Cele mai importante aspecte ale lecției
Axa numerelor: Reprezentare grafică pe o dreaptă cu origine \( O(0) \), unitate de măsură și sens spre dreapta. Pe axă, numerele mai mari se află întotdeauna în dreapta celor mai mici.
Comparare: Mai mare este numărul cu mai multe cifre. Dacă au același număr de cifre, comparăm poziție cu poziție de la stânga la dreapta.
Aproximări pentru numărul \( 4\,327 \):
Comparare: Mai mare este numărul cu mai multe cifre. Dacă au același număr de cifre, comparăm poziție cu poziție de la stânga la dreapta.
Aproximări pentru numărul \( 4\,327 \):
- La sute prin lipsă: \( 4\,300 \) (păstrăm cifra sutelor, restul devin zero).
- La sute prin adaos: \( 4\,400 \) (mărim cifra sutelor cu 1, restul devin zero).
O dreaptă pe care s-au fixat o origine, o unitate de măsură și un sens se numește axa numerelor.
Originea este punctul de pe axă care corespunde numărului \( 0 \). De regulă, se notează cu litera \( O \).
Unitatea de măsură este un segment de lungime aleasă convențional, utilizat pentru a măsura distanțele pe axă și a poziționa celelalte numere (\( 1, 2, 3, \dots \)).
Sensul axei (de obicei de la stânga la dreapta) este indicat printr-o săgeată și arată direcția în care numerele cresc.
Pe o axă a numerelor cu originea în \( O(0) \), unitatea de măsură are lungimea de \( 2\text{ cm} \). La ce distanță de origine se află punctul \( C(3) \)?
Punctul \( C(3) \) se află la o distanță de 3 unități de măsură față de origine.
Deoarece o unitate are \( 2\text{ cm} \), distanța va fi: \[ 3 \cdot 2\text{ cm} = 6\text{ cm} \] Răspuns: \( 6\text{ cm} \)
Deoarece o unitate are \( 2\text{ cm} \), distanța va fi: \[ 3 \cdot 2\text{ cm} = 6\text{ cm} \] Răspuns: \( 6\text{ cm} \)
Pentru a compara două numere naturale se folosesc semnele: \( > \) (mai mare), \( < \) (mai mic), \( = \) (egal), \( \geq \) (mai mare sau egal) și \( \leq \) (mai mic sau egal).
Număr diferit de cifre: Dintre două numere naturale, este mai mare cel care are mai multe cifre.
Exemplu: \( 215\,348\,002\,143 > 98\,457\,896\,689 \) (primul are 12 cifre, al doilea are 11 cifre).
Exemplu: \( 215\,348\,002\,143 > 98\,457\,896\,689 \) (primul are 12 cifre, al doilea are 11 cifre).
Același număr de cifre: Se compară cifrele de la stânga la dreapta (începând cu ordinul cel mai mare). Primul loc în care cifrele diferă determină care număr este mai mare.
Exemplu: \( 74\,832\,399\,879 < 74\,832\,510\,432 \), deoarece la ordinul sutelor de mii avem \( 3 < 5 \).
Exemplu: \( 74\,832\,399\,879 < 74\,832\,510\,432 \), deoarece la ordinul sutelor de mii avem \( 3 < 5 \).
Poziția pe axă: Dintre două numere reprezentate pe axă, cel mai mare se află poziționat mai la dreapta.
Determinați cifrele \( a \) și \( b \) pentru care are loc relația \( \overline{2a3} \geq \overline{25b} \).
Comparăm cifrele începând de la ordinul sutelor:
- Cifra sutelor este aceeași pentru ambele numere (\( 2 = 2 \)).
- Dacă \( a > 5 \), adică \( a \in \{6, 7, 8, 9\} \), atunci inegalitatea este adevărată pentru orice valoare a cifrei \( b \) (\( b \in \{0, 1, 2, \dots, 9\} \)).
- Dacă \( a = 5 \), atunci numerele devin \( \overline{253} \geq \overline{25b} \). Pentru ca relația să fie adevărată, trebuie ca \( 3 \geq b \), de unde rezultă că \( b \in \{0, 1, 2, 3\} \).
- Dacă \( a < 5 \), relația nu poate avea loc.
