Cele mai importante aspecte ale lecției
Definiție: Pentru a ridica o fracție la o putere, se ridică atât numărătorul, cât și numitorul la acel exponent: \(\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n}\).
Proprietăți fundamentale:
Proprietăți fundamentale:
- \(\left( \frac{a}{b} \right)^1 = \frac{a}{b}\) și \(\left( \frac{a}{b} \right)^0 = 1\).
- Înmulțire cu aceeași bază: exponenții se adună \(\rightarrow m + n\).
- Împărțire cu aceeași bază: exponenții se scad \(\rightarrow m - n\).
- Puterea unei puteri: exponenții se înmulțesc \(\rightarrow m \cdot n\).
- Exponenți egali: se efectuează operația între baze și se păstrează exponentul comun.
Produsul a \(n\) factori egali cu o fracție ordinară \(\frac{a}{b}\) se numește puterea a \(n\)-a a acelei fracții.
În scrierea \(\left( \frac{a}{b} \right)^n\), fracția \(\frac{a}{b}\) reprezintă baza puterii, iar \(n\) reprezintă exponentul puterii.
\[ \left( \frac{a}{b} \right)^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \dots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ factori}} = \frac{a^n}{b^n} \quad (\text{unde } b \neq 0, n \ge 2) \]
Pentru a ridica o fracție la o putere, se ridică la acea putere atât numărătorul, cât și numitorul.
- Orice fracție ridicată la puterea \(1\) este egală cu ea însăși: \[\left( \frac{a}{b} \right)^1 = \frac{a}{b}\]
- Orice fracție nenulă ridicată la puterea \(0\) este egală cu \(1\): \[\left( \frac{a}{b} \right)^0 = 1\]
\[ \left( \frac{2}{3} \right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81} \]
\[ \left( \frac{15}{7} \right)^1 = \frac{15}{7} \]
\[ \left( \frac{199}{5} \right)^0 = 1 \]
Calculați valoarea puterii: \(\left( \frac{3}{5} \right)^3\).
Ridicăm la puterea a treia atât numărătorul, cât și numitorul:
\[ \left( \frac{3}{5} \right)^3 = \frac{3^3}{5^3} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{27}{125} \]
Înmulțirea puterilor cu aceeași bază: Se păstrează baza și se adună exponenții.
\[ \left( \frac{a}{b} \right)^m \cdot \left( \frac{a}{b} \right)^n = \left( \frac{a}{b} \right)^{m+n} \]
Împărțirea puterilor cu aceeași bază: Se păstrează baza și se scad exponenții.
\[ \left( \frac{a}{b} \right)^m : \left( \frac{a}{b} \right)^n = \left( \frac{a}{b} \right)^{m-n} \quad (\text{unde } m \ge n) \]
- \(\left( \frac{2}{7} \right)^3 \cdot \left( \frac{2}{7} \right)^5 = \left( \frac{2}{7} \right)^{3+5} = \left( \frac{2}{7} \right)^8\)
- \(\left( \frac{9}{5} \right)^{11} : \left( \frac{9}{5} \right)^9 = \left( \frac{9}{5} \right)^{11-9} = \left( \frac{9}{5} \right)^2 = \frac{9^2}{5^2} = \frac{81}{25}\)
Scrieți sub forma unei singure puteri: \(\left( \frac{3}{4} \right)^5 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^7 : \left( \frac{3}{4} \right)^{10}\).
Aplicăm regulile de adunare și scădere a exponenților:
\[ \left( \frac{3}{4} \right)^5 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^7 : \left( \frac{3}{4} \right)^{10} = \left( \frac{3}{4} \right)^{5+7-10} = \left( \frac{3}{4} \right)^2 \]
Puterea unei puteri: Se păstrează baza și se înmulțesc exponenții.
\[ \left[ \left( \frac{a}{b} \right)^m \right]^n = \left( \frac{a}{b} \right)^{m \cdot n} \]
Puterea unui produs / Produsul puterilor cu același exponent: Se pot înmulți bazele, păstrând exponentul comun.
\[ \left( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \right)^n = \left( \frac{a}{b} \right)^n \cdot \left( \frac{c}{d} \right)^n \]
Puterea unui cât / Câtul puterilor cu același exponent: Se pot împărți bazele, păstrând exponentul comun.
