Cele mai importante aspecte ale lecției
Axa numerelor este un instrument geometric format dintr-o dreaptă cu o origine \(O(0)\), un sens pozitiv și o unitate de măsură.
Reprezentarea unei fracții \(\frac{a}{b}\): Unitatea de măsură se împarte în \(b\) segmente egale, iar poziția punctului se obține numărând \(a\) segmente de la origine.
Compararea pe axă: Fracția aflată mai la dreapta este întotdeauna mai mare. De exemplu, \(\frac{5}{6}\) se află la dreapta lui \(\frac{2}{6}\), deci \(\frac{5}{6} > \frac{2}{6}\).
Reprezentarea unei fracții \(\frac{a}{b}\): Unitatea de măsură se împarte în \(b\) segmente egale, iar poziția punctului se obține numărând \(a\) segmente de la origine.
Compararea pe axă: Fracția aflată mai la dreapta este întotdeauna mai mare. De exemplu, \(\frac{5}{6}\) se află la dreapta lui \(\frac{2}{6}\), deci \(\frac{5}{6} > \frac{2}{6}\).
Axa numerelor este o dreaptă pe care se fixează:
- un punct numit origine (notat de regulă cu \(O\));
- un sens de parcurgere de la stânga la dreapta, indicat de o săgeată (sensul pozitiv);
- o unitate de măsură determinată de un segment ales ca reper.
Numărul asociat fiecărui punct de pe axă se numește coordonata punctului. Originea \(O\) are întotdeauna coordonata \(0\), adică scriem \(O(0)\).
Se împarte unitatea de măsură în atâtea părți egale câte arată numitorul fracției.
Se numără, începând din origine, atâtea subdiviziuni câte indică numărătorul fracției. Punctul obținut reprezintă poziția fracției pe axă.
Dintre două fracții reprezentate pe axa numerelor, este mai mare fracția reprezentată de punctul aflat mai la dreapta.
Pentru a reprezenta fracțiile \(\frac{4}{7}\) și \(\frac{9}{7}\), împărțim unitatea de măsură (segmentul dintre \(0\) și \(1\)) în \(7\) părți egale. Apoi numărăm de la origine \(4\) segmente pentru prima fracție și \(9\) segmente pentru a doua.
Relațiile de ordine dintre fracții pot fi folosite pentru a găsi valorile unor necunoscute prin transformarea acestora în inecuații cu numere naturale.
Pentru a determina numerele naturale \(n\) pentru care \(\frac{n + 2}{6} < \frac{5}{6}\), observăm că numitorii sunt egali. Pentru ca inegalitatea să fie adevărată, numărătorul primei fracții trebuie să fie mai mic decât al celei de-a doua:
\[ n + 2 < 5 \implies n < 3 \]
Deoarece \(n\) este număr natural, valorile posibile sunt: \(n \in \{0, 1, 2\}\).
Fracția \(\frac{2x + 5}{7}\) este supraunitară (se află la dreapta numărului 1 pe axă) dacă:
\[ 2x + 5 > 7 \implies 2x > 2 \implies x > 1 \]
Pentru \(x \in \{2, 3, 4\}\), obținem fracțiile supraunitare \(\frac{9}{7}\), \(\frac{11}{7}\) și \(\frac{13}{7}\).
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Reprezentați pe o axă a numerelor imaginară cu unitatea divizată în 8 părți egale, fracția \(\frac{5}{8}\). Precizați dacă această fracție se află la stânga sau la dreapta numărului întreg \(1\).
Pentru a reprezenta fracția \(\frac{5}{8}\), împărțim unitatea în \(8\) părți egale și numărăm \(5\) părți începând din origine.
Deoarece fracția \(\frac{5}{8}\) este subunitară (\(5 < 8\)), ea se află la stânga numărului întreg \(1\) (care este echivalent cu \(\frac{8}{8}\)).
Deoarece fracția \(\frac{5}{8}\) este subunitară (\(5 < 8\)), ea se află la stânga numărului întreg \(1\) (care este echivalent cu \(\frac{8}{8}\)).
Problema 2 (Medie): Determinați toate numerele naturale \(x\) pentru care fracția \(\frac{3x+2}{11}\) este subunitară (adică se află la stânga punctului \(1\) pe axa numerelor). Scrieți fracțiile corespunzătoare.
O fracție este subunitară dacă numărătorul este mai mic decât numitorul:
\[ 3x + 2 < 11 \]
Scădem 2 din ambele părți ale inegalității:
\[ 3x < 9 \]
Împărțim la 3:
\[ x < 3 \]
Deoarece \(x\) este număr natural, valorile posibile pentru \(x\) sunt \(0, 1\) și \(2\).
Fracțiile corespunzătoare sunt:
Fracțiile corespunzătoare sunt:
- Pentru \(x = 0 \implies \frac{3 \cdot 0 + 2}{11} = \frac{2}{11}\)
- Pentru \(x = 1 \implies \frac{3 \cdot 1 + 2}{11} = \frac{5}{11}\)
- Pentru \(x = 2 \implies \frac{3 \cdot 2 + 2}{11} = \frac{8}{11}\)
Problema 3 (Dificilă): Determinați numerele naturale \(x\) și \(y\) știind că fracțiile ordonante crescător pe axa numerelor sunt:
\[ \frac{2}{13}, \ \frac{x+1}{13}, \ \frac{y-1}{13}, \ \frac{2x+y}{13}, \ \frac{11}{13} \]
Deoarece toate fracțiile au același numitor, ordinea crescătoare pe axă înseamnă că numărătorii lor sunt în ordine strict crescătoare:
\[ 2 < x + 1 < y - 1 < 2x + y < 11 \]
Analizăm inegalitățile pas cu pas:
1. Din \(2 < x + 1 \implies x > 1 \implies x \ge 2\) (deoarece \(x\) este număr natural).
2. Să testăm valorile posibile pentru \(x\):
Prin urmare, perechile de numere naturale căutate sunt: \((x, y) \in \{(2, 5), (2, 6)\}\).
1. Din \(2 < x + 1 \implies x > 1 \implies x \ge 2\) (deoarece \(x\) este număr natural).
2. Să testăm valorile posibile pentru \(x\):
- Cazul 1: \(x = 2\)
Înlocuind \(x = 2\), obținem: \[ 2 < 3 < y - 1 < 4 + y < 11 \] Din \(3 < y - 1 \implies y > 4 \implies y \ge 5\).
Dacă \(y = 5\), lanțul devine: \(2 < 3 < 4 < 9 < 11\) (Adevărat!). Deci o soluție este \((x, y) = (2, 5)\).
Dacă \(y = 6\), lanțul devine: \(2 < 3 < 5 < 10 < 11\) (Adevărat!). Deci o altă soluție este \((x, y) = (2, 6)\).
Dacă \(y \ge 7\), atunci \(4 + y \ge 11\), ceea ce contrazice ultima inegalitate (\(< 11\)). - Cazul 2: \(x = 3\)
Înlocuind \(x = 3\), obținem: \[ 2 < 4 < y - 1 < 6 + y < 11 \] Din \(4 < y - 1 \implies y > 5 \implies y \ge 6\).
Dacă \(y = 6\), obținem \(6 + y = 12\), dar trebuie să avem \(6 + y < 11\) (Fals). Orice valoare mai mare a lui \(y\) va depăși de asemenea pe 11.
Prin urmare, perechile de numere naturale căutate sunt: \((x, y) \in \{(2, 5), (2, 6)\}\).
