Cele mai importante aspecte ale lecției
Modelarea matematică transformă o problemă din limbaj natural într-o ecuație sau un sistem de ecuații.
Pașii fundamentali: Stabilirea necunoscutelor \(\rightarrow\) Formularea ecuațiilor \(\rightarrow\) Rezolvarea \(\rightarrow\) Interpretarea rezultatului.
Trucuri utile:
Pașii fundamentali: Stabilirea necunoscutelor \(\rightarrow\) Formularea ecuațiilor \(\rightarrow\) Rezolvarea \(\rightarrow\) Interpretarea rezultatului.
Trucuri utile:
- Pentru ecuații cu fracții, înmulțiți toată ecuația cu c.m.m.m.c.-ul numitorilor.
- La problemele cu amestecuri, scrieți mereu o relație pentru cantitatea totală și una pentru cantitatea de substanță/preț.
- Folosiți sisteme de ecuații (cu \( x \) și \( y \)) când vi se cer două mărimi diferite care respectă două condiții distincte.
Rezolvarea oricărei probleme matematice cu ajutorul ecuațiilor presupune parcurgerea ordonată a patru pași esențiali.
Alegerea necunoscutei (sau a necunoscutelor, în cazul sistemelor). Se notează de obicei cu \( x \), \( y \), etc.
Obținerea ecuației (sau a sistemului de ecuații). Presupune „traducerea” textului din limbajul natural în limbaj algebric matematic.
Rezolvarea ecuației sau a sistemului obținut pentru a afla valoarea necunoscutelor.
Interpretarea rezultatului. Se formulează răspunsul la cerința problemei și, de regulă, se efectuează proba (verificarea) în contextul problemei reale.
Exemplu simplu: „Dacă la 6 se adună de două ori un număr natural, se obține același rezultat ca atunci când se scade acest număr din 15”.
Traducere: \( 6 + 2x = 15 - x \), unde \( x \in \mathbb{N} \).
Rezolvare: \( 3x = 9 \implies x = 3 \).
Traducere: \( 6 + 2x = 15 - x \), unde \( x \in \mathbb{N} \).
Rezolvare: \( 3x = 9 \implies x = 3 \).
Scrieți ecuația corespunzătoare enunțului: „Triplul unui număr micșorat cu 4 este egal cu 17”, apoi aflați numărul.
1. Notăm numărul cu \( x \).
2. Obținem ecuația: \( 3x - 4 = 17 \).
3. Rezolvarea: \( 3x = 17 + 4 \implies 3x = 21 \implies x = 7 \).
4. Răspuns: Numărul este 7. (Proba: \( 3 \cdot 7 - 4 = 21 - 4 = 17 \)).
2. Obținem ecuația: \( 3x - 4 = 17 \).
3. Rezolvarea: \( 3x = 17 + 4 \implies 3x = 21 \implies x = 7 \).
4. Răspuns: Numărul este 7. (Proba: \( 3 \cdot 7 - 4 = 21 - 4 = 17 \)).
Cele mai multe probleme practice necesită exprimarea unor fracții sau procente dintr-un întreg necunoscut. Expresiile verbale trebuie transformate precis în operații matematice.
| Limbaj vorbit (Curent) | Limbaj algebric (Matematic) |
|---|---|
| O persoană a trăit un număr necunoscut de ani. | \( x \) |
| Copilăria a ținut o șesime din viață. | \( \frac{1}{6} \cdot x = \frac{x}{6} \) |
| Apoi a mai trăit o doisprezecime. | \( \frac{1}{12} \cdot x = \frac{x}{12} \) |
| A trăit jumătate din viața persoanei. | \( \frac{1}{2} \cdot x = \frac{x}{2} \) |
| Totalul perioadelor plus încă 9 ani reprezintă întreaga viață. | \( \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + ... + 9 = x \) |
Pentru a rezolva o ecuație cu numitori diferiți, se înmulțesc ambii membri ai ecuației cu cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al numitorilor, eliminând astfel fracțiile.
Un elev a cheltuit o treime din banii săi pe o carte și un sfert din suma inițială pe un caiet. I-au mai rămas 25 de lei. Câți bani a avut la început?
Fie \( x \) suma inițială.
