Cele mai importante aspecte ale lecției
Pătratul perfect este un număr de forma \( a^2 \) (ex: 0, 1, 4, 9, 16...). Ultima sa cifră poate fi doar 0, 1, 4, 5, 6 sau 9. Dacă un număr are ultima cifră 2, 3, 7 sau 8, atunci sigur NU este pătrat perfect.
Cubul perfect este un număr de forma \( a^3 \) (ex: 0, 1, 8, 27, 64...).
Metoda încadrării: Dacă un număr se află strict între două pătrate perfecte consecutive, \( n^2 < x < (n+1)^2 \), atunci acesta nu este pătrat perfect.
Ultima cifră a unei puteri se calculează prin împărțirea exponentului la 4 (perioada de repetare) și ridicarea ultimei cifre a bazei la puterea restului obținut.
Cubul perfect este un număr de forma \( a^3 \) (ex: 0, 1, 8, 27, 64...).
Metoda încadrării: Dacă un număr se află strict între două pătrate perfecte consecutive, \( n^2 < x < (n+1)^2 \), atunci acesta nu este pătrat perfect.
Ultima cifră a unei puteri se calculează prin împărțirea exponentului la 4 (perioada de repetare) și ridicarea ultimei cifre a bazei la puterea restului obținut.
Puterea a doua a unui număr natural se numește pătratul acelui număr natural.
\[ a^2 = a \cdot a \]
Se citește „a la pătrat” sau „pătratul lui a”.
Un număr natural care poate fi scris ca pătratul unui număr natural se numește pătrat perfect.
- \( 0^2 = 0 \)
- \( 1^2 = 1 \)
- \( 2^2 = 4 \)
- \( 3^2 = 9 \)
- \( 4^2 = 16 \)
Scrieți numerele 64, 100 și 400 sub formă de puteri cu exponentul 2.
- \( 64 = 8^2 \) (deoarece \( 8 \cdot 8 = 64 \))
- \( 100 = 10^2 \) (deoarece \( 10 \cdot 10 = 100 \))
- \( 400 = 20^2 \) (deoarece \( 20 \cdot 20 = 400 \))
Puterea a treia a unui număr natural se numește cubul acelui număr natural.
\[ a^3 = a \cdot a \cdot a \]
Se citește „a la cub” sau „cubul lui a”.
Un număr natural care poate fi scris ca puterea a treia a unui număr natural se numește cub perfect.
- \( 0^3 = 0 \)
- \( 1^3 = 1 \)
- \( 2^3 = 8 \)
- \( 3^3 = 27 \)
- \( 4^3 = 64 \)
Scrieți numărul 343 sub formă de putere cu exponentul 3.
Prin încercări, observăm că:
\( 7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343 \).
Deci, \( 343 = 7^3 \).
Ultima cifră a unui pătrat perfect, notată cu \( U(x^2) \), poate fi doar una dintre cifrele: 0, 1, 4, 5, 6 sau 9.
| Cifra unităților lui \( x \) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ultima cifră a lui \( x^2 \) | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 |
Niciun pătrat perfect nu poate avea ultima cifră 2, 3, 7 sau 8. Dacă un număr se termină în una dintre aceste cifre, acesta sigur nu este pătrat perfect.
Atenție! Nu toate numerele care se termină în 0, 1, 4, 5, 6 sau 9 sunt pătrate perfecte. De exemplu, 10, 24 sau 35 nu sunt pătrate perfecte.
Încadrarea între pătrate perfecte: Un număr natural cuprins între două pătrate perfecte consecutive nu este pătrat perfect:
\[ n^2 < x < (n+1)^2 \]
Între două pătrate perfecte consecutive \( n^2 \) și \( (n+1)^2 \) se află exact \( 2n \) numere naturale.
Restul împărțirii unui pătrat perfect la 4 este întotdeauna 0 sau 1.
