Cele mai importante aspecte ale lecției
- Numerele prime au doar doi divizori (pe 1 și pe ele însele). Exemplu: \( 2, 3, 5, 7, 11 \dots \)
- Numerele compuse au și alți divizori în afară de 1 și ele însele. Exemplu: \( 4, 6, 8, 9 \dots \)
- Numerele 0 și 1 nu sunt nici prime, nici compuse.
- Numărul 2 este singurul număr prim par.
- Algoritmul de verificare: Se împarte numărul la numere prime succesive. Dacă obținem restul 0, este compus. Dacă obținem un cât mai mic decât împărțitorul, fără ca restul să fi fost vreodată 0, este prim.
Orice număr natural \( n > 1 \) are cel puțin doi divizori, numiți divizori improprii: pe 1 și pe el însuși.
Dacă numărul are și alți divizori, aceștia se numesc divizori proprii.
Să analizăm divizorii numărului 10:
- Divizorii lui 10 sunt: 1, 2, 5, 10.
- Divizorii improprii sunt: 1 și 10.
- Divizorii proprii sunt: 2 și 5.
Un număr prim este un număr natural nenul care are exact doi divizori (adică doar divizorii improprii: pe 1 și pe el însuși).
Un număr compus este un număr natural nenul care are și alți divizori în afară de 1 și el însuși (are cel puțin un divizor propriu).
Numerele 0 și 1 nu sunt nici prime, nici compuse.
Singurul număr prim care este și par este 2. Toate celelalte numere prime sunt numere impare.
- Numere prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 etc.
- Numere compuse: 4 (divizorii sunt 1, 2, 4), 6 (divizorii sunt 1, 2, 3, 6), 9 (divizorii sunt 1, 3, 9).
Pentru a determina dacă un număr natural este prim sau compus, urmăm acești pași:
Împărțim numărul dat, pe rând, la toate numerele prime în ordine crescătoare (\(2, 3, 5, 7, 11, \dots\)).
Continuăm procesul până când:
- obținem o împărțire cu restul 0 (în acest caz, numărul este compus);
- câtul împărțirii devine mai mic decât împărțitorul, fără ca vreo împărțire să se fi efectuat exact (în acest caz, numărul este prim).
Verificăm dacă 43 este număr prim:
- \( 43 : 2 = 21 \) rest 1
- \( 43 : 3 = 14 \) rest 1
- \( 43 : 5 = 8 \) rest 3
- \( 43 : 7 = 6 \) rest 1
Fie \( S \) suma tuturor divizorilor unui număr natural \( N \) care sunt mai mici decât \( N \) (adică divizorii proprii plus 1).
Un număr se numește perfect dacă suma \( S \) este egală cu \( N \).
Un număr se numește deficient dacă suma \( S < N \).
Un număr se numește abundent dacă suma \( S > N \).
- Numărul 6 este perfect, deoarece divizorii săi mai mici decât 6 sunt 1, 2, 3, iar \( 1 + 2 + 3 = 6 \).
- Numărul 8 este deficient, deoarece divizorii săi mai mici decât 8 sunt 1, 2, 4, iar \( 1 + 2 + 4 = 7 < 8 \).
- Numărul 12 este abundent, deoarece divizorii săi mai mici decât 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6, iar \( 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12 \).
Practice problems
Problema 1 (Ușoară): Scrieți numărul natural 20 ca:
a) sumă de două numere prime;
b) sumă dintre un număr prim și un număr compus.
a) sumă de două numere prime;
b) sumă dintre un număr prim și un număr compus.
a) O variantă este: \( 20 = 3 + 17 \) (unde atât 3, cât și 17 sunt numere prime). O altă variantă corectă este \( 20 = 7 + 13 \).
b) O variantă este: \( 20 = 2 + 18 \) (unde 2 este număr prim, iar 18 este număr compus).
b) O variantă este: \( 20 = 2 + 18 \) (unde 2 este număr prim, iar 18 este număr compus).
Problema 2 (Medie): Folosind algoritmul de recunoaștere, stabiliți dacă numărul 109 este prim sau compus.
Împărțim numărul 109 la numere prime succesive:
- \( 109 : 2 = 54 \) rest 1
- \( 109 : 3 = 36 \) rest 1
- \( 109 : 5 = 21 \) rest 4
- \( 109 : 7 = 15 \) rest 4
- \( 109 : 11 = 9 \) rest 10
Problema 3 (Dificilă): Determinați numerele prime \( x \) și \( y \) care verifică egalitatea:
\[ 5x + 2y = 31 \]
Termenul \( 2y \) este întotdeauna un număr par (fiind multiplu de 2).
Deoarece suma este un număr impar (\( 31 \)), rezultă că termenul \( 5x \) trebuie să fie un număr impar. Pentru ca \( 5x \) să fie impar, trebuie ca \( x \) să fie un număr impar.
De asemenea, trebuie ca \( 5x < 31 \), deci \( x < 6.2 \). Singurele numere prime impare mai mici decât 6.2 sunt 3 și 5.
Deoarece suma este un număr impar (\( 31 \)), rezultă că termenul \( 5x \) trebuie să fie un număr impar. Pentru ca \( 5x \) să fie impar, trebuie ca \( x \) să fie un număr impar.
De asemenea, trebuie ca \( 5x < 31 \), deci \( x < 6.2 \). Singurele numere prime impare mai mici decât 6.2 sunt 3 și 5.
- Dacă \( x = 3 \):
\( 5 \cdot 3 + 2y = 31 \Rightarrow 15 + 2y = 31 \Rightarrow 2y = 16 \Rightarrow y = 8 \). Dar 8 nu este număr prim (este compus). - Dacă \( x = 5 \):
\( 5 \cdot 5 + 2y = 31 \Rightarrow 25 + 2y = 31 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3 \). Deoarece 3 este număr prim, această soluție este corectă.
