Cele mai importante aspecte ale lecției
Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.): Reprezintă cel mai mic număr natural nenul care se divide cu numerele date. Se notează cu \([a, b]\).
Relația de legătură cu c.m.m.d.c.: \( (a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b \). Produsul a două numere este egal cu produsul dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al lor.
Cazuri speciale rapide:
Relația de legătură cu c.m.m.d.c.: \( (a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b \). Produsul a două numere este egal cu produsul dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al lor.
Cazuri speciale rapide:
- Dacă \( a \mid b \), atunci \([a, b] = b\). Exemplu: \([3, 9] = 9\).
- Dacă \(a\) și \(b\) sunt prime între ele (\((a, b) = 1\)), atunci \([a, b] = a \cdot b\). Exemplu: \([5, 8] = 40\).
Cel mai mic multiplu comun a două numere naturale nenule \(a\) și \(b\) este cel mai mic număr natural nenul care se divide cu ambele numere.
Se notează cu \([a, b]\) sau \(\text{c.m.m.m.c.}(a, b)\).
Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 și 18, scriem mulțimile multiplilor lor nenuli și alegem cel mai mic element comun:
Cel mai mic multiplu comun (diferit de zero) este 36. Deci, \([12, 18] = 36\).
| Număr | Multipli (nenuli) |
|---|---|
| 12 | 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, ... |
| 18 | 18, 36, 54, 72, 90, 108, ... |
Prin scrierea mulțimii multiplilor:
- Se scriu multiplii fiecărui număr;
- Se identifică multiplii comuni ai acestora;
- Se alege cel mai mic multiplu comun diferit de zero.
Prin legătura cu cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.):
Se determină mai întâi c.m.m.d.c. al numerelor, notat cu \((a, b)\), iar apoi se aplică relația de legătură pentru a calcula c.m.m.m.c.
\[ (a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b \implies [a, b] = \frac{a \cdot b}{(a, b)} \]
Produsul dintre cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun a două numere naturale este egal cu produsul celor două numere.
Să determinăm \([10, 15]\) prin ambele metode:
Metoda 1: \[ \mathcal{M}_{10} = \{0, 10, 20, \mathbf{30}, 40, ...\} \] \[ \mathcal{M}_{15} = \{0, 15, \mathbf{30}, 45, ...\} \] Astfel, \([10, 15] = 30\).
Metoda 2: Divizorii comuni sunt: \(\mathcal{D}_{10} = \{1, 2, \mathbf{5}, 10\}\) și \(\mathcal{D}_{15} = \{1, 3, \mathbf{5}, 15\}\), deci \((10, 15) = 5\). \[ [10, 15] = \frac{10 \cdot 15}{5} = \frac{150}{5} = 30 \]
Metoda 1: \[ \mathcal{M}_{10} = \{0, 10, 20, \mathbf{30}, 40, ...\} \] \[ \mathcal{M}_{15} = \{0, 15, \mathbf{30}, 45, ...\} \] Astfel, \([10, 15] = 30\).
Metoda 2: Divizorii comuni sunt: \(\mathcal{D}_{10} = \{1, 2, \mathbf{5}, 10\}\) și \(\mathcal{D}_{15} = \{1, 3, \mathbf{5}, 15\}\), deci \((10, 15) = 5\). \[ [10, 15] = \frac{10 \cdot 15}{5} = \frac{150}{5} = 30 \]
Dacă un număr îl divide pe celălalt (\(a \mid b\)), unde \(a \neq 0\), atunci cel mai mic multiplu comun este numărul mai mare:
\[ \text{Dacă } a \mid b, \text{ atunci } [a, b] = b \]
Exemplu: Deoarece \(5 \mid 15\), avem \([5, 15] = 15\).
Dacă două numere naturale \(a\) și \(b\) sunt prime între ele (adică nu au divizori comuni în afară de 1, adică \((a, b) = 1\)), atunci c.m.m.m.c. al lor este egal cu produsul acestora:
\[ [a, b] = a \cdot b \]
Exemplu: Numerele 3 și 7 sunt prime între ele, deci \([3, 7] = 3 \cdot 7 = 21\).