Ecuația: \( \frac{x}{3} + \frac{x}{4} + 25 = x \)
Numitorul comun pentru 3 și 4 este 12. Înmulțim toată ecuația cu 12:
\( 4x + 3x + 300 = 12x \)
\( 7x + 300 = 12x \implies 5x = 300 \implies x = 60 \)
Răspuns: Elevul a avut 60 de lei.
Ecuația: \( \frac{x}{3} + \frac{x}{4} + 25 = x \)
Numitorul comun pentru 3 și 4 este 12. Înmulțim toată ecuația cu 12:
\( 4x + 3x + 300 = 12x \)
\( 7x + 300 = 12x \implies 5x = 300 \implies x = 60 \)
Răspuns: Elevul a avut 60 de lei.
Pentru problemele în care se amestecă două substanțe sau aliaje cu concentrații diferite, se egalează cantitatea de substanță activă (ex. carbon, sare) din componente cu cea din amestecul final.
\[ \text{Cantitate componentă 1} + \text{Cantitate componentă 2} = \text{Cantitate amestec total} \]
\[ \frac{p_1}{100} \cdot m_1 + \frac{p_2}{100} \cdot m_2 = \frac{p_f}{100} \cdot (m_1 + m_2) \]
unde \( p \) reprezintă procentul, iar \( m \) reprezintă masa (sau cantitatea).
Se amestecă 20 tone oțel (0,5% carbon) cu 5 tone fontă (5% carbon).
Cantitate totală: \( 20 + 5 = 25 \) tone. Fie \( x\% \) concentrația amestecului.
\( \frac{20 \cdot 0,5}{100} + \frac{5 \cdot 5}{100} = \frac{25 \cdot x}{100} \)
Se simplifică numitorul 100: \( 10 + 25 = 25x \implies 35 = 25x \implies x = 1,4 \).
Amestecul are 1,4% carbon.
Cantitate totală: \( 20 + 5 = 25 \) tone. Fie \( x\% \) concentrația amestecului.
\( \frac{20 \cdot 0,5}{100} + \frac{5 \cdot 5}{100} = \frac{25 \cdot x}{100} \)
Se simplifică numitorul 100: \( 10 + 25 = 25x \implies 35 = 25x \implies x = 1,4 \).
Amestecul are 1,4% carbon.
Când o problemă implică aflarea a două cantități necunoscute independente, este adesea mai ușor să folosim două necunoscute (\( x \) și \( y \)) și să formăm un sistem de două ecuații.
Exemplu (Amestec de lichide de densități diferite):
Avem lichidul A (densitate 113,5 g/l) și lichidul B (densitate 100 g/l). Vrem să obținem 100 litri amestec cu densitatea de 102,7 g/l.
Fie \( x \) = litri de lichid A, \( y \) = litri de lichid B.
Ecuația 1 (Volum): \( x + y = 100 \)
Ecuația 2 (Masă totală = Volum × Densitate): \( 113,5x + 100y = 100 \cdot 102,7 \)
Obținem sistemul: \[ \begin{cases} x + y = 100 \\ 113,5x + 100y = 10270 \end{cases} \] Din prima ecuație \( y = 100 - x \). Substituim în a doua și obținem \( x = 20, y = 80 \).
Avem lichidul A (densitate 113,5 g/l) și lichidul B (densitate 100 g/l). Vrem să obținem 100 litri amestec cu densitatea de 102,7 g/l.
Fie \( x \) = litri de lichid A, \( y \) = litri de lichid B.
Ecuația 1 (Volum): \( x + y = 100 \)
Ecuația 2 (Masă totală = Volum × Densitate): \( 113,5x + 100y = 100 \cdot 102,7 \)
Obținem sistemul: \[ \begin{cases} x + y = 100 \\ 113,5x + 100y = 10270 \end{cases} \] Din prima ecuație \( y = 100 - x \). Substituim în a doua și obținem \( x = 20, y = 80 \).
Exerciții
Ușoară: Raportul a două numere este \( \frac{3}{5} \). Dacă din suma celor două numere se scade 100, se obține 460. Determinați numerele.
Fie cele două numere \( a \) și \( b \).
\( \frac{a}{b} = \frac{3}{5} \implies a = 3k \) și \( b = 5k \).
Din enunț: \( (a + b) - 100 = 460 \implies a + b = 560 \).
Înlocuim: \( 3k + 5k = 560 \implies 8k = 560 \implies k = 70 \).
