Copertă

VI.2. Compararea Fracțiilor

Rezolvări + Recapitulare

Alege rezolvarea exercițiului:

Exercițiul 7

Rezolvare scurtă

Conform axei numerelor din imagine: \[ \frac{1}{5} = \frac{2}{10} \] \[ \frac{2}{5} = \frac{4}{10} \] \[ \frac{3}{5} = \frac{6}{10} \] \[ \frac{4}{5} = \frac{8}{10} \] Poziționarea fracțiilor pe axă de la stânga la dreapta: \[ \frac{2}{10} < \frac{3}{10} < \frac{4}{10} < \frac{6}{10} < \frac{8}{10} \] Înlocuind cu fracțiile inițiale conform corespondențelor de pe axă: \[ \frac{2}{10} < \frac{3}{10} < \frac{2}{5} < \frac{3}{5} < \frac{8}{10} \]

Rezolvare detaliată

Pentru a ordona fracțiile crescător folosind axa numerelor, vom identifica poziția fiecăreia pe axă și le vom scrie de la stânga la dreapta (de la cea mai mică la cea mai mare).

Pasul 1: Identificarea fracțiilor pe axa numerelor

Privind imaginea axei numerelor, observăm că unitatea (întregul de la 0 la 1) este împărțită în 10 părți egale (numitorul 10). De asemenea, axa ne arată corespondența dintre fracțiile cu numitorul 5 și cele cu numitorul 10. Să localizăm fracțiile date pe axă:
  • \( \frac{2}{10} \): este a doua liniuță după 0. Observăm că ea corespunde fracției \( \frac{1}{5} \).
  • \( \frac{3}{10} \): este a treia liniuță după 0.
  • \( \frac{2}{5} \): uitându-ne pe axă la rândul fracțiilor cu numitorul 5, vedem că \( \frac{2}{5} \) se află deasupra fracției \( \frac{4}{10} \).
  • \( \frac{3}{5} \): uitându-ne pe axă, vedem că \( \frac{3}{5} \) se află deasupra fracției \( \frac{6}{10} \).
  • \( \frac{8}{10} \): este a opta liniuță după 0, situată sub \( \frac{4}{5} \).

Pasul 2: Compararea pozițiilor pe axă

O fracție situată mai la stânga pe axa numerelor este mai mică decât o fracție situată mai la dreapta. Comparând pozițiile identificate mai sus, observăm următoarea ordine de la stânga la dreapta:
  1. \( \frac{2}{10} \) (poziția 2 pe axa cu zecimi)
  2. \( \frac{3}{10} \) (poziția 3 pe axa cu zecimi)
  3. \( \frac{2}{5} \) (care corespunde lui \( \frac{4}{10} \), deci poziția 4)
  4. \( \frac{3}{5} \) (care corespunde lui \( \frac{6}{10} \), deci poziția 6)
  5. \( \frac{8}{10} \) (poziția 8 pe axa cu zecimi)

Pasul 3: Scrierea ordinii crescătoare

Folosind observațiile de pe axă, ordonăm fracțiile cerute: \[ \frac{2}{10} < \frac{3}{10} < \frac{2}{5} < \frac{3}{5} < \frac{8}{10} \] Această ordine este corectă deoarece, transformând totul în zecimi conform axei, avem: \[ \frac{2}{10} < \frac{3}{10} < \frac{4}{10} < \frac{6}{10} < \frac{8}{10} \]

Rezolvare pe scurt:

Pe axă: \( \frac{2}{5} = \frac{4}{10} \) și \( \frac{3}{5} = \frac{6}{10} \). Ordinea pe axă: \( \frac{2}{10} < \frac{3}{10} < \frac{4}{10} < \frac{6}{10} < \frac{8}{10} \). Rezultat: \( \frac{2}{10}, \frac{3}{10}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{8}{10} \).

