Cele mai importante aspecte ale lecției
- Același numitor: Te uiți la numărător. Fracția cu numărătorul mai mare este mai mare.
Exemplu: \( \frac{5}{8} > \frac{3}{8} \) (deoarece \(5 > 3\)). - Același numărător: Te uiți la numitor. Fracția cu numitorul mai mic este mai mare (bucățile tăiate sunt mai mari).
Exemplu: \( \frac{2}{3} > \frac{2}{5} \) (deoarece \(3 < 5\)).
Dintre două fracții care au același numitor, este mai mare fracția cu numărătorul mai mare.
\[ \text{Dacă } a < b \text{, atunci } \frac{a}{m} < \frac{b}{m} \quad (m \neq 0) \]
\[ \text{Dacă } \frac{a}{m} < \frac{b}{m} \text{, atunci } a < b \quad (m \neq 0) \]
- \( \frac{1}{6} < \frac{3}{6} \)
- \( \frac{5}{12} < \frac{9}{12} \)
Comparați fracțiile \( \frac{4}{15} \) și \( \frac{7}{15} \).
Fracțiile au același numitor (\(15\)). Comparăm numărătorii:
\[ 4 < 7 \implies \frac{4}{15} < \frac{7}{15} \]
Dintre două fracții cu același numărător, este mai mare fracția cu numitorul mai mic (deoarece întregul este împărțit în mai puține părți, deci fiecare parte este mai mare).
\[ \text{Dacă } m < n \text{, atunci } \frac{a}{m} > \frac{a}{n} \quad (m, n \neq 0) \]
\[ \text{Dacă } \frac{a}{m} < \frac{a}{n} \text{, atunci } m > n \quad (m, n \neq 0) \]
- \( \frac{1}{3} > \frac{1}{6} \)
- \( \frac{5}{12} < \frac{5}{6} \)
Comparați fracțiile \( \frac{8}{11} \) și \( \frac{8}{9} \).
Fracțiile au același numărător (\(8\)). Comparăm numitorii: deoarece \(9 < 11\), fracția cu numitorul mai mic este mai mare.
\[ \frac{8}{9} > \frac{8}{11} \quad \text{sau} \quad \frac{8}{11} < \frac{8}{9} \]
Probleme practice
Problemă 1 (Ușoară): Comparați următoarele perechi de fracții, scriind semnul corespunzător (\(<\), \(>\) sau \(=\)):
- \( \frac{5}{9} \) și \( \frac{8}{9} \)
- \( \frac{7}{10} \) și \( \frac{7}{12} \)
- Fracțiile au același numitor (\(9\)). Deoarece \(5 < 8\), rezultă: \[ \frac{5}{9} < \frac{8}{9} \]
- Fracțiile au același numărător (\(7\)). Deoarece numitorul \(10 < 12\), fracția cu numitorul mai mic este mai mare: \[ \frac{7}{10} > \frac{7}{12} \]
Problemă 2 (Medie): Ordonează crescător (de la cea mai mică la cea mai mare) următoarele fracții:
\[ \frac{4}{9}, \ \frac{4}{5}, \ \frac{4}{15}, \ \frac{4}{7} \]
Toate fracțiile au același numărător (\(4\)).
În acest caz, cu cât numitorul este mai mare, cu atât fracția este mai mică.
Ordonăm numitorii descrescător pentru a obține ordinea crescătoare a fracțiilor:
\[ 15 > 9 > 7 > 5 \]
Prin urmare, ordinea crescătoare a fracțiilor este:
\[ \frac{4}{15} < \frac{4}{9} < \frac{4}{7} < \frac{4}{5} \]
Problemă 3 (Dificilă): Determinați toate numerele naturale \(x\) pentru care este adevărată relația:
\[ \frac{3}{10} < \frac{x}{10} \le \frac{7}{10} \]
Deoarece toate fracțiile au același numitor (\(10\)), relația de ordine dintre fracții se păstrează și între numărătorii lor.
Astfel, putem scrie inegalitatea pentru numărători:
\[ 3 < x \le 7 \]
Numerele naturale care verifică această relație sunt:
\[ x \in \{4, 5, 6, 7\} \]