Dacă \(d = (a, b)\), iar \(a = d \cdot x\) și \(b = d \cdot y\), atunci:
\[ [a, b] = d \cdot x \cdot y \]
Proprietatea se extinde și pentru trei sau mai multe numere: \([a, b, c]\) reprezintă cel mai mic număr natural nenul care se divide cu toate numerele date.
Probleme practice
Problemă ușoară: Determinați cel mai mic multiplu comun al numerelor 8 și 12 folosind metoda scrierii multiplilor.
Scriem mulțimile multiplilor nenuli pentru fiecare număr:
\[ \mathcal{M}_{8} = \{8, 16, \mathbf{24}, 32, 40, \mathbf{48}, ...\} \]
\[ \mathcal{M}_{12} = \{12, \mathbf{24}, 36, \mathbf{48}, ...\} \]
Cel mai mic multiplu comun nenul este 24.
Răspuns: \([8, 12] = 24\).
Răspuns: \([8, 12] = 24\).
Problemă medie: Determinați cel mai mic multiplu comun al numerelor 4, 7 și 14.
Scriem multiplii fiecărui număr pentru a-l găsi pe cel mai mic comun nenul:
\[ \mathcal{M}_{4} = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, \mathbf{28}, 32, ...\} \]
\[ \mathcal{M}_{7} = \{7, 14, 21, \mathbf{28}, 35, ...\} \]
\[ \mathcal{M}_{14} = \{14, \mathbf{28}, 42, 56, ...\} \]
Numărul 28 este cel mai mic multiplu comun nenul al celor trei numere.
Răspuns: \([4, 7, 14] = 28\).
Răspuns: \([4, 7, 14] = 28\).
Problemă dificilă: Determinați cel mai mic număr natural care, împărțit pe rând la 12, 15 și 18, dă de fiecare dată restul 5.
Fie \(n\) numărul căutat. Conform teoremei împărțirii cu rest, obținem relațiile:
\[ n = 12 \cdot c_1 + 5 \implies n - 5 = 12 \cdot c_1 \]
\[ n = 15 \cdot c_2 + 5 \implies n - 5 = 15 \cdot c_2 \]
\[ n = 18 \cdot c_3 + 5 \implies n - 5 = 18 \cdot c_3 \]
Prin urmare, numărul \(n - 5\) este un multiplu comun al numerelor 12, 15 și 18. Pentru a afla cel mai mic număr \(n\), trebuie să determinăm cel mai mic multiplu comun al numerelor 12, 15 și 18.
Scriem multiplii numerelor până găsim primul multiplu comun nenul: \[ \mathcal{M}_{12} = \{12, 24, ..., 120, ..., \mathbf{180}, ...\} \] \[ \mathcal{M}_{15} = \{15, 30, ..., 120, ..., \mathbf{180}, ...\} \] \[ \mathcal{M}_{18} = \{18, 36, ..., 108, ..., \mathbf{180}, ...\} \] Deducem că \([12, 15, 18] = 180\).
Prin urmare: \[ n - 5 = 180 \implies n = 185 \]
Răspuns: Cel mai mic număr natural căutat este 185.
Scriem multiplii numerelor până găsim primul multiplu comun nenul: \[ \mathcal{M}_{12} = \{12, 24, ..., 120, ..., \mathbf{180}, ...\} \] \[ \mathcal{M}_{15} = \{15, 30, ..., 120, ..., \mathbf{180}, ...\} \] \[ \mathcal{M}_{18} = \{18, 36, ..., 108, ..., \mathbf{180}, ...\} \] Deducem că \([12, 15, 18] = 180\).
Prin urmare: \[ n - 5 = 180 \implies n = 185 \]
Răspuns: Cel mai mic număr natural căutat este 185.
