III.5. Rezolvă

Analiza parității sumei

Fie \( p_1 \) și \( p_2 \) cele două numere prime. Din enunț avem ecuația: \[ p_1 + p_2 = 61 \] Observăm că suma numerelor este \( 61 \), care este un număr impar. Știm că suma a două numere naturale este impară dacă și numai dacă unul dintre numere este par și celălalt este impar (\( \text{par} + \text{impar} = \text{impar} \)).

Determinarea numărului prim par

Singurul număr prim care este și par este \( 2 \). Astfel, unul dintre cele două numere trebuie să fie \( 2 \). Considerăm \( p_1 = 2 \).

Aflarea celui de-al doilea număr prim

Înlocuim valoarea lui \( p_1 \) în ecuația sumei pentru a-l găsi pe \( p_2 \): \[ 2 + p_2 = 61 \] \[ p_2 = 61 - 2 \] \[ p_2 = 59 \]

Verificarea primalității numărului 59

Pentru a confirma că \( 59 \) este număr prim, îl împărțim la numerele prime mai mici decât el (\( 2, 3, 5, 7 \)) până când câtul devine mai mic decât împărțitorul: \( 59 : 2 = 29 \text{ rest } 1 \) \( 59 : 3 = 19 \text{ rest } 2 \) \( 59 : 5 = 11 \text{ rest } 4 \) \( 59 : 7 = 8 \text{ rest } 3 \) \( 59 : 11 = 5 \text{ rest } 4 \) (Câtul \( 5 < 11 \), deci ne oprim). Deoarece toate resturile sunt nenule, \( 59 \) este un număr prim.

Calcularea produsului celor două numere

Acum putem calcula produsul numerelor prime \( 2 \) și \( 59 \): \[ p_1 \cdot p_2 = 2 \cdot 59 = 118 \]

\( p_1 + p_2 = 61 \Rightarrow p_1 = 2 \) (singurul prim par). \( 2 + p_2 = 61 \Rightarrow p_2 = 59 \) (număr prim). Produsul \( = 2 \cdot 59 = 118 \).