Cele mai importante aspecte ale lecției

Regula de aur: Dintre două fracții cu același numărător, este mai mare cea care are numitorul mai mic!
Exemple rapide:
  • \( \frac{1}{2} > \frac{1}{4} \) (jumătatea este mai mare decât sfertul).
  • \( \frac{3}{7} < \frac{3}{5} \) (împărțirea în 5 părți oferă bucăți mai mari decât împărțirea în 7 părți).
Atenție: Compararea are sens doar dacă fracțiile se referă la același întreg sau la întregi de dimensiuni egale.
Atunci când comparăm două fracții care au numărătorii egali (reprezintă același număr de părți), dimensiunea părților este cea care decide care fracție este mai mare.
Dintre două fracții cu numărătorii egali, este mai mare fracția cu numitorul mai mic (deoarece întregul a fost împărțit în mai puține părți, deci fiecare parte este mai mare).
\[ \frac{a}{b} > \frac{a}{c} \quad \text{dacă} \quad b < c \quad (\text{pentru } a, b, c > 0) \]
Fracția \( \frac{2}{3} > \frac{2}{4} \), deoarece numitorul \( 3 \) este mai mic decât numitorul \( 4 \).
O reprezentare grafică a două segmente de aceeași lungime, marcate de la START la SOSIRE. Primul segment este divizat în cincimi (5 părți egale), evidențiind prin colorare fracția \( \frac{3}{5} \). Al doilea segment este divizat în zecimi (10 părți egale), evidențiind prin colorare fracția \( \frac{3}{10} \). Se observă vizual că lungimea corespunzătoare pentru \( \frac{3}{5} \) este mai mare decât cea pentru \( \frac{3}{10} \).
Scrieți semnul de relație potrivit (\( < \) sau \( > \)) între fracțiile: \[ \frac{3}{5} \quad \square \quad \frac{3}{10} \]
Deoarece numărătorii sunt egali (\( 3 = 3 \)), comparăm numitorii.
Cum \( 5 < 10 \), înseamnă că părțile de o cincime sunt mai mari decât cele de o zecime.
Prin urmare: \[ \frac{3}{5} > \frac{3}{10} \]
Pentru a putea compara două fracții, acestea trebuie să reprezinte părți ale aceluiași întreg sau părți din întregi identici.
Nu putem compara jumătatea unei tablete mici de ciocolată cu jumătatea unei tablete uriașe de ciocolată pentru a spune care este mai mare în mod absolut, deoarece întregii nu sunt identici.
Două vase cilindrice identice (care reprezintă doi întregi identici). Primul vas este gradat în treimi și conține lichid până la nivelul \( \frac{2}{3} \). Al doilea vas este gradat în pătrimi și conține lichid până la nivelul \( \frac{2}{4} \). Nivelul lichidului în primul vas este vizibil mai înalt decât în al doilea, ilustrând că \( \frac{2}{3} > \frac{2}{4} \).
Dacă avem două pizza de dimensiuni diferite, putem afirma cu certitudine că \( \frac{1}{4} \) din prima pizza este egal cu \( \frac{1}{4} \) din a doua pizza?
Răspuns: Nu. Fracțiile reprezintă aceeași unitate fracționară (\( \frac{1}{4} \)), dar deoarece pizza de la care pornim (întregul) diferă ca mărime, sferturile obținute vor fi diferite ca dimensiune reală. Compararea corectă se poate face doar dacă pornim de la întregi identici.

Practice problems

Problema 1 (Ușoară): Compară următoarele perechi de fracții, scriind semnul de relație potrivit (\( < \), \( > \), \( = \)):
  1. \( \frac{5}{6} \quad \square \quad \frac{5}{8} \)
  2. \( \frac{8}{9} \quad \square \quad \frac{8}{10} \)
  3. \( \frac{6}{8} \quad \square \quad \frac{6}{7} \)
Pentru toate perechile, numărătorii sunt egali, deci fracția mai mare este cea cu numitorul mai mic:
  1. \( \frac{5}{6} > \frac{5}{8} \), deoarece \( 6 < 8 \).
  2. \( \frac{8}{9} > \frac{8}{10} \), deoarece \( 9 < 10 \).
  3. \( \frac{6}{8} < \frac{6}{7} \), deoarece \( 8 > 7 \) (numitorul mai mare dă fracția mai mică).
Problema 2 (Medie): Ordonează crescător (de la cea mai mică la cea mai mare) următoarele fracții: \[ \frac{4}{9}, \quad \frac{4}{5}, \quad \frac{4}{12}, \quad \frac{4}{7} \]
Toate fracțiile au același numărător (\( 4 \)).
Pentru a le ordona crescător, trebuie să le așezăm de la cea cu numitorul cel mai mare (care reprezintă valoarea cea mai mică) la cea cu numitorul cel mai mic (care reprezintă valoarea cea mai mare).
Comparăm numitorii: \( 12 > 9 > 7 > 5 \).
Ordinea crescătoare a fracțiilor este: \[ \frac{4}{12} < \frac{4}{9} < \frac{4}{7} < \frac{4}{5} \]
Problema 3 (Dificilă): Determină toate numerele naturale \( x \) pentru care este adevărată relația: \[ \frac{7}{9} < \frac{7}{x} \le \frac{7}{5} \]
Fracțiile au același numărător (\( 7 \)).
În acest caz, ordinea valorilor fracțiilor este inversă ordinii numitorilor lor.
Relația \( \frac{7}{9} < \frac{7}{x} \le \frac{7}{5} \) se traduce pentru numitori astfel: \[ 9 > x \ge 5 \] Ceea ce înseamnă că: \[ 5 \le x < 9 \] Numerele naturale care îndeplinesc această condiție sunt: \[ x \in \{5, 6, 7, 8\} \]

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

17977 rezolvări

932 lecții și teste

Иконка Математика

Fizică

572 rezolvări

394 lecții și teste

Иконка Физика
Clasa a 6-a

Chimie

29 rezolvări

214 lecții și teste

Иконка Химия

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text
Află mai multe