\( a = 3 \cdot 70 = 210 \)
\( b = 5 \cdot 70 = 350 \)
Răspuns: Numerele sunt 210 și 350.
\( \frac{a}{b} = \frac{3}{5} \implies a = 3k \) și \( b = 5k \).
Din enunț: \( (a + b) - 100 = 460 \implies a + b = 560 \).
Înlocuim: \( 3k + 5k = 560 \implies 8k = 560 \implies k = 70 \).
\( a = 3 \cdot 70 = 210 \)
\( b = 5 \cdot 70 = 350 \)
Răspuns: Numerele sunt 210 și 350.
Medie: La un concurs de matematică s-au propus spre rezolvare 20 de probleme. Pentru fiecare problemă rezolvată corect s-au acordat 10 puncte, iar pentru fiecare problemă nerezolvată sau parțial rezolvată s-au scăzut 6 puncte. Un elev a obținut 72 de puncte. Câte probleme a rezolvat corect elevul?
Notăm:
\( c \) = numărul problemelor corecte
\( g \) = numărul problemelor greșite/nerezolvate
Formăm sistemul:
\[ \begin{cases} c + g = 20 \\ 10c - 6g = 72 \end{cases} \] Din prima ecuație: \( g = 20 - c \).
Înlocuim în a doua: \( 10c - 6(20 - c) = 72 \)
\( 10c - 120 + 6c = 72 \)
\( 16c = 192 \implies c = 12 \).
Răspuns: Elevul a rezolvat corect 12 probleme.
\( c \) = numărul problemelor corecte
\( g \) = numărul problemelor greșite/nerezolvate
Formăm sistemul:
\[ \begin{cases} c + g = 20 \\ 10c - 6g = 72 \end{cases} \] Din prima ecuație: \( g = 20 - c \).
Înlocuim în a doua: \( 10c - 6(20 - c) = 72 \)
\( 10c - 120 + 6c = 72 \)
\( 16c = 192 \implies c = 12 \).
Răspuns: Elevul a rezolvat corect 12 probleme.
Dificilă: Pentru extinderea unei plantații, s-au cumpărat cireși și vișini, plătindu-se pentru un cireș 10 lei, iar pentru un vișin 6 lei. Știind că pomii au costat 252 de lei și că au fost cumpărați mai mulți cireși decât vișini, calculați numărul maxim de pomi care se pot planta.
Notăm: \( c \) = nr. cireși, \( v \) = nr. vișini.
Condiții: \( 10c + 6v = 252 \) și \( c > v \), unde \( c, v \in \mathbb{N} \). Se cere maximul sumei \( c + v \).
Împărțim ecuația la 2: \( 5c + 3v = 126 \).
Exprimăm \( 5c = 126 - 3v \). Deoarece \( 5c \) se termină în 0 sau 5, \( 126 - 3v \) trebuie să se termine în 0 sau 5.
Așadar, \( 3v \) trebuie să se termine în 6 sau 1.
Cazurile posibile pentru \( v \):
Răspuns: Numărul maxim de pomi este 30 (18 cireși și 12 vișini).
Condiții: \( 10c + 6v = 252 \) și \( c > v \), unde \( c, v \in \mathbb{N} \). Se cere maximul sumei \( c + v \).
Împărțim ecuația la 2: \( 5c + 3v = 126 \).
Exprimăm \( 5c = 126 - 3v \). Deoarece \( 5c \) se termină în 0 sau 5, \( 126 - 3v \) trebuie să se termine în 0 sau 5.
Așadar, \( 3v \) trebuie să se termine în 6 sau 1.
Cazurile posibile pentru \( v \):
- Dacă \( v = 2 \implies 3v = 6 \implies 5c = 120 \implies c = 24 \). Total pomi = 26. Verificăm \( c > v \) (24 > 2, Adevărat).
- Dacă \( v = 12 \implies 3v = 36 \implies 5c = 90 \implies c = 18 \). Total pomi = 30. Verificăm \( c > v \) (18 > 12, Adevărat).
- Dacă \( v = 22 \implies 3v = 66 \implies 5c = 60 \implies c = 12 \). Aici \( 12 > 22 \) este Fals. (Ne oprim aici deoarece \( v \) ar deveni mai mare decât \( c \)).
Răspuns: Numărul maxim de pomi este 30 (18 cireși și 12 vișini).
