Copertă

VI.2. Compararea Fracțiilor

Rezolvări + Recapitulare

Alege rezolvarea exercițiului:

Exercițiul 5

Rezolvare scurtă

Fracțiile de ordonat sunt: \( \frac{2}{8} \), \( \frac{2}{3} \), \( \frac{2}{5} \), \( \frac{2}{9} \), \( \frac{2}{4} \) și \( \frac{2}{7} \). Desenează șase segmente orizontale egale, unul sub altul. 1. Împarte primul segment în 9 părți egale și colorează primele 2 (reprezintă \( \frac{2}{9} \)). 2. Împarte al doilea segment în 8 părți egale și colorează primele 2 (reprezintă \( \frac{2}{8} \)). 3. Împarte al treilea segment în 7 părți egale și colorează primele 2 (reprezintă \( \frac{2}{7} \)). 4. Împarte al patrulea segment în 5 părți egale și colorează primele 2 (reprezintă \( \frac{2}{5} \)). 5. Împarte al cincilea segment în 4 părți egale și colorează primele 2 (reprezintă \( \frac{2}{4} \)). 6. Împarte al șaselea segment în 3 părți egale și colorează primele 2 (reprezintă \( \frac{2}{3} \)). Comparând lungimile segmentelor colorate, observăm că: \( \frac{2}{9} < \frac{2}{8} < \frac{2}{7} < \frac{2}{5} < \frac{2}{4} < \frac{2}{3} \) Deoarece numărătorii sunt egali, ordinea crescătoare este determinată de ordinea descrescătoare a numitorilor. Ordinea crescătoare: \( \frac{2}{9}, \frac{2}{8}, \frac{2}{7}, \frac{2}{5}, \frac{2}{4}, \frac{2}{3} \)

Rezolvare detaliată

Pentru a ordona crescător fracțiile \( \frac{2}{8} \), \( \frac{2}{3} \), \( \frac{2}{5} \), \( \frac{2}{9} \), \( \frac{2}{4} \) și \( \frac{2}{7} \), vom analiza lungimea segmentelor reprezentative pentru fiecare.

Pasul 1: Reprezentarea grafică a fracțiilor

Vom desena șase segmente de dreaptă de aceeași lungime (care reprezintă întregul) și le vom împărți în numărul de părți indicat de numitorul fiecărei fracții. Din fiecare segment, vom colora primele două părți (conform numărătorului 2).
Desenează șase segmente orizontale egale, unul sub altul. 1. Împarte primul segment în 9 părți egale și colorează primele 2 (reprezintă \( \frac{2}{9} \)). 2. Împarte al doilea segment în 8 părți egale și colorează primele 2 (reprezintă \( \frac{2}{8} \)). 3. Împarte al treilea segment în 7 părți egale și colorează primele 2 (reprezintă \( \frac{2}{7} \)). 4. Împarte al patrulea segment în 5 părți egale și colorează primele 2 (reprezintă \( \frac{2}{5} \)). 5. Împarte al cincilea segment în 4 părți egale și colorează primele 2 (reprezintă \( \frac{2}{4} \)). 6. Împarte al șaselea segment în 3 părți egale și colorează primele 2 (reprezintă \( \frac{2}{3} \)).

Pasul 2: Compararea segmentelor colorate

Observăm că, deși numărătorul este același pentru toate fracțiile (toate au 2 părți colorate), mărimea unei singure părți diferă în funcție de numitor: - Cu cât numitorul este mai mare, cu atât întregul a fost împărțit în mai multe părți, deci fiecare parte este mai mică. - Prin urmare, segmentul colorat cel mai scurt corespunde fracției cu cel mai mare numitor.

Pasul 3: Ordonarea crescătoare

Ordonarea crescătoare înseamnă așezarea fracțiilor de la cea mai mică valoare la cea mai mare. Comparând lungimile părților colorate pe segmente, obținem ordinea: 1. \( \frac{2}{9} \) (cea mai mică parte, deoarece unitatea este împărțită în 9) 2. \( \frac{2}{8} \) 3. \( \frac{2}{7} \) 4. \( \frac{2}{5} \) 5. \( \frac{2}{4} \) 6. \( \frac{2}{3} \) (cea mai mare parte, deoarece unitatea este împărțită în doar 3 părți) Regula învățată este: **Dintre două fracții cu același numărător, este mai mică cea cu numitorul mai mare.**

Rezolvare pe scurt:

Fracțiile au același numărător (2). Dintre fracțiile cu același numărător, este mai mică cea cu numitorul mai mare. Reprezentare segmentară: \( \frac{2}{9} \rightarrow \) segmentul unitar este cel mai mic. \( \frac{2}{3} \rightarrow \) segmentul unitar este cel mai mare. Ordinea crescătoare: \( \frac{2}{9} < \frac{2}{8} < \frac{2}{7} < \frac{2}{5} < \frac{2}{4} < \frac{2}{3} \)

