Cele mai importante aspecte ale lecției
- Figuri congruente: Sunt figurile geometrice identice ca formă și mărime, care se suprapun perfect (de exemplu, segmente cu lungimi egale sau unghiuri cu măsuri egale).
- Axa de simetrie: Reprezintă linia de pliere de-a lungul căreia o figură geometrică se împarte în două jumătăți congruente care se suprapun perfect.
- Simetria în geometrie: Un pătrat are 4 axe de simetrie, în timp ce un dreptunghi are doar 2 axe de simetrie.
Două figuri geometrice plane sunt congruente dacă, prin suprapunere, coincid perfect.
Poligoanele congruente au aceeași formă și aceeași mărime. Acest lucru înseamnă că unghiurile lor corespunzătoare au măsuri egale (două câte două), iar laturile lor corespunzătoare au lungimi egale (două câte două).
Două pătrate care au lungimea laturii de \(5\text{ cm}\) sunt congruente, indiferent de poziția sau de rotația lor în plan.
Stabiliți dacă unghiul \(\measuredangle A = 24^\circ 32'\) și unghiul \(\measuredangle B = 1472'\) sunt figuri geometrice congruente.
Pentru a verifica dacă cele două unghiuri sunt congruente, trebuie să determinăm dacă au măsuri egale. Transformăm măsura unghiului \(A\) în minute:
\[ \measuredangle A = 24 \cdot 60' + 32' = 1440' + 32' = 1472' \]
Deoarece \(\measuredangle A = 1472'\) și \(\measuredangle B = 1472'\), unghiurile au măsuri egale, prin urmare sunt congruente (\(\measuredangle A \equiv \measuredangle B\)).
Axa de simetrie este o dreaptă care împarte o figură geometrică în două figuri congruente.
O figură geometrică este simetrică față de o dreaptă dacă, îndoind figura de-a lungul acelei drepte, cele două părți rezultate coincid prin suprapunere.
Multe elemente din natură (cum ar fi aripile unui fluture sau frunzele unor arbori) și din arhitectură prezintă simetrie față de o axă centrală.
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Segmentul \(AB\) are lungimea de \(6\text{ cm}\), iar segmentul \(CD\) are lungimea de \(60\text{ mm}\). Sunt cele două segmente congruente?
Pentru a compara cele două segmente, exprimăm lungimile lor în aceeași unitate de măsură. Știm că \(1\text{ cm} = 10\text{ mm}\).
\[ AB = 6\text{ cm} = 6 \cdot 10\text{ mm} = 60\text{ mm} \]
Deoarece ambele segmente au lungimea de \(60\text{ mm}\) (\(AB = CD\)), ele sunt congruente (\(AB \equiv CD\)).
Problema 2 (Medie): Se consideră unghiul \(\measuredangle X = 15^\circ 45'\) și unghiul \(\measuredangle Y = 945'\). Arătați că cele două unghiuri sunt congruente.
Transformăm măsura unghiului \(\measuredangle X\) în minute, știind că \(1^\circ = 60'\):
\[ \measuredangle X = 15 \cdot 60' + 45' = 900' + 45' = 945' \]
Deoarece ambele unghiuri au aceeași măsură (\(\measuredangle X = \measuredangle Y = 945'\)), unghiurile sunt congruente (\(\measuredangle X \equiv \measuredangle Y\)).
Problema 3 (Dificilă): Explicați de ce diagonalele unui dreptunghi (care nu este pătrat) nu sunt axe de simetrie ale acestuia, deși ele împart dreptunghiul în două triunghiuri congruente.
Pentru ca o dreaptă să fie axă de simetrie, părțile figurii trebuie să se suprapună perfect prin îndoire directă de-a lungul acelei drepte.
Dacă decupăm un dreptunghi din hârtie și îl îndoim de-a lungul uneia dintre diagonale, vom observa că colțurile opuse nu se suprapun (vârfurile ies în afara conturului). Triunghiurile obținute sunt într-adevăr congruente, dar sunt orientate diferit în spațiu (în oglindă, dar deplasate).
Prin urmare, diagonalele dreptunghiului nu sunt axe de simetrie. Singurele axe de simetrie ale dreptunghiului sunt mediatoarele laturilor sale (dreptele care unesc mijloacele laturilor opuse).
Dacă decupăm un dreptunghi din hârtie și îl îndoim de-a lungul uneia dintre diagonale, vom observa că colțurile opuse nu se suprapun (vârfurile ies în afara conturului). Triunghiurile obținute sunt într-adevăr congruente, dar sunt orientate diferit în spațiu (în oglindă, dar deplasate).
Prin urmare, diagonalele dreptunghiului nu sunt axe de simetrie. Singurele axe de simetrie ale dreptunghiului sunt mediatoarele laturilor sale (dreptele care unesc mijloacele laturilor opuse).
