Cele mai importante aspecte ale lecției
Concepte fundamentale reținute:
- Ecuația de gradul întâi are forma generală \(ax + b = 0\), unde \(a\) și \(b\) sunt coeficienți, iar \(x\) este necunoscuta.
- Mutarea unui termen dintr-un membru în altul se face întotdeauna cu schimbarea semnului, rezultând o ecuație echivalentă (cu aceeași mulțime de soluții).
- Dacă \(a \neq 0\), ecuația are soluție unică: \(x = -\frac{b}{a}\).
- Dacă forma finală ajunge la \(0 = c\) (unde \(c \neq 0\)), ecuația nu are soluții (\(S = \varnothing\)). Dacă ajunge la \(0 = 0\), are o infinitate de soluții (\(S = \mathbb{R}\)).
Ecuația este o egalitate între două expresii care conțin una sau mai multe variabile (necunoscute).
Soluția unei ecuații este numărul care, pus în locul necunoscutei, face ca egalitatea să fie adevărată. A rezolva o ecuație înseamnă a găsi mulțimea tuturor soluțiilor sale (notată cu \(S\)).
Două ecuații se numesc ecuații echivalente dacă au exact aceeași mulțime de soluții.
Pentru ecuația \( 2x - 4 = 0 \):
Dacă înlocuim \(x\) cu \(2\), obținem \( 2 \cdot 2 - 4 = 0 \), ceea ce este adevărat. Deci, numărul \(2\) este soluție a ecuației.
Dacă înlocuim \(x\) cu \(2\), obținem \( 2 \cdot 2 - 4 = 0 \), ceea ce este adevărat. Deci, numărul \(2\) este soluție a ecuației.
Verificați dacă numărul \( x = 3 \) este soluție pentru ecuația \( 4x - 5 = 7 \).
Înlocuim \(x\) cu \(3\) în ecuație:
\( 4 \cdot 3 - 5 = 7 \)
\( 12 - 5 = 7 \)
\( 7 = 7 \) (Adevărat)
Răspuns: Da, \( x = 3 \) este soluție a ecuației.
Răspuns: Da, \( x = 3 \) este soluție a ecuației.
Ecuația de forma \( ax + b = 0 \), cu \( x \in \mathbb{R} \), unde \( a \) și \( b \) sunt numere reale date, iar \( a \neq 0 \), se numește ecuație de gradul întâi cu o necunoscută.
- Numerele \(a\) și \(b\) sunt coeficienții ecuației (\(a\) este coeficientul necunoscutei, iar \(b\) este termenul liber).
- Numărul real \(x\) este necunoscuta sau variabila ecuației.
Cazuri de rezolvare pentru \( ax + b = 0, x \in \mathbb{R} \):
1. Dacă \( a \neq 0 \): \[ ax + b = 0 \iff ax = -b \iff x = -\frac{b}{a} \] Ecuația are o singură soluție: \( S = \left\{ -\frac{b}{a} \right\} \).
2. Dacă \( a = 0 \) și \( b \neq 0 \): \[ 0 \cdot x + b = 0 \iff 0 = -b \] Egalitatea este falsă (absurdă). Ecuația nu are nicio soluție: \( S = \varnothing \).
3. Dacă \( a = 0 \) și \( b = 0 \): \[ 0 \cdot x + 0 = 0 \iff 0 = 0 \] Egalitatea este mereu adevărată. Orice număr real este soluție: \( S = \mathbb{R} \).
1. Dacă \( a \neq 0 \): \[ ax + b = 0 \iff ax = -b \iff x = -\frac{b}{a} \] Ecuația are o singură soluție: \( S = \left\{ -\frac{b}{a} \right\} \).
2. Dacă \( a = 0 \) și \( b \neq 0 \): \[ 0 \cdot x + b = 0 \iff 0 = -b \] Egalitatea este falsă (absurdă). Ecuația nu are nicio soluție: \( S = \varnothing \).
3. Dacă \( a = 0 \) și \( b = 0 \): \[ 0 \cdot x + 0 = 0 \iff 0 = 0 \] Egalitatea este mereu adevărată. Orice număr real este soluție: \( S = \mathbb{R} \).
Stabiliți coeficienții \(a\) și \(b\) și rezolvați ecuația: \( 3x - 12 = 0, x \in \mathbb{R} \).
