Cele mai importante aspecte ale lecției
Mijlocul unui segment: Punctul unic interior care împarte un segment în două segmente congruente (\( AM = MB = \frac{AB}{2} \)).
Simetricul unui punct: \( \text{sim}_M A = B \) înseamnă că punctul \( M \) devine mijlocul segmentului \( AB \). În acest caz, distanțele de la centrul de simetrie \( M \) la cele două puncte simetrice \( A \) și \( B \) sunt egale (\( AM = MB \)).
Simetricul unui punct: \( \text{sim}_M A = B \) înseamnă că punctul \( M \) devine mijlocul segmentului \( AB \). În acest caz, distanțele de la centrul de simetrie \( M \) la cele două puncte simetrice \( A \) și \( B \) sunt egale (\( AM = MB \)).
Mijlocul unui segment este un punct unic, interior segmentului, care împarte segmentul în două segmente congruente (egale).
\( M \text{ este mijlocul segmentului } AB \Leftrightarrow M \in AB \text{ și } AM = MB = \frac{AB}{2} \)
Marcajele identice (de exemplu, două liniuțe oblice sau un punct gros) aplicate pe segmente diferite în desenele geometrice sunt utilizate pentru a evidenția faptul că acele segmente au lungimi egale (sunt congruente).
Dacă lungimea segmentului \( AB \) este de \( 10\text{ cm} \) și punctul \( M \) este mijlocul său, aflați lungimea segmentului \( AM \).
Deoarece \( M \) este mijlocul segmentului \( AB \), lungimea segmentului \( AM \) este jumătate din lungimea întregului segment:
\[ AM = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5\text{ cm} \]
1. Măsurăm cu rigla lungimea segmentului (de exemplu, \( MN = 6\text{ cm} \)).
2. Împărțim această lungime la 2 (\( 6 : 2 = 3\text{ cm} \)).
3. Fixăm pe segment punctul \( O \) în dreptul diviziunii de \( 3\text{ cm} \). Punctul \( O \) este mijlocul segmentului \( MN \).
2. Împărțim această lungime la 2 (\( 6 : 2 = 3\text{ cm} \)).
3. Fixăm pe segment punctul \( O \) în dreptul diviziunii de \( 3\text{ cm} \). Punctul \( O \) este mijlocul segmentului \( MN \).
1. Așezăm acul compasului în capătul \( M \) și fixăm o deschidere mai mare decât jumătatea estimată a segmentului.
2. Trasăm două arce de cerc (unul deasupra și unul dedesubtul segmentului).
3. Păstrând aceeași deschidere, punem acul compasului în celălalt capăt, \( N \), și trasăm alte două arce care să le intersecteze pe primele în punctele \( A \) (sus) și \( B \) (jos).
4. Unim punctele \( A \) și \( B \) printr-o dreaptă. Intersecția acestei drepte cu segmentul \( MN \) reprezintă mijlocul acestuia.
2. Trasăm două arce de cerc (unul deasupra și unul dedesubtul segmentului).
3. Păstrând aceeași deschidere, punem acul compasului în celălalt capăt, \( N \), și trasăm alte două arce care să le intersecteze pe primele în punctele \( A \) (sus) și \( B \) (jos).
4. Unim punctele \( A \) și \( B \) printr-o dreaptă. Intersecția acestei drepte cu segmentul \( MN \) reprezintă mijlocul acestuia.
Prin simetricul unui punct \( A \) față de un punct \( M \) înțelegem un punct \( B \) aflat în prelungirea segmentului \( AM \), astfel încât punctul \( M \) este mijlocul segmentului \( AB \).
\( \text{sim}_M A = B \Leftrightarrow M \text{ este mijlocul segmentului } AB \Leftrightarrow AM = MB = \frac{AB}{2} \)
Cum se construiește simetricul unui punct \( P \) față de un punct \( Q \)?
Pentru a construi simetricul lui \( P \) față de \( Q \) (notat cu \( R \)):
- Trasăm semidreapta \( [PQ \) și o prelungim dincolo de punctul \( Q \).