Aproximarea prin lipsă la un anumit ordin (zeci, sute, mii etc.) este cel mai mare număr format numai din acel ordin, care este mai mic sau egal cu numărul dat (practic, se înlocuiesc cifrele de după ordinul respectiv cu zero).
Aproximarea prin adaos la un anumit ordin este cel mai mic număr format numai din acel ordin, care este strict mai mare decât numărul dat (practic, se mărește cifra ordinului respectiv cu o unitate, iar cifrele următoare devin zero).
Estimarea reprezintă o evaluare aproximativă, globală, a unei cantități sau a unui număr.
Pentru numărul \( 765\,498\,321 \), aproximările la mii sunt:
- Prin lipsă: \( 765\,498\,000 \)
- Prin adaos: \( 765\,499\,000 \)
Scrieți aproximarea prin lipsă și prin adaos la sute a numărului \( 3\,795 \).
Cifra sutelor este 7.
- Prin lipsă: Înlocuim cifrele zecilor și unităților cu 0 \(\rightarrow 3\,700\).
- Prin adaos: Mărim cifra sutelor cu 1 (de la 7 la 8) și înlocuim restul cu 0 \(\rightarrow 3\,800\).
Probleme practice
Problemă ușoară: Comparați următoarele perechi de numere naturale, scriind semnul corespunzător (\( < \), \( > \), \( = \)):
a) \( 45\,723 \) și \( 9\,873 \)
b) \( 395\,872 \) și \( 395\,872 \)
c) \( 129\,043 \) și \( 129\,403 \)
a) \( 45\,723 \) și \( 9\,873 \)
b) \( 395\,872 \) și \( 395\,872 \)
c) \( 129\,043 \) și \( 129\,403 \)
a) \( 45\,723 > 9\,873 \) (primul număr are 5 cifre, al doilea are 4 cifre).
b) \( 395\,872 = 395\,872 \) (numerele sunt identice).
c) \( 129\,043 < 129\,403 \) (la ordinul sutelor avem \( 0 < 4 \)).
b) \( 395\,872 = 395\,872 \) (numerele sunt identice).
c) \( 129\,043 < 129\,403 \) (la ordinul sutelor avem \( 0 < 4 \)).
Problemă medie: Se consideră numărul \( 5\,234\,123 \).
a) Determinați aproximarea prin lipsă la zeci, sute și mii a numărului dat.
b) Determinați aproximarea prin adaos la zeci, sute și mii a numărului dat.
a) Determinați aproximarea prin lipsă la zeci, sute și mii a numărului dat.
b) Determinați aproximarea prin adaos la zeci, sute și mii a numărului dat.
a) Aproximarea prin lipsă:
- La zeci: \( 5\,234\,120 \)
- La sute: \( 5\,234\,100 \)
- La mii: \( 5\,234\,000 \)
- La zeci: \( 5\,234\,130 \)
- La sute: \( 5\,234\,200 \)
- La mii: \( 5\,235\,000 \)
Problemă dificilă: Determinați cifrele \( x \) și \( y \) pentru care este adevărată relația \( \overline{1x2} < \overline{13y} \).
Comparăm numerele cifră cu cifră de la stânga la dreapta:
• Pentru \( x \in \{0, 1, 2\} \), \( y \in \{0, 1, 2, \dots, 9\} \).
• Pentru \( x = 3 \), \( y \in \{3, 4, \dots, 9\} \).
- Cifra sutelor este aceeași (\( 1 = 1 \)).
- Analizăm cazurile posibile pentru cifra zecilor, \( x \):
- Dacă \( x < 3 \), adică \( x \in \{0, 1, 2\} \), atunci relația este adevărată indiferent de cifra unităților \( y \). Deci \( y \) poate fi orice cifră: \( y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \).
- Dacă \( x = 3 \), numerele devin \( \overline{132} < \overline{13y} \). Pentru ca inegalitatea să fie adevărată, trebuie ca cifra unităților să respecte relația \( 2 < y \). Așadar, \( y \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \).
- Dacă \( x > 3 \), atunci \( \overline{1x2} > \overline{13y} \), deci nu avem soluții în acest caz.
• Pentru \( x \in \{0, 1, 2\} \), \( y \in \{0, 1, 2, \dots, 9\} \).
• Pentru \( x = 3 \), \( y \in \{3, 4, \dots, 9\} \).