Arătați că numărul 72 nu este pătrat perfect folosind încadrarea între două pătrate perfecte consecutive.
Pătratele perfecte cele mai apropiate de 72 sunt \( 64 = 8^2 \) și \( 81 = 9^2 \).
Deoarece avem relația:
\[ 8^2 < 72 < 9^2 \]
iar 8 și 9 sunt numere consecutive, rezultă că 72 nu este pătrat perfect.
Ultima cifră a puterilor consecutive ale unui număr natural se repetă periodic. Pentru majoritatea cifrelor, perioada de repetare este de 4 pași.
Se identifică ultima cifră a bazei. Ea determină evoluția ultimei cifre a puterii.
Se determină perioada de repetare a ultimei cifre pentru acea bază (de exemplu, pentru baza 2: \(2^1 \to 2\), \(2^2 \to 4\), \(2^3 \to 8\), \(2^4 \to 6\), iar apoi valorile se repetă).
Se împarte exponentul la lungimea perioadei (de regulă, 4) și se reține restul.
Ultima cifră a puterii va fi ultima cifră a bazei ridicată la puterea restului obținut. Dacă restul este 0, se consideră exponentul egal cu perioada (adică 4).
Generalizare pentru un număr cu ultima cifră 2:
\[ U(\overline{A2}^n) = \begin{cases} 2, & \text{dacă } n = 4k + 1 \\ 4, & \text{dacă } n = 4k + 2 \\ 8, & \text{dacă } n = 4k + 3 \\ 6, & \text{dacă } n = 4k \end{cases} \]
Determinați ultima cifră a numărului \( 2^{2030} \).
Ultima cifră a puterilor lui 2 are o perioadă de 4: \( 2, 4, 8, 6 \).
Împărțim exponentul 2030 la 4: \[ 2030 : 4 = 507 \text{ rest } 2 \] Deoarece restul este 2, ultima cifră căutată va fi a doua cifră din perioadă: \[ U(2^{2030}) = U(2^2) = 4 \]
Împărțim exponentul 2030 la 4: \[ 2030 : 4 = 507 \text{ rest } 2 \] Deoarece restul este 2, ultima cifră căutată va fi a doua cifră din perioadă: \[ U(2^{2030}) = U(2^2) = 4 \]
Probleme practice
Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Arătați că numărul 119 nu este pătrat perfect, utilizând regula ultimei cifre.
Arătați că numărul 119 nu este pătrat perfect, utilizând regula ultimei cifre.
Ultima cifră a numărului 119 este 9. Deoarece un pătrat perfect poate avea ultima cifră 9 (de exemplu, \(7^2 = 49\)), criteriul ultimei cifre nu ne oferă o dovadă directă.
Trebuie să folosim metoda încadrării: \[ 10^2 = 100 \] \[ 11^2 = 121 \] Deoarece \( 10^2 < 119 < 11^2 \), iar 10 și 11 sunt numere consecutive, rezultă că 119 nu este pătrat perfect.
Trebuie să folosim metoda încadrării: \[ 10^2 = 100 \] \[ 11^2 = 121 \] Deoarece \( 10^2 < 119 < 11^2 \), iar 10 și 11 sunt numere consecutive, rezultă că 119 nu este pătrat perfect.
Problema 2 (Dificultate: Medie)
Arătați că numărul \( a = 2023 + 2 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + 2022) \) este pătrat perfect.
Arătați că numărul \( a = 2023 + 2 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + 2022) \) este pătrat perfect.
Folosim formula sumei primelor \( n \) numere naturale consecutive (Suma lui Gauss):
\[ 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} \]
Pentru \( n = 2022 \), obținem:
\[ 1 + 2 + 3 + \dots + 2022 = \frac{2022 \cdot 2023}{2} \]
Înlocuim în expresia lui \( a \):
\[ a = 2023 + 2 \cdot \frac{2022 \cdot 2023}{2} \]
Simplificăm prin 2:
\[ a = 2023 + 2022 \cdot 2023 \]
Dăm factor comun pe 2023:
\[ a = 2023 \cdot (1 + 2022) \]
\[ a = 2023 \cdot 2023 = 2023^2 \]
Deoarece \( a \) poate fi scris sub forma \( 2023^2 \), rezultă că \( a \) este un pătrat perfect.