Coeficienții sunt \( a = 3 \) și \( b = -12 \).
Deoarece \( a \neq 0 \), mutăm termenul liber în membrul drept cu semn schimbat: \[ 3x = 12 \] Împărțim la coeficientul lui \(x\): \[ x = \frac{12}{3} \implies x = 4 \] Răspuns: \( S = \{ 4 \} \).
Deoarece \( a \neq 0 \), mutăm termenul liber în membrul drept cu semn schimbat: \[ 3x = 12 \] Împărțim la coeficientul lui \(x\): \[ x = \frac{12}{3} \implies x = 4 \] Răspuns: \( S = \{ 4 \} \).
Pentru a rezolva o ecuație mai complexă ce poate fi adusă la forma \( ax + b = 0 \), se parcurg următorii pași logici:
Se desființează parantezele și se reduc termenii asemenea în fiecare membru al ecuației (dacă este cazul).
Se trec termenii care conțin necunoscuta într-un membru al ecuației, iar termenii liberi în celălalt membru. Atenție: La trecerea dintr-un membru în celălalt, semnul termenului se schimbă!
Se scot factorii comuni sau se efectuează calculele (reducerea termenilor asemenea) în ambii membri pentru a ajunge la forma \( ax = c \).
Se împarte fiecare membru al ecuației la coeficientul necunoscutei (dacă acesta este diferit de zero).
Se verifică dacă valoarea obținută aparține mulțimii în care se cere rezolvarea și se scrie mulțimea soluțiilor \(S\).
Rezolvați: \( 2(x - 3) = 5x + 9 \)
Pasul 1: Desfacem paranteza: \( 2x - 6 = 5x + 9 \)
Pasul 2: Mutăm termenii cu \(x\) în stânga și cei liberi în dreapta (cu semne schimbate): \( 2x - 5x = 9 + 6 \)
Pasul 3: Reducem termenii asemenea: \( -3x = 15 \)
Pasul 4: Împărțim la coeficientul lui \(x\) (adică -3): \( x = \frac{15}{-3} \implies x = -5 \)
Pasul 5: \( S = \{-5\} \)
Pasul 1: Desfacem paranteza: \( 2x - 6 = 5x + 9 \)
Pasul 2: Mutăm termenii cu \(x\) în stânga și cei liberi în dreapta (cu semne schimbate): \( 2x - 5x = 9 + 6 \)
Pasul 3: Reducem termenii asemenea: \( -3x = 15 \)
Pasul 4: Împărțim la coeficientul lui \(x\) (adică -3): \( x = \frac{15}{-3} \implies x = -5 \)
Pasul 5: \( S = \{-5\} \)
Exerciții
Nivel Ușor: Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: \( 5x + 20 = 0 \).
Mutăm termenul liber cu semn schimbat:
\[ 5x = -20 \]
Împărțim la coeficientul lui \(x\):
\[ x = \frac{-20}{5} \]
\[ x = -4 \]
Răspuns: \( S = \{-4\} \)
Nivel Mediu: Rezolvați ecuația echivalentă: \( 4x - 7 = x + 8, x \in \mathbb{R} \).
Trecem termenii cu necunoscută în stânga și termenii liberi în dreapta:
\[ 4x - x = 8 + 7 \]
Efectuăm calculele (reducerea termenilor asemenea):
\[ 3x = 15 \]
Împărțim la 3:
\[ x = \frac{15}{3} \]
\[ x = 5 \]
Răspuns: \( S = \{5\} \)
Nivel Dificil: Rezolvați ecuația în mulțimea numerelor reale: \( \sqrt{3}x - 2 = 2\sqrt{3}x - 5 \).
Mutăm termenii cu \(x\) într-un membru și cei liberi în celălalt:
\[ \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}x = -5 + 2 \]
Scoaterea factorului comun / reducerea termenilor:
\[ x(\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) = -3 \]
\[ -\sqrt{3}x = -3 \]
Împărțim egalitatea la \(-\sqrt{3}\):
\[ x = \frac{-3}{-\sqrt{3}} \]
Raționalizăm numitorul amplificând cu \( \sqrt{3} \):
\[ x = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \]
Răspuns: \( S = \{\sqrt{3}\} \)
