Cele mai importante aspecte ale lecției
Împărțirea fracțiilor ordinare constă în înmulțirea primei fracții cu inversa celei de-a doua: \(\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\).
Inversa unei fracții se obține prin inversarea numărătorului cu numitorul. Exemplu: inversa lui \(\frac{3}{5}\) este \(\frac{5}{3}\).
Fracțiile complexe de forma \(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\) reprezintă doar o altă modalitate de a scrie împărțirea \(\frac{a}{b} : \frac{c}{d}\).
Inversa unei fracții se obține prin inversarea numărătorului cu numitorul. Exemplu: inversa lui \(\frac{3}{5}\) este \(\frac{5}{3}\).
Fracțiile complexe de forma \(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\) reprezintă doar o altă modalitate de a scrie împărțirea \(\frac{a}{b} : \frac{c}{d}\).
Inversa unei fracții ordinare \(\frac{a}{b}\) (cu \(a, b \neq 0\)) este fracția \(\frac{b}{a}\).
Produsul dintre o fracție și inversa ei este întotdeauna egal cu 1:
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1 \]
- Inversa unui număr întreg \(n\) (scris ca \(\frac{n}{1}\)) este \(\frac{1}{n}\).
- Pentru a găsi inversa unui număr mixt, acesta trebuie mai întâi transformat în fracție ordinară. De exemplu, \(3\frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{25}{7}\), iar inversa sa va fi \(\frac{7}{25}\).
Scrieți inversa fracției \(\frac{5}{17}\) și a numărului mixt \(7\frac{9}{16}\).
- Inversa fracției \(\frac{5}{17}\) este \(\frac{17}{5}\).
- Transformăm numărul mixt \(7\frac{9}{16}\) în fracție ordinară: \[ 7\frac{9}{16} = \frac{7 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{112 + 9}{16} = \frac{121}{16} \] Inversa acestei fracții este \(\frac{16}{121}\).
Pentru a împărți două fracții ordinare, înmulțim prima fracție cu inversa celei de-a doua fracții.
\[ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \text{, unde } b, c, d \neq 0 \]
\[ \frac{16}{25} : \frac{4}{5} = \frac{16}{25} \cdot \frac{5}{4} = \frac{16 \cdot 5}{25 \cdot 4} = \frac{80}{100} = \frac{4}{5} \]
Putem efectua și simplificări pe diagonală înainte de înmulțire:
\[ \frac{\cancel{16}^4}{\cancel{25}_5} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{4}_1} = \frac{4 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{4}{5} \]
Calculați câtul: \(\frac{4}{9} : \frac{2}{3}\).
Aplicăm regula de împărțire:
\[ \frac{4}{9} : \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} \]
Simplificăm pe diagonală (împărțim 4 și 2 prin 2, respectiv 9 și 3 prin 3):
\[ \frac{\cancel{4}^2}{\cancel{9}_3} \cdot \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{2}_1} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3} \]
O fracție complexă (sau fracție stivuită) este o fracție în care numărătorul și numitorul sunt, la rândul lor, fracții.
Simplificarea unei fracții complexe se reduce la o împărțire de fracții ordinare:
\[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \]
\[ \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2} \]
Practice problems
Problema 1 (Ușoară): Calculați câtul împărțirii \(\frac{8}{15} : \frac{4}{5}\), scriind rezultatul sub formă de fracție ireductibilă.
Înmulțim prima fracție cu inversa celei de-a doua:
\[ \frac{8}{15} : \frac{4}{5} = \frac{8}{15} \cdot \frac{5}{4} \]
Simplificăm 8 cu 4 (prin 4) și 5 cu 15 (prin 5):
\[ \frac{\cancel{8}^2}{\cancel{15}_3} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{4}_1} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3} \]
Răspuns: \(\frac{2}{3}\)
Problema 2 (Medie): Determinați valoarea expresiei:
\[ \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \right) : \frac{5}{4} \]
Pasul 1: Calculăm suma din paranteză prin aducerea la același numitor (numitorul comun este 6):
\[ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2 + 1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
Pasul 2: Efectuăm împărțirea rezultatului la \(\frac{5}{4}\):
\[ \frac{1}{2} : \frac{5}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{\cancel{2}_1} \cdot \frac{\cancel{4}^2}{5} = \frac{2}{5} \]
Răspuns: \(\frac{2}{5}\)
Problema 3 (Dificilă): Calculați valoarea următoarei fracții complexe:
\[ \frac{\frac{1}{4} + 1\frac{1}{2}}{\frac{14}{5} : 2} \]
Calculăm separat numărătorul și numitorul fracției complexe.
Numărătorul: Transformăm numărul mixt \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) și efectuăm adunarea: \[ \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{1}{4} + \frac{6}{4} = \frac{7}{4} \] Numitorul: Efectuăm împărțirea la numărul întreg 2 (care se scrie ca \(\frac{2}{1}\)): \[ \frac{14}{5} : 2 = \frac{14}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cancel{14}^7}{5} \cdot \frac{1}{\cancel{2}_1} = \frac{7}{5} \] Fracția complexă finală: Împărțim rezultatul de la numărător la cel de la numitor: \[ \frac{\frac{7}{4}}{\frac{7}{5}} = \frac{7}{4} : \frac{7}{5} = \frac{7}{4} \cdot \frac{5}{7} = \frac{\cancel{7}^1}{4} \cdot \frac{5}{\cancel{7}_1} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} \] Răspuns: \(\frac{5}{4}\) (sau \(1\frac{1}{4}\))
Numărătorul: Transformăm numărul mixt \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) și efectuăm adunarea: \[ \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{1}{4} + \frac{6}{4} = \frac{7}{4} \] Numitorul: Efectuăm împărțirea la numărul întreg 2 (care se scrie ca \(\frac{2}{1}\)): \[ \frac{14}{5} : 2 = \frac{14}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cancel{14}^7}{5} \cdot \frac{1}{\cancel{2}_1} = \frac{7}{5} \] Fracția complexă finală: Împărțim rezultatul de la numărător la cel de la numitor: \[ \frac{\frac{7}{4}}{\frac{7}{5}} = \frac{7}{4} : \frac{7}{5} = \frac{7}{4} \cdot \frac{5}{7} = \frac{\cancel{7}^1}{4} \cdot \frac{5}{\cancel{7}_1} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} \] Răspuns: \(\frac{5}{4}\) (sau \(1\frac{1}{4}\))
