Cele mai importante aspecte ale lecției
Metodele aritmetice ajută la structurarea și rezolvarea rapidă a problemelor complexe:
- Reducerea la unitate: Găsește valoarea corespunzătoare unei unități (ex: dacă 3 produse costă 15 lei, 1 produs costă 5 lei).
- Comparație: Elimină o necunoscută prin aducerea ei la aceeași cantitate în ambele relații și efectuarea diferenței.
- Grafică: Utilizează segmente pentru vizualizarea directă a sumelor, diferențelor și rapoartelor între mărimi.
- Mers invers: Rezolvă ecuații pas cu pas de la sfârșit la început, aplicând operații opuse.
- Falsa ipoteză: Presupune că toate elementele aparțin unei categorii, ajustând apoi rezultatul prin diferențe.
Această metodă constă în determinarea valorii corespunzătoare unei singure unități dintr-o anumită mărime, ca pas intermediar pentru aflarea valorii finale cerute.
Dacă 10 euro valorează 49,86 de lei, cât valorează 25 de euro?
Rezolvare:
Rezolvare:
- Aflăm valoarea unui singur euro: \( 49,86 : 10 = 4,986 \) lei.
- Aflăm valoarea pentru 25 de euro: \( 25 \cdot 4,986 = 124,65 \) lei.
Dacă 45 de găini consumă zilnic 5,85 kg de grăunțe, de câte kilograme de grăunțe este nevoie zilnic pentru a hrăni 55 de găini?
- Aflăm consumul unei singure găini: \( 5,85 : 45 = 0,13 \text{ kg} \).
- Aflăm consumul pentru 55 de găini: \( 55 \cdot 0,13 = 7,15 \text{ kg} \).
Această metodă se folosește în probleme în care intervin două sau mai multe mărimi cu valori diferite. Scopul este aducerea uneia dintre mărimi la același coeficient în ambele situații pentru a o elimina prin scădere, determinând astfel valoarea celeilalte mărimi.
Aflați prețul unui kilogram de cireșe și al unui kilogram de căpșuni știind că:
Scădem cele două relații pentru a elimina căpșunile (deoarece cantitățile lor sunt egale):
\( (5 - 3) \text{ kg cireșe} = 62,7 - 47,7 \text{ lei} \)
\( 2 \text{ kg cireșe} = 15 \text{ lei} \Rightarrow 1 \text{ kg cireșe} = 15 : 2 = 7,5 \text{ lei} \).
Înlocuim în prima relație:
\( 3 \cdot 7,5 + 4,5 \text{ kg căpșuni} = 47,7 \)
\( 22,5 + 4,5 \text{ kg căpșuni} = 47,7 \Rightarrow 4,5 \text{ kg căpșuni} = 25,2 \text{ lei} \)
\( 1 \text{ kg căpșuni} = 25,2 : 4,5 = 5,6 \text{ lei} \).
- 3 kg cireșe .......................... 4,5 kg căpșuni .......................... 47,7 lei
- 5 kg cireșe .......................... 4,5 kg căpșuni .......................... 62,7 lei
Scădem cele două relații pentru a elimina căpșunile (deoarece cantitățile lor sunt egale):
\( (5 - 3) \text{ kg cireșe} = 62,7 - 47,7 \text{ lei} \)
\( 2 \text{ kg cireșe} = 15 \text{ lei} \Rightarrow 1 \text{ kg cireșe} = 15 : 2 = 7,5 \text{ lei} \).
Înlocuim în prima relație:
\( 3 \cdot 7,5 + 4,5 \text{ kg căpșuni} = 47,7 \)
\( 22,5 + 4,5 \text{ kg căpșuni} = 47,7 \Rightarrow 4,5 \text{ kg căpșuni} = 25,2 \text{ lei} \)
\( 1 \text{ kg căpșuni} = 25,2 : 4,5 = 5,6 \text{ lei} \).
Două televizoare și trei telefoane costă 3674,1 lei. Trei televizoare și două telefoane de aceleași tipuri costă 4502,4 lei. Cât costă un televizor?
Scriem relațiile și le înmulțim astfel încât să egalăm numărul de telefoane (înmulțim prima relație cu 2 și pe a doua cu 3):
\( 5 \text{ televizoare} = 13507,2 - 7348,2 = 6159 \text{ lei} \)
\( 1 \text{ televizor} = 6159 : 5 = 1231,8 \text{ lei} \).
Răspuns: Un televizor costă 1231,8 lei.
