Cele mai importante aspecte ale lecției
- Distanța dintre două puncte reprezintă lungimea segmentului determinat de acestea.
- Segmente congruente sunt segmentele care au lungimi egale (\( AB \equiv CD \iff AB = CD \)).
- Construcția segmentelor congruente se poate face prin două metode: cu ajutorul riglei gradate (prin măsurare directă) sau cu ajutorul compasului (prin raportarea deschiderii).
- Adunarea și scăderea segmentelor se realizează prin calcule matematice cu lungimile acestora, condiția obligatorie fiind exprimarea lor în aceeași unitate de măsură.
Distanța dintre două puncte reprezintă lungimea segmentului care le unește.
A măsura o lungime înseamnă a o compara cu o unitate de măsură aleasă ca referință (de exemplu, centimetrul).
Lungimea segmentului \( AB \) se notează simplu prin \( AB \) și reprezintă un număr.
Notația pentru lungimea unui segment (\( AB \)) nu trebuie confundată cu cea pentru o dreaptă sau pentru segmentul propriu-zis (\( [AB] \)). Lungimea este o mărime măsurabilă exprimată printr-un număr (de exemplu, \( AB = 6\text{ cm} \)).
Dacă așezăm o riglă gradată de-a lungul unui segment \( CD \) astfel încât capătul \( C \) să fie în dreptul diviziunii \( 0 \), iar capătul \( D \) în dreptul diviziunii \( 9 \), atunci lungimea segmentului este:
\[ CD = 9 \text{ cm} \]
Două segmente care au aceeași lungime se numesc segmente congruente.
Dacă segmentul \( AB \) este congruent cu segmentul \( CD \), notăm:
\[ AB \equiv CD \]
Această relație este echivalentă cu egalitatea lungimilor lor: \( AB = CD \).
Din punct de vedere practic, două segmente sunt congruente dacă prin suprapunere coincid perfect.
Dacă segmentul \( MN \) are lungimea de \( 5 \text{ cm} \) și se știe că \( MN \equiv PQ \), ce lungime are segmentul \( PQ \)?
Deoarece segmentele sunt congruente, lungimile lor sunt egale:
\[ PQ = MN = 5 \text{ cm} \]
Pentru a construi un segment \( CD \) congruent cu un segment dat \( AB \):
- Măsurăm segmentul \( AB \) cu ajutorul riglei gradate (de exemplu, obținem \( AB = 4 \text{ cm} \)).
- Fixăm un punct \( C \) ca punct de pornire.
- Așezăm rigla cu diviziunea 0 în punctul \( C \) și marcăm punctul \( D \) în dreptul diviziunii egale cu lungimea măsurată (4 cm).
- Unim punctele \( C \) și \( D \) pentru a obține segmentul \( CD \equiv AB \).
Pentru a construi un segment congruent fără a măsura numeric lungimea sa:
- Luăm în deschiderea compasului segmentul dat \( AB \), așezând acul compasului în punctul \( A \) și creionul în punctul \( B \).
- Pe o semidreaptă oarecare cu originea în punctul \( C \), așezăm acul compasului în \( C \).
- Trasăm un mic arc de cerc care să intersecteze semidreapta și notăm acest punct de intersecție cu \( D \).
- Segmentul format, \( CD \), va fi congruent cu \( AB \) (\( CD \equiv AB \)).
Dacă mai multe puncte sunt coliniare, putem determina lungimea unui segment format din acestea ca segment-sumă sau ca segment-diferență de segmente, efectuând calcule direct cu lungimile lor.
Atunci când adunăm sau scădem lungimile unor segmente, acestea trebuie să fie exprimate în aceeași unitate de măsură!
Fie punctele coliniare \( A, B, C, D, E \) în această ordine, având lungimile:
\( AB = 2 \text{ cm} \), \( BC = 1,5 \text{ cm} \), \( CD = 0,7 \text{ cm} \) și \( AE = 7,2 \text{ cm} \).
\( AB = 2 \text{ cm} \), \( BC = 1,5 \text{ cm} \), \( CD = 0,7 \text{ cm} \) și \( AE = 7,2 \text{ cm} \).
- Segmentul-sumă \( AC \): \[ AC = AB + BC = 2 + 1,5 = 3,5 \text{ cm} \]
- Segmentul-sumă \( BD \): \[ BD = BC + CD = 1,5 + 0,7 = 2,2 \text{ cm} \]
- Segmentul-diferență \( BE \): \[ BE = AE - AB = 7,2 - 2 = 5,2 \text{ cm} \]
- Segmentul-diferență \( DE \): \[ DE = BE - BD = 5,2 - 2,2 = 3 \text{ cm} \]
Practice problems
Problema 1 (Ușoară):
Punctele \( A, B, C \) sunt coliniare în această ordine. Știind că lungimea segmentului \( AB = 8 \text{ cm} \) și lungimea segmentului \( BC = 5,5 \text{ cm} \), aflați lungimea segmentului \( AC \).
Deoarece punctele sunt coliniare în ordinea \( A, B, C \), lungimea segmentului \( AC \) este egală cu suma lungimilor segmentelor \( AB \) și \( BC \):
\[ AC = AB + BC \]
\[ AC = 8 \text{ cm} + 5,5 \text{ cm} = 13,5 \text{ cm} \]
Răspuns: \( 13,5 \text{ cm} \)
Problema 2 (Medie):
Se consideră punctele coliniare \( M, N, P \) în această ordine. Știind că lungimea segmentului \( MP = 15 \text{ cm} \), iar lungimea segmentului \( NP = 80 \text{ mm} \), calculați lungimea segmentului \( MN \) în centimetri.
Mai întâi, transformăm lungimile segmentelor în aceeași unitate de măsură (centimetri):
\[ NP = 80 \text{ mm} = 8 \text{ cm} \]
Deoarece punctele sunt situate în ordinea \( M, N, P \), lungimea segmentului \( MN \) se calculează ca diferență de segmente:
\[ MN = MP - NP \]
\[ MN = 15 \text{ cm} - 8 \text{ cm} = 7 \text{ cm} \]
Răspuns: \( 7 \text{ cm} \)
Problema 3 (Dificilă):
Pe o dreaptă se consideră punctele coliniare \( A, B, C, D \) în această ordine, astfel încât segmentul \( AB \) este congruent cu segmentul \( CD \) (\( AB \equiv CD \)). Dacă \( AC = 12 \text{ cm} \) și \( BC = 4 \text{ cm} \), calculați lungimea segmentului \( AD \).
Urmăm pașii de mai jos pentru a calcula lungimile necesare:
- Calculăm lungimea segmentului \( AB \) folosind segmentul-diferență: \[ AB = AC - BC = 12 \text{ cm} - 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm} \]
- Deoarece segmentele \( AB \) și \( CD \) sunt congruente, lungimile lor sunt egale: \[ CD = AB = 8 \text{ cm} \]
- Calculăm lungimea totală a segmentului \( AD \) prin însumarea segmentelor componente: \[ AD = AB + BC + CD \] \[ AD = 8 \text{ cm} + 4 \text{ cm} + 8 \text{ cm} = 20 \text{ cm} \]