\[ \left( \frac{a}{b} : \frac{c}{d} \right)^n = \left( \frac{a}{b} \right)^n : \left( \frac{c}{d} \right)^n \]
- Puterea unei puteri: \(\left[ \left( \frac{1}{2} \right)^3 \right]^5 = \left( \frac{1}{2} \right)^{3 \cdot 5} = \left( \frac{1}{2} \right)^{15}\)
- Produsul puterilor cu același exponent: \(\left( \frac{2}{3} \right)^4 \cdot \left( \frac{9}{4} \right)^4 = \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} \right)^4 = \left( \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} \right)^4 = \left( \frac{3}{2} \right)^4\)
- Câtul puterilor cu același exponent: \(\left( \frac{4}{5} \right)^3 : \left( \frac{8}{25} \right)^3 = \left( \frac{4}{5} : \frac{8}{25} \right)^3 = \left( \frac{4}{5} \cdot \frac{25}{8} \right)^3 = \left( \frac{5}{2} \right)^3\)
Calculați, scriind rezultatul sub forma unei singure puteri: \(\left( \frac{5}{7} \right)^6 \cdot \left( \frac{14}{15} \right)^6\).
Deoarece exponenții sunt egali, înmulțim bazele în interiorul parantezei:
\[ \left( \frac{5}{7} \right)^6 \cdot \left( \frac{14}{15} \right)^6 = \left( \frac{5}{7} \cdot \frac{14}{15} \right)^6 \]
Simplificăm pe diagonală (5 cu 15 prin 5, și 14 cu 7 prin 7):
\[ \left( \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{3} \right)^6 = \left( \frac{2}{3} \right)^6 \]
Practice problems
Problema 1 (Ușoară)
Calculați valoarea expresiei: \[ E = \left( \frac{1}{2} \right)^3 + \left( \frac{3}{4} \right)^2 \]
Calculați valoarea expresiei: \[ E = \left( \frac{1}{2} \right)^3 + \left( \frac{3}{4} \right)^2 \]
Efectuăm ridicările la putere:
\[ \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8} \]
\[ \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} \]
Aducem fracțiile la același numitor comun (care este 16), amplificând prima fracție cu 2:
\[ E = \frac{1 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{9}{16} = \frac{2}{16} + \frac{9}{16} = \frac{11}{16} \]
Răspuns: \(\frac{11}{16}\)
Problema 2 (Medie)
Scrieți sub forma unei singure puteri expresia: \[ A = \left[ \left( \frac{3}{7} \right)^4 \right]^5 \cdot \left( \frac{3}{7} \right)^3 : \left( \frac{3}{7} \right)^{15} \]
Scrieți sub forma unei singure puteri expresia: \[ A = \left[ \left( \frac{3}{7} \right)^4 \right]^5 \cdot \left( \frac{3}{7} \right)^3 : \left( \frac{3}{7} \right)^{15} \]
Aplicăm regulile de calcul cu puteri:
1) Puterea unei puteri: \[ \left[ \left( \frac{3}{7} \right)^4 \right]^5 = \left( \frac{3}{7} \right)^{4 \cdot 5} = \left( \frac{3}{7} \right)^{20} \]
2) Înmulțirea puterilor cu aceeași bază: \[ \left( \frac{3}{7} \right)^{20} \cdot \left( \frac{3}{7} \right)^3 = \left( \frac{3}{7} \right)^{20+3} = \left( \frac{3}{7} \right)^{23} \]
3) Împărțirea puterilor cu aceeași bază: \[ \left( \frac{3}{7} \right)^{23} : \left( \frac{3}{7} \right)^{15} = \left( \frac{3}{7} \right)^{23-15} = \left( \frac{3}{7} \right)^8 \] Răspuns: \(\left( \frac{3}{7} \right)^8\)
1) Puterea unei puteri: \[ \left[ \left( \frac{3}{7} \right)^4 \right]^5 = \left( \frac{3}{7} \right)^{4 \cdot 5} = \left( \frac{3}{7} \right)^{20} \]
2) Înmulțirea puterilor cu aceeași bază: \[ \left( \frac{3}{7} \right)^{20} \cdot \left( \frac{3}{7} \right)^3 = \left( \frac{3}{7} \right)^{20+3} = \left( \frac{3}{7} \right)^{23} \]
3) Împărțirea puterilor cu aceeași bază: \[ \left( \frac{3}{7} \right)^{23} : \left( \frac{3}{7} \right)^{15} = \left( \frac{3}{7} \right)^{23-15} = \left( \frac{3}{7} \right)^8 \] Răspuns: \(\left( \frac{3}{7} \right)^8\)
Problema 3 (Medie)
Scrieți fracțiile următoare sub formă de puteri conform cerințelor:
a) \(\frac{125}{216}\) sub forma unei puteri cu baza \(\frac{5}{6}\);
b) \(\frac{81}{625}\) sub forma unei puteri cu exponentul 4.