- 2 televizoare .................... 3 telefoane .................... 3674,1 lei \( \mid \cdot 2 \)
- 3 televizoare .................... 2 telefoane .................... 4502,4 lei \( \mid \cdot 3 \)
- 4 televizoare .................... 6 telefoane .................... 7348,2 lei
- 9 televizoare .................... 6 telefoane .................... 13507,2 lei
\( 5 \text{ televizoare} = 13507,2 - 7348,2 = 6159 \text{ lei} \)
\( 1 \text{ televizor} = 6159 : 5 = 1231,8 \text{ lei} \).
Răspuns: Un televizor costă 1231,8 lei.
Reprezintă o metodă de rezolvare în care mărimile necunoscute sunt figurate prin segmente de dreaptă sau alte elemente grafice, pentru a evidenția mai ușor relațiile dintre ele (sume, diferențe, rapoarte).
Suma a două numere este 625,13, iar diferența lor este 104,8. Calculează numerele.
Rezolvare:
Rezolvare:
- Egalăm segmentele scăzând diferența din sumă: \[ 625,13 - 104,8 = 520,33 \text{ (suma părților egale)} \]
- Aflăm numărul mai mic (valoarea unui segment): \[ 520,33 : 2 = 260,165 \]
- Aflăm numărul mai mare: \[ 260,165 + 104,8 = 364,965 \]
Suma a două numere este 45,8, iar unul dintre ele este de trei ori mai mare decât celălalt. Aflați cele două numere.
Reprezentăm numărul mic printr-un segment, iar numărul mare prin 3 segmente egale:
Numărul mic: |---|
Numărul mare: |---|---|---|
Suma lor este reprezentată de 4 segmente egale:
\( 4 \text{ segmente} = 45,8 \)
\( 1 \text{ segment (numărul mic)} = 45,8 : 4 = 11,45 \)
\( \text{Numărul mare} = 3 \cdot 11,45 = 34,35 \).
Răspuns: Cele două numere sunt 11,45 și 34,35.
Numărul mic: |---|
Numărul mare: |---|---|---|
Suma lor este reprezentată de 4 segmente egale:
\( 4 \text{ segmente} = 45,8 \)
\( 1 \text{ segment (numărul mic)} = 45,8 : 4 = 11,45 \)
\( \text{Numărul mare} = 3 \cdot 11,45 = 34,35 \).
Răspuns: Cele două numere sunt 11,45 și 34,35.
Se folosește atunci când operațiile matematice se succed într-o ordine dată asupra unui număr necunoscut, obținându-se un rezultat final cunoscut. Rezolvarea se face parcurgând operațiile în sens invers (de la sfârșit la început), înlocuind fiecare operație cu inversa ei.
Dacă mărim de 10 ori diferența dintre 17,5 și un număr \(a\), iar rezultatul obținut îl adunăm cu dublul lui 4,66, obținem 52,82. Determină numărul.
Rezolvare:
Scriem ecuația: \[ 10 \cdot (17,5 - a) + 2 \cdot 4,66 = 52,82 \] \[ 10 \cdot (17,5 - a) + 9,32 = 52,82 \] \[ 10 \cdot (17,5 - a) = 52,82 - 9,32 = 43,5 \] \[ 17,5 - a = 43,5 : 10 = 4,35 \] \[ a = 17,5 - 4,35 = 13,15 \]
Rezolvare:
Scriem ecuația: \[ 10 \cdot (17,5 - a) + 2 \cdot 4,66 = 52,82 \] \[ 10 \cdot (17,5 - a) + 9,32 = 52,82 \] \[ 10 \cdot (17,5 - a) = 52,82 - 9,32 = 43,5 \] \[ 17,5 - a = 43,5 : 10 = 4,35 \] \[ a = 17,5 - 4,35 = 13,15 \]
Un număr se împarte la 2,5, la rezultat se adaugă 3,8, iar noul rezultat se înmulțește cu 4, obținându-se 26,4. Care este numărul inițial?
Notăm numărul cu \(x\). Ecuația este:
\[ (x : 2,5 + 3,8) \cdot 4 = 26,4 \]
Aplicăm mersul invers:
\[ x : 2,5 + 3,8 = 26,4 : 4 = 6,6 \]
\[ x : 2,5 = 6,6 - 3,8 = 2,8 \]
\[ x = 2,8 \cdot 2,5 = 7 \]
Răspuns: Numărul inițial este 7.
Constă în a presupune că toate elementele problemei sunt de un singur fel (de obicei cele cu valoarea mai mare sau mai mică). Nepotrivirea dintre rezultatul ipotezei și cel real ne ajută să găsim elementul corect prin diferențe succesive.
Avem 22 de sticle de 1,5 l și de 1,25 l în care s-au conservat în total 29,5 litri de sirop. Câte sticle din fiecare tip s-au folosit?
