Cele mai importante aspecte ale lecției
Fracțiile zecimale finite reprezintă o altă metodă de scriere a fracțiilor ordinare care au ca numitori puteri ale lui 10.
- Trecerea de la fracție ordinară la zecimală: Se scrie numărătorul și se pune virgula numărând de la dreapta la stânga atâtea cifre câte zerouri sunt la numitor. Exemplu: \( \frac{47}{100} = 0,47 \).
- Trecerea de la fracție zecimală la ordinară: Numărătorul este numărul fără virgulă, iar numitorul este \(10^n\), unde \(n\) este numărul de zecimale. Exemplu: \( 1,234 = \frac{1234}{1000} \).
- Descompunerea zecimală: Descompunerea pe baza ordinelor cifrelor. Exemplu: \( 23,4 = 2\cdot 10 + 3\cdot 1 + \frac{4}{10} \).
O fracție zecimală finită este o formă de scriere a unei fracții ordinare care are ca numitor o putere a lui 10.
O fracție zecimală este formată din:
- Partea întreagă: cifrele aflate în stânga virgulei.
- Partea zecimală: cifrele aflate în dreapta virgulei (numite zecimale).
Pentru numărul \(45,372\):
- Partea întreagă este \(45\).
- Partea zecimală este \(372\).
- Cifra zecimilor (prima cifră de după virgulă) este \(3\).
- Cifra sutimilor (a doua cifră de după virgulă) este \(7\).
- Cifra miimilor (a treia cifră de după virgulă) este \(2\).
- Orice număr natural se poate scrie sub formă de fracție zecimală adăugând virgula și cifra 0 la sfârșit (de exemplu: \(45 = 45,0\)).
- Valoarea unei fracții zecimale nu se modifică dacă adăugăm sau ștergem zerouri la sfârșitul părții zecimale (de exemplu: \(7,3 = 7,300 = 7,30\)).
Fiecare poziție din partea zecimală reprezintă o anumită subunitate (zecime, sutime, miime etc.), care corespunde unei puteri a lui 10 de la numitor.
\[ \frac{1}{10} = 0,1 \quad \text{(o zecime)} \]
\[ \frac{1}{100} = 0,01 \quad \text{(o sutime)} \]
\[ \frac{1}{1000} = 0,001 \quad \text{(o miime)} \]
Regulă generală:
\[ \frac{1}{10^n} = 0,\underbrace{00...01}_{n \text{ cifre}} \]
Scrieți sub formă de fracție zecimală unitatea fracționară \( \frac{1}{100000} \).
Deoarece numitorul este \(10^5 = 100000\), vom avea 5 cifre după virgulă:
\[ \frac{1}{100000} = 0,00001 \]
Pentru a scrie o fracție ordinară cu numitorul putere a lui 10 ca fracție zecimală, se scrie numărătorul și se despart prin virgulă, de la dreapta spre stânga, atâtea cifre câte zerouri are numitorul. Dacă cifrele numărătorului nu sunt suficiente, se adaugă zerouri în fața acestuia.
\[ \frac{1425}{100} = 14,25 \quad \text{(2 zerouri la numitor} \rightarrow \text{2 zecimale)} \]
\[ \frac{9}{1000} = 0,009 \quad \text{(3 zerouri la numitor} \rightarrow \text{3 zecimale, am adăugat zerouri)} \]
Dacă o fracție ordinară nu are numitorul o putere a lui 10, dar poate fi adusă la această formă prin amplificare sau simplificare, o transformăm mai întâi într-o fracție cu numitorul 10, 100, 1000 etc.
\[ \frac{3}{5} \stackrel{\cdot 2}{=} \frac{6}{10} = 0,6 \]
\[ \frac{12}{300} \stackrel{: 3}{=} \frac{4}{100} = 0,04 \]
Scrieți fracția ordinară \( \frac{7}{25} \) sub formă de fracție zecimală.
Amplificăm fracția cu 4 pentru a obține numitorul 100:
\[ \frac{7}{25} \stackrel{\cdot 4}{=} \frac{28}{100} = 0,28 \]
Pentru a transforma o fracție zecimală finită în fracție ordinară:
- La numărător se scrie numărul format din toate cifrele fracției zecimale, fără virgulă.
