Cele mai importante aspecte ale lecției
Concluzii cheie:
- Fracție dintr-un număr: Se înmulțește fracția cu numărul respectiv: \(\frac{a}{b} \text{ din } m = \frac{a \cdot m}{b}\). Ex: \(\frac{1}{2} \text{ din } 160 = 80\).
- Fracție dintr-o altă fracție: Se înmulțesc cele două fracții între ele: \(\frac{a}{b} \text{ din } \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\). Ex: \(\frac{1}{2} \text{ din } \frac{4}{5} = \frac{2}{5}\).
- Procent dintr-un număr/fracție: Un procent \(p\%\) se scrie sub forma \(\frac{p}{100}\) și se înmulțește cu valoarea dată. Ex: \(25\% \text{ din } 1500 = \frac{25}{100} \cdot 1500 = 375\).
- Numere mixte: Se transformă întotdeauna în fracții ordinare înainte de a efectua înmulțirile.
Determinarea unei părți fracționare dintr-un număr întreg reprezintă operația de înmulțire a acelei fracții cu numărul respectiv.
Pentru a afla o fracție dintr-un număr natural, înmulțim numărul cu numărătorul fracției și împărțim rezultatul obținut la numitorul acesteia.
\[ \frac{a}{b} \text{ din } m = \frac{a}{b} \cdot m = \frac{a \cdot m}{b} \]
unde \( a, b, m \) sunt numere naturale, cu \( b \neq 0 \).
Să calculăm \(\frac{3}{5}\) din \(400\) de lei:
\[ \frac{3}{5} \cdot 400 = \frac{3 \cdot 400}{5} = \frac{1200}{5} = 240 \text{ lei} \]
Calculați \(\frac{8}{9}\) din \(702\).
Aplicăm formula de calcul:
\[ \frac{8}{9} \cdot 702 = \frac{8 \cdot 702}{9} \]
Simplificăm \(702\) cu \(9\) (deoarece \(702 : 9 = 78\)):
\[ 8 \cdot 78 = 624 \]
Răspuns: \(624\)
Aflarea unei părți dintr-o altă mărime fracționară se realizează prin înmulțirea celor două fracții.
Pentru a afla o fracție dintr-o fracție ordinară, se efectuează produsul celor două fracții (se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei).
\[ \frac{a}{b} \text{ din } \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \]
unde \( a, b, c, d \) sunt numere naturale, cu \( b \neq 0 \) și \( d \neq 0 \).
Dacă în calcul intervin numere mixte, acestea trebuie transformate în fracții ordinare înainte de a efectua înmulțirea. Formula de transformare este:
\[ x\frac{y}{z} = \frac{x \cdot z + y}{z} \]
Calculați \(1\frac{4}{5}\) din \(2\frac{1}{27}\):
Mai întâi transformăm numerele mixte în fracții ordinare: \[ 1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5} \] \[ 2\frac{1}{27} = \frac{2 \cdot 27 + 1}{27} = \frac{55}{27} \] Înmulțim fracțiile obținute și simplificăm pe diagonală prin \(9\) și prin \(5\): \[ \frac{9}{5} \cdot \frac{55}{27} = \frac{1 \cdot 11}{1 \cdot 3} = \frac{11}{3} \]
Mai întâi transformăm numerele mixte în fracții ordinare: \[ 1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5} \] \[ 2\frac{1}{27} = \frac{2 \cdot 27 + 1}{27} = \frac{55}{27} \] Înmulțim fracțiile obținute și simplificăm pe diagonală prin \(9\) și prin \(5\): \[ \frac{9}{5} \cdot \frac{55}{27} = \frac{1 \cdot 11}{1 \cdot 3} = \frac{11}{3} \]
Calculați \(\frac{2}{5}\) din \(7\frac{1}{2}\).
Transformăm numărul mixt în fracție ordinară:
\[ 7\frac{1}{2} = \frac{7 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{15}{2} \]
Calculăm produsul celor două fracții:
\[ \frac{2}{5} \cdot \frac{15}{2} = \frac{2 \cdot 15}{5 \cdot 2} \]
Simplificăm pe diagonală prin \(2\) și prin \(5\):
\[ \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 3 \]
Răspuns: \(3\)
Un procent reprezintă o fracție ordinară cu numitorul \(100\). Se notează cu \(p\%\) și are semnificația de \( \frac{p}{100} \).