Rezolvare:
Rezolvare:
- Presupunem că toate cele 22 de sticle sunt de 1,25 l: \[ 22 \cdot 1,25 \text{ l} = 27,5 \text{ l} \]
- Calculăm diferența de volum față de realitate: \[ 29,5 \text{ l} - 27,5 \text{ l} = 2 \text{ l (volum lipsă)} \]
- Calculăm diferența dintre o sticlă de 1,5 l și una de 1,25 l: \[ 1,5 \text{ l} - 1,25 \text{ l} = 0,25 \text{ l} \]
- Aflăm numărul de sticle de 1,5 l (câte înlocuiri sunt necesare): \[ 2 : 0,25 = 8 \text{ sticle de 1,5 l} \]
- Aflăm numărul sticlelor de 1,25 l: \[ 22 - 8 = 14 \text{ sticle} \]
S-au achiziționat 20 de pixuri și stilouri cu suma totală de 196 de lei. Un pix costă 3,5 lei, iar un stilou costă 17,5 lei. Câte pixuri și câte stilouri s-au cumpărat?
- Presupunem că s-au cumpărat doar stilouri (toate cele 20 de obiecte): \[ 20 \cdot 17,5 = 350 \text{ lei} \]
- Calculăm diferența de preț față de realitate: \[ 350 - 196 = 154 \text{ lei în plus} \]
- Aflăm diferența de preț dintre un stilou și un pix: \[ 17,5 - 3,5 = 14 \text{ lei} \]
- Numărul de pixuri achiziționate: \[ 154 : 14 = 11 \text{ pixuri} \]
- Numărul de stilouri achiziționate: \[ 20 - 11 = 9 \text{ stilouri} \]
Probleme practice
Problemă 1 (Ușoară): Prin 3 robinete cu același debit care curg simultan timp de o oră se acumulează 3616,5 litri de apă. Câți litri de apă vor curge prin 4 astfel de robinete într-o oră?
Aplicăm metoda reducerii la unitate:
1. Aflăm debitul unui singur robinet într-o oră: \[ 3616,5 : 3 = 1205,5 \text{ litri} \]
2. Aflăm cantitatea de apă pentru 4 robinete: \[ 1205,5 \cdot 4 = 4822 \text{ litri} \]
Răspuns: 4822 de litri.
1. Aflăm debitul unui singur robinet într-o oră: \[ 3616,5 : 3 = 1205,5 \text{ litri} \]
2. Aflăm cantitatea de apă pentru 4 robinete: \[ 1205,5 \cdot 4 = 4822 \text{ litri} \]
Răspuns: 4822 de litri.
Problemă 2 (Medie): Un turist a parcurs un traseu în 3 zile astfel: în prima zi a parcurs \( 0,25 \) din lungimea traseului, a doua zi a parcurs \( 0,(3) \) din rest, iar în a treia zi a parcurs restul de 4,6 km. Aflați lungimea întregului traseu.
Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare:
\[ 0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \]
\[ 0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]
Folosim metoda grafică pentru a reprezenta traseul:
- Dacă întregul traseu are 4 părți egale, în prima zi parcurge o parte (\(\frac{1}{4}\)). Rămân 3 părți egale.
- În a doua zi parcurge \(\frac{1}{3}\) din rest (adică o parte din cele 3 rămase).
- În a treia zi parcurge ultimele 2 părți, adică 4,6 km.
- Calculăm valoarea unei părți: \[ 4,6 : 2 = 2,3 \text{ km} \]
- Calculăm lungimea totală a traseului (4 părți): \[ 4 \cdot 2,3 = 9,2 \text{ km} \]
Problemă 3 (Dificilă): Pentru finalizarea unei case de vacanță, Mihai a comandat 22 de elemente de tâmplărie (ferestre și uși) pentru care a plătit în total 2751,2 euro. Știind că o fereastră costă 110,8 euro, iar o ușă costă 155,6 euro, determinați câte ferestre și câte uși a comandat.
Aplicăm metoda falsei ipoteze:
- Presupunem că s-au comandat numai ferestre (22 de bucăți): \[ 22 \cdot 110,8 = 2437,6 \text{ euro} \]
- Calculăm diferența de cost față de suma reală plătită: \[ 2751,2 - 2437,6 = 313,6 \text{ euro} \]
- Calculăm diferența de preț dintre o ușă și o fereastră: \[ 155,6 - 110,8 = 44,8 \text{ euro} \]
- Aflăm numărul de uși (înlocuiri de ferestre cu uși): \[ 313,6 : 44,8 = 7 \text{ uși} \]
- Aflăm numărul de ferestre: \[ 22 - 7 = 15 \text{ ferestre} \]