Problema 3 (Dificultate: Dificilă)
Determinați ultima cifră a numărului \( E = 203^{12} + 305^{16} + 607^{20} + 809^{31} \) și stabiliți dacă numărul \( E \) poate fi pătrat perfect.
Determinați ultima cifră a numărului \( E = 203^{12} + 305^{16} + 607^{20} + 809^{31} \) și stabiliți dacă numărul \( E \) poate fi pătrat perfect.
Calculăm ultima cifră pentru fiecare termen în parte:
1) Pentru \( 203^{12} \), ultima cifră depinde de puterile lui 3. Perioada este de 4: \( 3, 9, 7, 1 \). Exponentul \( 12 \) se împarte exact la 4 (\(12:4=3\) rest 0), deci ultima cifră corespunde celei de-a 4-a poziții din perioadă: \[ U(203^{12}) = U(3^4) = 1 \] 2) Pentru \( 305^{16} \), baza are ultima cifră 5. Orice putere a unui număr terminat în 5 are ultima cifră 5: \[ U(305^{16}) = 5 \] 3) Pentru \( 607^{20} \), ultima cifră depinde de puterile lui 7. Perioada este de 4: \( 7, 9, 3, 1 \). Exponentul \( 20 \) se împarte exact la 4 (\(20:4=5\) rest 0): \[ U(607^{20}) = U(7^4) = 1 \] 4) Pentru \( 809^{31} \), baza are ultima cifră 9. Perioada puterilor lui 9 este 2: \( 9 \) (la exponent impar) și \( 1 \) (la exponent par). Deoarece 31 este impar: \[ U(809^{31}) = 9 \] Calculăm ultima cifră a sumei: \[ U(E) = U(1 + 5 + 1 + 9) = U(16) = 6 \] Concluzie: Deoarece ultima cifră a lui \( E \) este 6 (iar un pătrat perfect poate avea ultima cifră 6), numărul \( E \) ar putea fi pătrat perfect (nu este exclus prin criteriul ultimei cifre).
1) Pentru \( 203^{12} \), ultima cifră depinde de puterile lui 3. Perioada este de 4: \( 3, 9, 7, 1 \). Exponentul \( 12 \) se împarte exact la 4 (\(12:4=3\) rest 0), deci ultima cifră corespunde celei de-a 4-a poziții din perioadă: \[ U(203^{12}) = U(3^4) = 1 \] 2) Pentru \( 305^{16} \), baza are ultima cifră 5. Orice putere a unui număr terminat în 5 are ultima cifră 5: \[ U(305^{16}) = 5 \] 3) Pentru \( 607^{20} \), ultima cifră depinde de puterile lui 7. Perioada este de 4: \( 7, 9, 3, 1 \). Exponentul \( 20 \) se împarte exact la 4 (\(20:4=5\) rest 0): \[ U(607^{20}) = U(7^4) = 1 \] 4) Pentru \( 809^{31} \), baza are ultima cifră 9. Perioada puterilor lui 9 este 2: \( 9 \) (la exponent impar) și \( 1 \) (la exponent par). Deoarece 31 este impar: \[ U(809^{31}) = 9 \] Calculăm ultima cifră a sumei: \[ U(E) = U(1 + 5 + 1 + 9) = U(16) = 6 \] Concluzie: Deoarece ultima cifră a lui \( E \) este 6 (iar un pătrat perfect poate avea ultima cifră 6), numărul \( E \) ar putea fi pătrat perfect (nu este exclus prin criteriul ultimei cifre).