Scrieți fracțiile următoare sub formă de puteri conform cerințelor:
a) \(\frac{125}{216}\) sub forma unei puteri cu baza \(\frac{5}{6}\);
b) \(\frac{81}{625}\) sub forma unei puteri cu exponentul 4.
a) Observăm că:
\(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\)
\(6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\)
Prin urmare: \[ \frac{125}{216} = \frac{5^3}{6^3} = \left( \frac{5}{6} \right)^3 \]
b) Observăm că:
\(81 = 3^4\) (deoarece \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\))
\(625 = 5^4\) (deoarece \(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\))
Prin urmare: \[ \frac{81}{625} = \frac{3^4}{5^4} = \left( \frac{3}{5} \right)^4 \]
\(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\)
\(6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\)
Prin urmare: \[ \frac{125}{216} = \frac{5^3}{6^3} = \left( \frac{5}{6} \right)^3 \]
b) Observăm că:
\(81 = 3^4\) (deoarece \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\))
\(625 = 5^4\) (deoarece \(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\))
Prin urmare: \[ \frac{81}{625} = \frac{3^4}{5^4} = \left( \frac{3}{5} \right)^4 \]
Problema 4 (Dificilă)
Scrieți rezultatul calculului sub forma unei singure puteri cu baza \(\frac{2}{3}\): \[ B = \left( \frac{4}{9} \right)^6 \cdot \left( \frac{27}{8} \right)^3 \]
Scrieți rezultatul calculului sub forma unei singure puteri cu baza \(\frac{2}{3}\): \[ B = \left( \frac{4}{9} \right)^6 \cdot \left( \frac{27}{8} \right)^3 \]
Identificăm legăturile dintre baze:
1) Observăm că \(\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2\). Atunci: \[ \left( \frac{4}{9} \right)^6 = \left[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \right]^6 = \left(\frac{2}{3}\right)^{12} \]
2) Observăm că \(\frac{27}{8} = \left(\frac{3}{2}\right)^3\). Atunci: \[ \left( \frac{27}{8} \right)^3 = \left[ \left(\frac{3}{2}\right)^3 \right]^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^9 \]
Expresia inițială devine: \[ B = \left(\frac{2}{3}\right)^{12} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^9 = \frac{2^{12}}{3^{12}} \cdot \frac{3^9}{2^9} \]
Grupăm termenii după bază: \[ B = \frac{2^{12}}{2^9} \cdot \frac{3^9}{3^{12}} = 2^{12-9} \cdot \frac{1}{3^{12-9}} = 2^3 \cdot \frac{1}{3^3} = \frac{2^3}{3^3} = \left(\frac{2}{3}\right)^3 \] Răspuns: \(\left(\frac{2}{3}\right)^3\)
1) Observăm că \(\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2\). Atunci: \[ \left( \frac{4}{9} \right)^6 = \left[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \right]^6 = \left(\frac{2}{3}\right)^{12} \]
2) Observăm că \(\frac{27}{8} = \left(\frac{3}{2}\right)^3\). Atunci: \[ \left( \frac{27}{8} \right)^3 = \left[ \left(\frac{3}{2}\right)^3 \right]^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^9 \]
Expresia inițială devine: \[ B = \left(\frac{2}{3}\right)^{12} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^9 = \frac{2^{12}}{3^{12}} \cdot \frac{3^9}{2^9} \]
Grupăm termenii după bază: \[ B = \frac{2^{12}}{2^9} \cdot \frac{3^9}{3^{12}} = 2^{12-9} \cdot \frac{1}{3^{12-9}} = 2^3 \cdot \frac{1}{3^3} = \frac{2^3}{3^3} = \left(\frac{2}{3}\right)^3 \] Răspuns: \(\left(\frac{2}{3}\right)^3\)