- La numitor se scrie o putere a lui 10 care are exponentul egal cu numărul de zecimale (numărul de cifre de după virgulă).
\[ 3,45 = \frac{345}{10^2} = \frac{345}{100} \]
\[ 0,0103 = \frac{103}{10^4} = \frac{103}{10000} \]
Transformați fracția zecimală \( 12,4 \) în fracție ordinară și aduceți-o la forma ireductibilă.
Numărul are o singură zecimală, deci numitorul va fi 10:
\[ 12,4 = \frac{124}{10} \]
Simplificăm fracția prin 2 pentru a o face ireductibilă:
\[ \frac{124}{10} \stackrel{: 2}{=} \frac{62}{5} \]
Orice fracție zecimală poate fi scrisă ca o sumă formată din unitățile ordinelor corespunzătoare fiecărei cifre.
\[ \overline{ab,cde} = a \cdot 10 + b \cdot 1 + \frac{c}{10} + \frac{d}{100} + \frac{e}{1000} \]
\[ 483,59 = 4 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 3 \cdot 1 + \frac{5}{10} + \frac{9}{100} \]
Scrieți descompunerea zecimală a numărului \( 7,205 \).
\[ 7,205 = 7 \cdot 1 + \frac{2}{10} + \frac{0}{100} + \frac{5}{1000} = 7 + \frac{2}{10} + \frac{5}{1000} \]
Probleme practice
Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Scrieți următoarele fracții ordinare sub formă de fracții zecimale:
a) \( \frac{435}{100} \)
b) \( \frac{8}{1000} \)
c) \( \frac{3457}{10} \)
Scrieți următoarele fracții ordinare sub formă de fracții zecimale:
a) \( \frac{435}{100} \)
b) \( \frac{8}{1000} \)
c) \( \frac{3457}{10} \)
a) Numitorul are 2 zerouri, deci numărăm 2 cifre de la dreapta la stânga:
\[ \frac{435}{100} = 4,35 \]
b) Numitorul are 3 zerouri, completăm cu zerouri în stânga numărătorului:
\[ \frac{8}{1000} = 0,008 \]
c) Numitorul are 1 zerou, deci despărțim o singură cifră:
\[ \frac{3457}{10} = 345,7 \]
Problema 2 (Dificultate: Medie)
Aduceți fracțiile următoare la numitori puteri ale lui 10 și scrieți-le sub formă de fracții zecimale:
a) \( \frac{9}{5} \)
b) \( \frac{13}{250} \)
c) \( \frac{12}{40} \)
Aduceți fracțiile următoare la numitori puteri ale lui 10 și scrieți-le sub formă de fracții zecimale:
a) \( \frac{9}{5} \)
b) \( \frac{13}{250} \)
c) \( \frac{12}{40} \)
a) Amplificăm cu 2 pentru a obține numitorul 10:
\[ \frac{9}{5} \stackrel{\cdot 2}{=} \frac{18}{10} = 1,8 \]
b) Amplificăm cu 4 pentru a obține numitorul 1000:
\[ \frac{13}{250} \stackrel{\cdot 4}{=} \frac{52}{1000} = 0,052 \]
c) Simplificăm mai întâi prin 4 pentru a obține numitorul 10:
\[ \frac{12}{40} \stackrel{: 4}{=} \frac{3}{10} = 0,3 \]
Problema 3 (Dificultate: Dificilă)
Determinați numărul natural \( n \) care verifică egalitatea: \[ \frac{n}{25} = 3,16 \]
Determinați numărul natural \( n \) care verifică egalitatea: \[ \frac{n}{25} = 3,16 \]
Mai întâi, transformăm fracția zecimală \( 3,16 \) în fracție ordinară:
\[ 3,16 = \frac{316}{100} \]
Simplificăm fracția \( \frac{316}{100} \) prin 4 pentru a aduce numitorul la 25:
\[ \frac{316}{100} \stackrel{: 4}{=} \frac{79}{25} \]
Egalitatea devine:
\[ \frac{n}{25} = \frac{79}{25} \implies n = 79 \]
