2 \in \mathbb{Z} \).
Răspuns: \( S = \{-2, 6\} \)
2) \( x - 2 = -4 \Leftrightarrow x = -2 \)
Verificăm apartenența la \( \mathbb{Z} \): \( 6 \in \mathbb{Z} \) și \( -2 \in \mathbb{Z} \).
Răspuns: \( S = \{-2, 6\} \)
Dificilă: Rezolvați ecuația \( (x + \sqrt{3})^2 - 3 = 0 \), unde \( x \in \mathbb{Q} \).
\[ (x + \sqrt{3})^2 = 3 \]
\[ \sqrt{(x + \sqrt{3})^2} = \sqrt{3} \]
\[ |x + \sqrt{3}| = \sqrt{3} \]
Cazul 1: \( x + \sqrt{3} = \sqrt{3} \Leftrightarrow x = \sqrt{3} - \sqrt{3} \Leftrightarrow x = 0 \)
Cazul 2: \( x + \sqrt{3} = -\sqrt{3} \Leftrightarrow x = -\sqrt{3} - \sqrt{3} \Leftrightarrow x = -2\sqrt{3} \)
Acum verificăm apartenența soluțiilor la mulțimea numerelor raționale (\( \mathbb{Q} \)):
Pentru \( x = 0 \), avem \( 0 \in \mathbb{Q} \) (se acceptă).
Pentru \( x = -2\sqrt{3} \), avem \( -2\sqrt{3} \notin \mathbb{Q} \) (este număr irațional, se respinge).
Răspuns: \( S = \{0\} \)
Cazul 2: \( x + \sqrt{3} = -\sqrt{3} \Leftrightarrow x = -\sqrt{3} - \sqrt{3} \Leftrightarrow x = -2\sqrt{3} \)
Acum verificăm apartenența soluțiilor la mulțimea numerelor raționale (\( \mathbb{Q} \)):
Pentru \( x = 0 \), avem \( 0 \in \mathbb{Q} \) (se acceptă).
Pentru \( x = -2\sqrt{3} \), avem \( -2\sqrt{3} \notin \mathbb{Q} \) (este număr irațional, se respinge).
Răspuns: \( S = \{0\} \)