Cele mai importante aspecte ale lecției

Regula de aur: Dintre două fracții cu același numărător, este mai mare cea care are numitorul mai mic!
Exemple rapide:
  • \( \frac{1}{2} > \frac{1}{4} \) (jumătatea este mai mare decât sfertul).
  • \( \frac{3}{7} < \frac{3}{5} \) (împărțirea în 5 părți oferă bucăți mai mari decât împărțirea în 7 părți).
Atenție: Compararea are sens doar dacă fracțiile se referă la același întreg sau la întregi de dimensiuni egale.
Atunci când comparăm două fracții care au numărătorii egali (reprezintă același număr de părți), dimensiunea părților este cea care decide care fracție este mai mare.
Dintre două fracții cu numărătorii egali, este mai mare fracția cu numitorul mai mic (deoarece întregul a fost împărțit în mai puține părți, deci fiecare parte este mai mare).
\[ \frac{a}{b} > \frac{a}{c} \quad \text{dacă} \quad b < c \quad (\text{pentru } a, b, c > 0) \]
Fracția \( \frac{2}{3} > \frac{2}{4} \), deoarece numitorul \( 3 \) este mai mic decât numitorul \( 4 \).
O reprezentare grafică a două segmente de aceeași lungime, marcate de la START la SOSIRE. Primul segment este divizat în cincimi (5 părți egale), evidențiind prin colorare fracția \( \frac{3}{5} \). Al doilea segment este divizat în zecimi (10 părți egale), evidențiind prin colorare fracția \( \frac{3}{10} \). Se observă vizual că lungimea corespunzătoare pentru \( \frac{3}{5} \) este mai mare decât cea pentru \( \frac{3}{10} \).
Scrieți semnul de relație potrivit (\( < \) sau \( > \)) între fracțiile: \[ \frac{3}{5} \quad \square \quad \frac{3}{10} \]
Deoarece numărătorii sunt egali (\( 3 = 3 \)), comparăm numitorii.
Cum \( 5 < 10 \), înseamnă că părțile de o cincime sunt mai mari decât cele de o zecime.
Prin urmare: \[ \frac{3}{5} > \frac{3}{10} \]
Pentru a putea compara două fracții, acestea trebuie să reprezinte părți ale aceluiași întreg sau părți din întregi identici.
Nu putem compara jumătatea unei tablete mici de ciocolată cu jumătatea unei tablete uriașe de ciocolată pentru a spune care este mai mare în mod absolut, deoarece întregii nu sunt identici.
Două vase cilindrice identice (care reprezintă doi întregi identici). Primul vas este gradat în treimi și conține lichid până la nivelul \( \frac{2}{3} \). Al doilea vas este gradat în pătrimi și conține lichid până la nivelul \( \frac{2}{4} \). Nivelul lichidului în primul vas este vizibil mai înalt decât în al doilea, ilustrând că \( \frac{2}{3} > \frac{2}{4} \).
Dacă avem două pizza de dimensiuni diferite, putem afirma cu certitudine că \( \frac{1}{4} \) din prima pizza este egal cu \( \frac{1}{4} \) din a doua pizza?
Răspuns: Nu. Fracțiile reprezintă aceeași unitate fracționară (\( \frac{1}{4} \)), dar deoarece pizza de la care pornim (întregul) diferă ca mărime, sferturile obținute vor fi diferite ca dimensiune reală. Compararea corectă se poate face doar dacă pornim de la întregi identici.

Practice problems

Problema 1 (Ușoară): Compară următoarele perechi de fracții, scriind semnul de relație potrivit (\( < \), \( > \), \( = \)):
  1. \( \frac{5}{6} \quad \square \quad \frac{5}{8} \)
  2. \( \frac{8}{9} \quad \square \quad \frac{8}{10} \)
  3. \( \frac{6}{8} \quad \square \quad \frac{6}{7} \)
Pentru toate perechile, numărătorii sunt egali, deci fracția mai mare este cea cu numitorul mai mic:
  1. \( \frac{5}{6} > \frac{5}{8} \), deoarece \( 6 < 8 \).
  2. \( \frac{8}{9} > \frac{8}{10} \), deoarece \( 9 < 10 \).
  3. \( \frac{6}{8} < \frac{6}{7} \), deoarece \( 8 > 7 \) (numitorul mai mare dă fracția mai mică).
Problema 2 (Medie): Ordonează crescător (de la cea mai mică la cea mai mare) următoarele fracții: \[ \frac{4}{9}, \quad \frac{4}{5}, \quad \frac{4}{12}, \quad \frac{4}{7} \]
Toate fracțiile au același numărător (\( 4 \)).
Pentru a le ordona crescător, trebuie să le așezăm de la cea cu numitorul cel mai mare (care reprezintă valoarea cea mai mică) la cea cu numitorul cel mai mic (care reprezintă valoarea cea mai mare).
Comparăm numitorii: \( 12 > 9 > 7 > 5 \).
Ordinea crescătoare a fracțiilor este: \[ \frac{4}{12} < \frac{4}{9} < \frac{4}{7} < \frac{4}{5} \]
Problema 3 (Dificilă): Determină toate numerele naturale \( x \) pentru care este adevărată relația: \[ \frac{7}{9} < \frac{7}{x} \le \frac{7}{5} \]
Fracțiile au același numărător (\( 7 \)).
În acest caz, ordinea valorilor fracțiilor este inversă ordinii numitorilor lor.
Relația \( \frac{7}{9} < \frac{7}{x} \le \frac{7}{5} \) se traduce pentru numitori astfel: \[ 9 > x \ge 5 \] Ceea ce înseamnă că: \[ 5 \le x < 9 \] Numerele naturale care îndeplinesc această condiție sunt: \[ x \in \{5, 6, 7, 8\} \]

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

17977 rezolvări

932 lecții și teste

Иконка Математика

Fizică

572 rezolvări

394 lecții și teste

Иконка Физика
Clasa a 6-a

Chimie

29 rezolvări

214 lecții și teste

Иконка Химия

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text
Află mai multe