- Măsurăm distanța \( PQ \) cu rigla sau o luăm în deschiderea compasului.
- Purtăm această distanță pe prelungirea semidreptei, dincolo de \( Q \), pentru a obține punctul \( R \), astfel încât \( QR = PQ \).
Probleme propuse
Problema 1 (Ușoară): Pe o dreaptă se consideră punctele \( A \), \( B \) și \( C \), în această ordine, astfel încât \( AB = 12\text{ cm} \) și \( BC = 8\text{ cm} \). Dacă \( M \) este mijlocul segmentului \( BC \), calculați lungimea segmentului \( AM \).
Deoarece \( M \) este mijlocul segmentului \( BC \), avem:
\[ BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4\text{ cm} \]
Punctele fiind coliniare în ordinea \( A - B - M - C \), lungimea segmentului \( AM \) este suma lungimilor segmentelor \( AB \) și \( BM \):
\[ AM = AB + BM = 12 + 4 = 16\text{ cm} \]
Răspuns: \( AM = 16\text{ cm} \)
Problema 2 (Medie): Fie \( M \), \( N \) și \( P \) trei puncte coliniare în această ordine. Știind că \( N \) este mijlocul segmentului \( MP \) și \( NP = 6,5\text{ cm} \), calculați lungimea segmentelor \( MN \) și \( MP \).
Deoarece \( N \) este mijlocul segmentului \( MP \), segmentele determinate de acesta sunt congruente:
\[ MN = NP = 6,5\text{ cm} \]
Lungimea întregului segment \( MP \) este suma celor două părți egale:
\[ MP = MN + NP = 6,5 + 6,5 = 13\text{ cm} \]
(sau \( MP = 2 \cdot NP = 2 \cdot 6,5 = 13\text{ cm} \)).
Răspuns: \( MN = 6,5\text{ cm} \), \( MP = 13\text{ cm} \)
Răspuns: \( MN = 6,5\text{ cm} \), \( MP = 13\text{ cm} \)
Problema 3 (Dificilă): Se consideră un segment \( AB \) cu lungimea de \( 6\text{ cm} \) și fie \( M \) mijlocul acestuia. Construiți punctul \( N \), simetricul punctului \( M \) față de punctul \( B \).
a) Calculați lungimea segmentului \( AN \).
b) Ce puteți afirma despre segmentele \( MB \) și \( BN \)? Justificați răspunsul.
a) Calculați lungimea segmentului \( AN \).
b) Ce puteți afirma despre segmentele \( MB \) și \( BN \)? Justificați răspunsul.
a) Din ipoteză, \( M \) este mijlocul lui \( AB \), deci:
\[ AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ cm} \]
Punctul \( N \) este simetricul lui \( M \) față de \( B \), ceea ce înseamnă că \( B \) este mijlocul segmentului \( MN \). Prin urmare:
\[ MB = BN = 3\text{ cm} \]
Punctele sunt coliniare în ordinea \( A - M - B - N \). Lungimea segmentului \( AN \) este:
\[ AN = AB + BN = 6 + 3 = 9\text{ cm} \]
b) Deoarece \( B \) este mijlocul segmentului \( MN \), segmentele \( MB \) și \( BN \) au lungimi egale (\( MB = BN = 3\text{ cm} \)). Prin urmare, segmentele \( MB \) și \( BN \) sunt congruente (\( MB \equiv BN \)).
Răspuns: a) \( AN = 9\text{ cm} \); b) Segmentele sunt congruente deoarece au lungimi egale de \( 3\text{ cm} \).
b) Deoarece \( B \) este mijlocul segmentului \( MN \), segmentele \( MB \) și \( BN \) au lungimi egale (\( MB = BN = 3\text{ cm} \)). Prin urmare, segmentele \( MB \) și \( BN \) sunt congruente (\( MB \equiv BN \)).
Răspuns: a) \( AN = 9\text{ cm} \); b) Segmentele sunt congruente deoarece au lungimi egale de \( 3\text{ cm} \).
