Cele mai importante aspecte ale lecției
Axa de simetrie este o linie imaginară care „oglindește” o figură geometrică, împărțind-o în două părți perfect suprapuse prin pliere.
• Pătratul are 4 axe, dreptunghiul are 2 axe, iar cercul are o infinitate de axe.
• Bisectoarea este axa de simetrie a unui unghi.
• Dacă o figură are o axă de simetrie, toate elementele corespondente de o parte și de alta a axei (segmente, unghiuri) sunt congruente.
• Pătratul are 4 axe, dreptunghiul are 2 axe, iar cercul are o infinitate de axe.
• Bisectoarea este axa de simetrie a unui unghi.
• Dacă o figură are o axă de simetrie, toate elementele corespondente de o parte și de alta a axei (segmente, unghiuri) sunt congruente.
Axa de simetrie este dreapta care împarte o figură geometrică în două figuri congruente (egale ca formă și dimensiune).
Dacă putem îndoi o figură geometrică de-a lungul unei drepte astfel încât cele două jumătăți obținute să coincidă perfect prin suprapunere, figura este simetrică, iar dreapta respectivă este axa sa de simetrie.
O figură geometrică poate avea una, mai multe axe de simetrie (orizontale, verticale sau oblice) sau chiar niciuna.
Numărul axelor de simetrie diferă în funcție de proprietățile fiecărei figuri geometrice:
| Figură geometrică | Număr de axe de simetrie | Descrierea axelor |
|---|---|---|
| Pătrat | 4 axe | O axă verticală, o axă orizontală (trec prin mijloacele laturilor opuse) și 2 axe oblice (diagonalele). |
| Dreptunghi | 2 axe | O axă verticală și o axă orizontală (trec prin mijloacele laturilor opuse). Atenție: diagonalele dreptunghiului NU sunt axe de simetrie! |
| Romb | 2 axe | Cele două diagonale ale sale. |
| Cerc | o infinitate | Orice dreaptă care trece prin centrul cercului (orice diametru). |
| Triunghi scalen (oarecare) | 0 axe | Nu prezintă nicio axă de simetrie. |
Simetricul unui punct: Simetricul unui punct \( M \) față de o dreaptă \( d \) este un punct \( M' \), astfel încât dreapta \( d \) este perpendiculară pe segmentul \( MM' \) în mijlocul acestuia.
Axa de simetrie a unui unghi: Axa de simetrie a unui unghi este bisectoarea acestuia. Ea împarte unghiul în două unghiuri congruente.
Dacă un unghi \( AOB \) are măsura de \( 80^\circ \), axa sa de simetrie (bisectoarea) îl va împărți în două unghiuri congruente, fiecare având măsura de:
\[ 80^\circ : 2 = 40^\circ \]
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Determinați care dintre următoarele litere mari ale alfabetului admit cel puțin o axă de simetrie:
A, L, O, F, E.
A, L, O, F, E.
Analizăm fiecare literă în parte:
- A are o axă de simetrie verticală (partea stângă se suprapune peste cea dreaptă).
- L nu are nicio axă de simetrie.
- O are două axe de simetrie (una orizontală și una verticală).
- F nu are nicio axă de simetrie.
- E are o axă de simetrie orizontală.
Problema 2 (Medie): Se consideră un unghi \( XOY \) cu măsura de \( 130^\circ \). Construim axa sa de simetrie, dreapta \( d \). Dacă punctul \( P \) se află pe latura \( OX \), iar punctul \( Q \) este simetricul lui \( P \) față de axa \( d \), stabiliți pe ce latură se află punctul \( Q \) și calculați măsura unghiului \( POQ \).
Axa de simetrie a unghiului \( XOY \) este bisectoarea sa, care împarte unghiul în două părți congruente.
Deoarece \( Q \) este simetricul punctului \( P \) (situat pe latura \( OX \)) față de această axă, prin pliere de-a lungul axei \( d \), latura \( OX \) se suprapune peste latura \( OY \).
Prin urmare, simetricul \( Q \) al punctului \( P \) se va afla pe latura \( OY \).
Deoarece semidreptele \( OP \) și \( OQ \) coincid cu laturile inițiale ale unghiului \( XOY \), rezultă că: \[ \measuredangle POQ = \measuredangle XOY = 130^\circ \] Răspuns: Punctul \( Q \) se află pe latura \( OY \), iar \( \measuredangle POQ = 130^\circ \).
Deoarece \( Q \) este simetricul punctului \( P \) (situat pe latura \( OX \)) față de această axă, prin pliere de-a lungul axei \( d \), latura \( OX \) se suprapune peste latura \( OY \).
Prin urmare, simetricul \( Q \) al punctului \( P \) se va afla pe latura \( OY \).
Deoarece semidreptele \( OP \) și \( OQ \) coincid cu laturile inițiale ale unghiului \( XOY \), rezultă că: \[ \measuredangle POQ = \measuredangle XOY = 130^\circ \] Răspuns: Punctul \( Q \) se află pe latura \( OY \), iar \( \measuredangle POQ = 130^\circ \).
Problema 3 (Dificilă): Se consideră un segment \( AB = 10 \text{ cm} \). Dreapta \( d \) este axa de simetrie a segmentului \( AB \). Un punct \( M \) se află pe axa \( d \).
a) Justificați de ce distanțele \( MA \) și \( MB \) sunt egale.
b) Dacă \( MA = 6 \text{ cm} \), aflați perimetrul triunghiului \( AMB \).
a) Justificați de ce distanțele \( MA \) și \( MB \) sunt egale.
b) Dacă \( MA = 6 \text{ cm} \), aflați perimetrul triunghiului \( AMB \).
a) Dreapta \( d \) fiind axa de simetrie a segmentului \( AB \), înseamnă că prin îndoire de-a lungul dreptei \( d \), punctul \( A \) se suprapune perfect peste punctul \( B \). Punctul \( M \), situat pe axa de simetrie, rămâne fix (se suprapune pe el însuși). Astfel, segmentul \( MA \) se suprapune peste segmentul \( MB \), rezultând că cele două segmente sunt congruente: \( MA \equiv MB \), deci \( MA = MB \).
b) Știm că:
b) Știm că:
- \( AB = 10 \text{ cm} \)
- \( MA = 6 \text{ cm} \)
- Din subpunctul a), rezultă că și \( MB = 6 \text{ cm} \)