Pentru a calcula un procent \(p\%\) dintr-un număr natural sau dintr-o fracție ordinară, înmulțim fracția \(\frac{p}{100}\) cu numărul sau fracția ordinară respectivă.
a) Procent dintr-un număr natural \(n\):
\[ p\% \text{ din } n = \frac{p}{100} \cdot n \]
b) Procent dintr-o fracție ordinară \(\frac{a}{b}\):
\[ p\% \text{ din } \frac{a}{b} = \frac{p}{100} \cdot \frac{a}{b} \]
Într-o școală sunt \(1500\) de elevi, iar \(75\%\) dintre aceștia folosesc transportul în comun. Numărul elevilor care folosesc transportul în comun este:
\[ 75\% \text{ din } 1500 = \frac{75}{100} \cdot 1500 = 75 \cdot 15 = 1125 \text{ elevi} \]
Calculați \(20\%\) din \(\frac{35}{4}\).
Scriem procentul sub formă de fracție și înmulțim:
\[ 20\% \text{ din } \frac{35}{4} = \frac{20}{100} \cdot \frac{35}{4} \]
Simplificăm fracția \(\frac{20}{100}\) prin \(20\) pentru a obține \(\frac{1}{5}\):
\[ \frac{1}{5} \cdot \frac{35}{4} = \frac{1 \cdot 35}{5 \cdot 4} \]
Simplificăm prin \(5\) și obținem:
\[ \frac{7}{4} \]
Răspuns: \(\frac{7}{4}\) (sau sub formă de număr mixt \(1\frac{3}{4}\))
Probleme practice
Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Calculează \(\frac{2}{3}\) din \(234\).
Calculează \(\frac{2}{3}\) din \(234\).
Aplicăm regula înmulțirii unei fracții cu un număr natural:
\[ \frac{2}{3} \cdot 234 = \frac{2 \cdot 234}{3} \]
Deoarece \(234\) se împarte exact la \(3\) (\(234 : 3 = 78\)), simplificăm și obținem:
\[ 2 \cdot 78 = 156 \]
Răspuns: \(156\)
Problema 2 (Dificultate: Medie)
Calculează și adu rezultatul la forma ireductibilă: \(\frac{8}{11}\) din \(\frac{55}{56}\).
Calculează și adu rezultatul la forma ireductibilă: \(\frac{8}{11}\) din \(\frac{55}{56}\).
Înmulțim cele două fracții ordinare și simplificăm pe diagonală:
\[ \frac{8}{11} \cdot \frac{55}{56} \]
Simplificăm numărătorul \(8\) cu numitorul \(56\) prin \(8\) și numitorul \(11\) cu numărătorul \(55\) prin \(11\):
\[ \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 7} = \frac{5}{7} \]
Fracția obținută, \(\frac{5}{7}\), este ireductibilă.
Răspuns: \(\frac{5}{7}\)
Problema 3 (Dificultate: Medie)
Determină \(18\%\) din \(2500\) kg.
Determină \(18\%\) din \(2500\) kg.
Scriem procentul sub formă de fracție cu numitorul \(100\) și înmulțim cu mărimea dată:
\[ 18\% \text{ din } 2500 = \frac{18}{100} \cdot 2500 \]
Simplificăm prin \(100\) și efectuăm înmulțirea rămasă:
\[ 18 \cdot 25 = 450 \text{ kg} \]
Răspuns: \(450\) kg
Problema 4 (Dificultate: Dificilă)
Prețul unui obiect este de \(200\) de lei. Prețul se mărește cu \(10\%\), iar după câteva zile noul preț scade cu \(10\%\). Care este prețul final al obiectului după cele două modificări?
Prețul unui obiect este de \(200\) de lei. Prețul se mărește cu \(10\%\), iar după câteva zile noul preț scade cu \(10\%\). Care este prețul final al obiectului după cele două modificări?
Efectuăm calculele în mod succesiv:
Etapa 1: Calculăm mărirea de \(10\%\) aplicată prețului inițial: \[ 10\% \text{ din } 200 = \frac{10}{100} \cdot 200 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ lei} \] Noul preț după mărire este: \[ 200 + 20 = 220 \text{ lei} \]
Etapa 2: Calculăm scăderea de \(10\%\) aplicată noului preț de \(220\) de lei: \[ 10\% \text{ din } 220 = \frac{10}{100} \cdot 220 = 10 \cdot 2,2 = 22 \text{ lei} \] Prețul final după ieftinire devine: \[ 220 - 22 = 198 \text{ lei} \] Răspuns: \(198\) lei
Etapa 1: Calculăm mărirea de \(10\%\) aplicată prețului inițial: \[ 10\% \text{ din } 200 = \frac{10}{100} \cdot 200 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ lei} \] Noul preț după mărire este: \[ 200 + 20 = 220 \text{ lei} \]
Etapa 2: Calculăm scăderea de \(10\%\) aplicată noului preț de \(220\) de lei: \[ 10\% \text{ din } 220 = \frac{10}{100} \cdot 220 = 10 \cdot 2,2 = 22 \text{ lei} \] Prețul final după ieftinire devine: \[ 220 - 22 = 198 \text{ lei} \] Răspuns: \(198\) lei
